人教B版（2023）必修第二册《4.2 对数与对数函数》同步练习（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知，且，则的值为

A.B.C.D.

2.（5分）已知log3（x+y+4）＞log3（3x+y-2），若x-y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（）

A.（-∞，10]B.（-∞，10）

C.（10，+∞）D.[10，+∞）

3.（5分）记对数的整数部分为，第一位小数的值为，则

A.B.C.D.

4.（5分）若，则下列各式正确的是（）

A.B.C.D.

5.（5分）已知a=20.3，b=log0.50.24，c=0.32，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.b＜c＜a

6.（5分）若a=log23，b=log32，c=esinπ，则a，b，c的大小关系为（）

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.a＜c＜bD.b＜c＜a

7.（5分）已知log2（x+y）=log2x+log2y，则x+y的最小值是（）

A.1B.4C.8D.16

8.（5分）三个数0.32，20.3，log0.32的大小关系为（）

A.log0.32＜0.32＜20.3B.log0.32＜20.3＜0.32

C.0.32＜log0.32＜20.3D.0.32＜20.3＜log0.32

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知，，，则下列说法错误的是

A.B.

C.D.

10.（5分）设，，则下列不等式中，成立的是

A.B.C.D.

11.（5分）下列函数的图象过点的有

A.B.

C.D.

12.（5分）下列表达式中计算化简、求解的结果为的有

A.

B.

C.

D.的最小值

13.（5分）若，，则

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）计算（log23）（log34）+16log43=____．

15.（5分）已知，则__________.

16.（5分）若，则______．

17.（5分）已知，且，则______．

18.（5分）化简（loga（ab））2+（logab）2-2loga（ab）logab=____________．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）化简或求值：

．

20.（12分）计算求值：

；

21.（12分）化简求值：；

已知，且，求实数的值．

22.（12分）计算下列各式：要求写出必要的运算步骤

．

．

23.（12分）化简并计算式中字母均为正数

；

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：，

，，

，

．

故选：．

由题意可得，，代入已知等式，化简即可求得的值．

这道题主要考查指数式及对数式的互化，考查对数运算，属于基础题．

2.【答案】D;

【解析】解：要使不等式成立，则有

x+y+4＞0

3x+y-2＞0

x+y+4＞3x+y-2

，即

x+y+4＞0

3x+y-2＞0

x＜3

，

设z=x-y，则y=x-z．作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分（不包括左右边界）：

平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z经过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z最大，

由

x+y+4=0

x=3

，解得

y=-7

x=3

，代入z=x-y得z=x-y=3+7=10，

又因为可行域不包括点B，∴z＜10，

∴要使x-y＜λ恒成立，则λ的取值范围是λ≥10，即[10，+∞）．

故选：D．

3.【答案】C;

【解析】解：，

，

设第二位小数及以后的值为，则有，

，

，

，

而，，

，

，

，

，

，

故选：

先求出，设第二位小数及以后的值为，则有，由估计值可知，即，所以，从而求出的值．

此题主要考查了对数的运算性质，同时考查了学生的转化思想和运算求解能力，属于中档题．

4.【答案】B;

【解析】由得，从而由可知，即.

故选:B.

5.【答案】C;

【解析】解：由指数函数的性质得：1＜a=20.3＜2，0＜c=0.32＜1；

由对数函数的性质得：b=lo0.24＞lo0.25=2，

∴c＜a＜b．

故选：C．

6.【答案】D;

【解析】解：∵a=lo3＞1，b=lo2＜1，c==1，

∴b＜c＜a．

故选：D．

7.【答案】B;

【解析】解：∵lo（x+y）=lox+loy，

∴x，y＞0，x+y=xy≤(

x+y

2

)2，解得x+y≥4．

∴x+y的最小值是4．

故选：B．

8.【答案】A;

【解析】解：∵0＜0.32＜1，20.3＞1，lo2＜0，

∴20.3＞0.32＞lo2．

故选：A．

9.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查对数运算和指数幂运算，属于拔高题.

根据题意有，则，所以，代入题中原式有，化简得，即，又，所以，，则依次对选项进行判断即可解：由题意得，即

由得，代入得，

即，即，

而，因此，即，解得，，则，错误

，错误

，正确

，错误.

故选

10.【答案】BC;

【解析】

此题主要考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键，属于中档题.

根据已知中，，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案.

解：，，

函数在上为增函数，故，故错误；

，，；故正确；

由对数函数的单调性可知，故错误；

因为，，所以，故正确.

故选

11.【答案】AD;

【解析】

此题主要考查函数的概念，考查函数值的计算，是简单题.

只需在函数中令，若得到函数值为，即可知函数图象过点

解：根据题意，在每个选项中令，

选项中，故过点，正确.

选项中，故不过点，错误.

选项中，故不过点，错误.

选项中，故过点，正确.

故选

12.【答案】BD;

【解析】解：对于选项A：原式，所有选项A错误，

对于选项B：原式，所有选项B正确，

对于选项C：原式，所有选项C错误，

对于选项D：，当且仅当即时，等号成立，所有选项D正确，

故选：．

利用对数的运算性质求出选项的值为，所有选项A错误，利用有理数指数幂的运算性质求出选项的值为，所有选项B正确，由的正切值为可知选项C错误，利用基本不等式可知选项D正确．

这道题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，考查了基本不等式的应用，是基础题．

13.【答案】AC;

【解析】

此题主要考查指数与对数的相互转化，对数运算公式，考查计算能力，属于中档题.

利用指数对数互化得，利用对数运算公式，验证选项，即可得到答案.

解：因为，，所以，

所以，所以正确；

，所以错误；

因为，所以，即，

所以错误；

所以，所以正确；

故选

14.【答案】11;

【解析】解：（lo3）（lo4）+16log43

=

lg3

lg2

×

lg4

lg3

+9

=2+9=11．

故答案为：11．

15.【答案】;

【解析】

此题主要考查了对数运算，先解出的值，然后代入即可.

解：由得，

所以，

故答案为

16.【答案】;

【解析】解：

，

故答案为：

根据分段函数的定义域，代入求值，即可．

考查分段函数求值，和对数恒等式及其性质的应用，中档题．

17.【答案】10;

【解析】解：由，得，，

由，得

．

．

故答案为：．

化指数式为对数式，代入已知等式后利用对数的运算性质化简求得的值．

该题考查了对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，是基础的计算题．

18.【答案】1;

【解析】解：原式=[loga(ab)-logab]2

=(logaa)2

=1．

故答案为：1．

19.【答案】解：

．

．;

【解析】【试题解析】

利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．

利用对数性质、运算法则、换底公式求解．

该题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则、换底公式的合理运用．

20.【答案】解：原式；

原式;

【解析】此题主要考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．利用指数幂的运算性质即可得出；利用对数的运算性质即可得出．

21.【答案】解：（1）原式=+lg（25×4）+2+1=-+2+2+1=．

（2）∵3a=5b=m，∴a=lom，b=lom，

又∵，

∴，∴lo3+lo5=2，

∴lo15=2，

∴=15，又∵m＞0，

∴m=．;

【解析】

利用对数的运算性质求解．

先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．

此题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．

22.【答案】解：（1）原式=-6-1×（-2）+44×0.75-+1=-36+64-+1=32．

（2）原式=-32

=2-9=-7．;

【解析