自然常数e的证明

e在微积分里常常出现，但却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。假定有一家银行，年利率为100%，允许以任意周期进行复利计息。很显然，我们存入1块钱，一年后的本利和为2块钱。有个聪明人想：我每半年存取一次，一年存取两次，我的(1+100%)2=225本利和为多少呢？也很容易计算：(—丿—. ，这样比一次存一年要多哦；他继续想：我每季度存取一次，一年存取四次，我的本利和是多少呢？100%)_24414(1+—亍)4=2.4414，比一年存取两次又多了一些；人总是贪婪的，他想：我每月存(1斗1°°%)12 26130取一次，一年存取十二次，本利和为(1+ 12 )12= . ，果然又增加了一些。如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒,或者每一瞬间(理论上来说)，会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会的，它的值会趋近于一极限值，e这个数就现身在该极限值当中(当然那时候还没给这个数取名字叫e)。极值等于2.718281828…。当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以拿到多少钱呢？lim(1+5%拿到多少钱呢？lim(1+5%——)n在100%利率的情况下，当n=1000所得到的数值非常接近e：(1+100%)10001=(1+0.1)1000(1+100%)10001=(1+0.1)1000沁e为了便于思考，取n=50,：(1+5%50)50=(1+0.1)50。因此，5%利率相当于e的20分之一次方：(1+雯)50=[(1+50100%1000丄 丄)1000〕20沁e20FV=erate注意：20FV=erate，式中rate就是利率。这说明只要是持续不断的复合式增长，e可以用于任何增长率的计算。再考虑时间因素，如果把钱在银行里存t年，最多可以得到多少钱呢？FV=(er)t=ert，此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率。进一步思考，如果银行利率是5%的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？求解需要多少时间等价于解方程：1•求解需要多少时间等价于解方程：1•e5%t=2ln20.69369.372t= = = ，结果是13.86年。上式最后一个等号，表明用72除以利率,5%5%55可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则。e在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度，物体的冷却等等讲了这么多，e是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用。但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论。下面我尝试证明极限e的存在，并且确定它的值。一、极限e存在性的证明1Lim(1+_)x=e为了证明极限s X首先给出关于极限存在的两个基本准则。I夹逼准则：如果函数①(x)-f(x)-9(x)且Lim①(x)=A，Limp(x)=A，那么Limf(x)=A。II单调有界数列必有极限。1f(X)=(1+_)xX这个函数既不是幂函数也不是指数函数，我们称之为幂指数函数。(1+1)>0只有当x 时这个函数才有定义，故只对x>0与x<-1来证明。1、当x>0时，首先让x取正整数，即x=n，n=1,2,3……若x主0而(1+x)>0有伯努利不等式(1+x)n>1+nx,这个不等式可由二项式定理推出，并且对-1<x<0时不等式仍1然成立，可由由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x换成(-)，便有n2(1-丄)n>1-1或者(1+bn(1-■!)n>(1-■!)n2nnnn故对n>1有f(n)>(1-f(n)>(1-丄)(1-n)=匕r=n In-111+—- =f(n-1)n-1说明f(n)是随n的增加而增加的，即f(n)是单调增加数列，另一方面由二项定理知

“、门1、 .n1 n(n—1)1 n(n—1)……3-2-11nn(1-口)nTOC\o"1-5"\h\zn 1!n2!nnn(1-口)n1 1 1 1 2 1 1 2-1+1+(1-一)+ (1-一)(1-一)+ +~(1-一)(1-一)1—12n 11+ 二1—12n 11+ 二3- <31-12 2n-1I「11111111<1+1+++…+—<1+1+++…+ 2! 3! n! 2 2 2n-1说明f(n)是单调增加有界数列，根据准则II, f(n)的极限存在，以e表示之，即11a)Lim(1+_)n=e…1a)其次，对任意x>0，必存在两个相邻的整数m与m+1，使得m<x<m+1，因而11nx>从而mm+1(1+ )m+1> +—)m或者m xm+1f(m)(1+丄)>f(x)>f(m+1)(1+亠)-1TOC\o"1-5"\h\zm m+1当xT+8时，mT+8并且f(m)Te，f(m+1)Te，(1+丄)T1,(1+1—)-1T1m m+1由准则I知Limf(x)=Lim(1+-1)x=e (1b)xT+8 xT+8x2、当x<-1时，x=-|x||x-1f(x)=(1|x-1f(x)=(1-1+」-x-1(1+亠)=f(|x|-1)(1+x一1x-1)，当xT-8时，x|T+8，(1+)T1，f(|x|-1)Te1 )1 )=e(1c)|x-1所以Lim(1+-)x=Limf(|x|—1)(1+TOC\o"1-5"\h\zxT-8 x xT+8综合la，lb，1c对于X>0与x<-1，极限得到了证明。二、极限e的确定与求法由二项定理及极限1可得到e的表达式e=Lim(1+—)n=Lim(1+ + + + )或者e=1+1+ + +nT8nnT81! 2! n! 2! 3!由此可知e是个无理数，整数部分是2,小数部分是个无限不循环小数。数e的近似值可以通过f(x)-ex的泰勒展开式:

4x x2x3 Xn-1 Xn—,一 ，ex=1+ + + + + +eQx 其中1<eex<ex，当x=1时有1!2! 3! (n-1)! n!e=1e=1+1+—+-+2! 3!1 eQ ++-(n-1)!n!(1<eQ<e<3)如取n=9,可得11111111e=1+1+ + + + + + + +eQ2!3!4!5!6!