8.函数的概念与性质

（八）函数的概念与性质考纲要求常考知识点能力要求命题规律理解函数的概念与性质；掌握指数函数、对数函数与幂函数的图像与性质；了解函数零点与方程根的联系了解函数模型的广泛应用。函数的图象与性质；指数、对数函数的单调性；分段函数的取值；函数与方程、不等式的转化。考查考生抽象概括能力、逻辑推理能力与运算求解能力。通常每年都有两题，一题属中等偏易题，而另一题则属于中等偏难题。【命题解读】考向1：函数的概念与性质（包括基本初等函数）分析定位：理解函数概念的核心是从运动与相互联系的角度理解两个变量之间的关系，定义域、值域与对应法则是函数的三要素，而单调性、奇偶性、对称性等是一个函数特有的性质，是认识函数的重要桥梁，特别是基本初等函数的性质，常成为命题的重要载体.例1（（2016年全国Ⅰ卷第8题）若，，则（A）（B）（C）（D）分析：观察题中选项，需通过构造基本初等函数的图象进行比较大小.解：B选项可考察函数（）的单调性，易知其在定义域上递减，B正确；C选项可考察函数（）的单调性，易知其在第一象限递增，C错误；D选项可考察函数（）的单调性，易知其在定义域上递减，D错误；故选B.总结：本题既要熟练基本初等函数的图象与性质，也要考生转化成函数的图象与性质问题.考向2：函数的零点与方程的根分析定位：函数的零点与方程的根是考查函数与方程思想、数形结合思想的重要载体，常放在压轴位置进行考查.例2（2016年全国Ⅱ卷第12题）已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（A）（B）（C）（D）分析：先由得出关于对称，再判断的对称性.解：由得的图像关于直线对称，而，它的图像也关于直线对称，所以与的交点也关于直线对称，并且是成对出现的，所以，故选B.总结：函数的交点、零点问题常放在选择题第12题考查，此时可能用函数本身的性质解决，也可能用导数工具解决，它们的共同之处就是都要考虑能否借助函数的图像进行解决.【备考启示】1.重视以函数的概念与性质为考点的试题，包括：（1）考查函数的概念与函数解析式；（2）考查函数的奇偶性、单调性与最值；（3）考查对函数基本性质的灵活运用.如：2014年全国Ⅱ卷第15题：偶函数的图像关于直线对称，，则=________.分析：因为，的图像关于直线对称，所以，另外是偶函数，所以=.考查函数的奇偶性与对称性.2012年全国卷第16题设函数的最大值为，最小值为，则.分析：因为，设，所以的最大值为.2.重视以基本函数为考点的试题，包括：（1）考查指数与对数的运算与性质；（2）考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质；（3）考查分段函数的图象与性质.如：2014年全国Ⅰ卷第15题：设函数,则使得成立的的取值范围是________.分析：考察函数，幂函数，它们在定义域内都单调递增，所以，当时，解得，而，所以此时；当时，解得，所以此时.综上所求，的取值范围是.2012年全国卷第11题：当时，，则的取值范围是（A）（B） （C）（D）分析：要明白函数随着底数的变化，图象的变化规律.3.重视以函数的图像为考点的题目，包括（1）作图；（2）识图；（3）用图.2009年全国卷第12题：用表示三个数中的最小值，设（）,则的最大值为（A）（B）（C）（D）2015年全国Ⅰ卷第12题：设函数的图象与的图像关于直线对称，且，则（A）（B）（C）（D）2016年全国Ⅰ卷第7题：函数在的图像大致为（A） （B）（C） （D）分析：常用排除法.利用，排除A，B；当时，，，存在，使，是的极小值点.【十年真题】（A）组1.（2011年全国卷第3题）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （A） （B）（C）（D）2.（2014年全国Ⅰ卷第5题）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（A）是偶函数（B）是奇函数（C）是奇函数（D）是奇函数3.（2008年海南宁厦卷第7题）已知，则使得都成立的取值范围是（A） （B）（C） （D）4.（2016年全国Ⅲ卷第7题）已知，，，则（A）（B）（C）（D）5.（2013年全国Ⅱ卷第8题）设，，，则（A）（B）（C）（D）6.（2016年全国Ⅰ卷第8题）若，，则（A）（B）（C）（D）7.（2016年全国Ⅱ卷第10题）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（A）（B）（C）（D）8.（2010年全国卷第9题）设偶函数满足，则=（A）（B）（C）（D）9.（2013年全国Ⅰ卷第9题）函数在的图像大致为（B）（A）（D）（C）（B）（A）（D）（C）10.（2016年全国Ⅰ卷第9题）函数在的图像大致为（A） （B）（C） （D）11.（2015年全国Ⅰ卷第10题）已知函数，且，则（A）（B）（C）（D）12.（2007年海南宁厦卷第13题）设函数为偶函数，则．13.（2015年全国Ⅱ卷第13题）已知函数的图像过点，则．14.（2014年全国Ⅰ卷第15题）设函数,则使得成立的的取值范围是________.15.（2014年全国Ⅱ卷第15题）偶函数的图像关于直线对称，，则=________.16.（2017年全国Ⅰ卷第8题）函数的部分图像大致为17.（2017年全国Ⅰ卷第9题）已知函数，则（A）在（0,2）单调递增 （B）在（0,2）单调递减（C）y=的图像关于直线x=1对称 （D）y=的图像关于点（1,0）对称18.（2017年全国Ⅱ卷第8题）函数的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）19.（2017年全国Ⅱ卷第14题）已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，,则20.（2017年全国Ⅲ卷第7题）函数y=1+x+的部分图像大致为（A） （B）（C） （D）（B）组21.（2012年全国卷第11题）当时，，则的取值范围是（A）（B） （C）（D）22.（2015年全国Ⅱ卷第11题）如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记.将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致是（A）（B）（C）（D）23.（2009年全国卷第12题）用表示三个数中的最小值．设(0)，则的最大值为（A）（B）（C）（D）24.（2010年全国卷第12题）已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）25.（2011年全国卷第12题）已知函数的周期为，当时，那么函数的图像与函数的图像的交点共有 （A）个 （B）个 （C）个 （D）个26.（2013年全国Ⅱ卷第12题）若存在正数使成立，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）27.（2015年全国Ⅰ卷第12题）设函数的图象与的图像关于直线对称，且，则（A）（B）