人教B版（2023）必修第一册《3.2 函数与方程、不等式之间的关系》同步练习（word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知函数的定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题：

函数是周期函数；

函数在上是减函数；

如果当时，的最大值是，那么的最大值为；

当时，函数有个零点．

其中真命题的个数有

A.个B.个C.个D.个

2.（5分）函数的零点所在的区间是

A.B.C.D.

3.（5分）设是函数在定义域内的最小零点，若，则的值满足

A.B.

C.D.的符号不确定

4.（5分）方程一定有解的区间是

A.B.C.D.

5.（5分）已知，则函数的零点的个数为个．

A.B.C.D.

6.（5分）已知，则方程的根的个数是

A.B.C.D.无数多个

7.（5分）若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是

A.函数在区间内有零点

B.函数在区间或内有零点

C.函数在区间内无零点

D.函数在区间内无零点

8.（5分）已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是

A.B.C.D.

10.（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）

A.B.

C.D.

E.

11.（5分）已知函数，则正确的选项为

A.B.函数的图象与轴有两个交点

C.函数的最小值为D.函数的最大值为

12.（5分）已知函数时，则下列结论正确的是

A.对任意成立B.函数的值域是

C.若，则一定有D.方程有三个实数根

13.（5分）设函数，函数，若，则的值可能在

A.区间上B.区间上

C.区间上D.区间上

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为______

15.（5分）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是______．

16.（5分）已知偶函数，满足，若函数则的零点个数为________.

17.（5分）函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______．

18.（5分）求方程在区间内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知，其最小值为

求的表达式；

当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围.

20.（12分）已知函数，

若，求函数的零点；

若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．

21.（12分）已知函数．

求函数的零点；

令，在时，求函数的单调区间：

在条件下，存在实数，使得函数有三个零点，求取值范围．

22.（12分）设．

Ⅰ当时，求的最小值；

Ⅱ若为奇函数，且，当时，若有无数多个零点，作出图象并根据图象写出的值不要求证明．

23.（12分）已知奇函数和偶函数满足

求和的解析式；

存在，使得成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】

这道题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，属于中档题．

先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证．

解：函数的定义域为，部分对应值如表，

的导函数的图象如图所示：

由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：

由图得：函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无限集，

故为假命题；

为真命题．因为在上，故函数在上是减函数；

由已知中的图象，及表中数据可得当或时，

函数取最大值，

若时，的最大值是，那么，故的最大值为，即错误；

由图可得，当时，函数不一定有个零点，即错误，

故选A．

2.【答案】C;

【解析】

此题主要考查函数的零点存在定理，属于基础题.

利用函数的零点存在定理即可求解

解：函数在上是单调递减函数，

，，

，

函数的零点在之间

故选

3.【答案】A;

【解析】解：由题意可知：函数的零点即为函数与的交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，

由图可知：当，函数的图象要高于函数的图象，

故有，即．

故选：．

函数的零点即为函数与的交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，即可得出结论．

本题为函数零点问题，考查数形结合的数学思想，准确作图是解决问题的关键．

4.【答案】A;

【解析】解：方法一：可化为：，

在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象．

它们的交点横坐标．

当时，，．

，

，

从而判定．

方法二：因为，

，

所以根据根的存在性定理可知，函数在区间内存在零点，

所以方程的根所在的区间为．

故选：．

方法一：在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象．它们的交点横坐标，显然在区间内，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与的大小．当时，，由于，因此，从而得到答案．

方法二：利用根的存在性定理进行判断即可．

这道题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查通过构造函数用数形结合法求方程解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

5.【答案】C;

【解析】

函数的零点，即方程和的根，画出函数的图象，数形结合可得答案．

该题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．

解：函数的零点，

即方程和的根，

函数的图象如下图所示：

由图可得方程和共有个根，

即函数有个零点，

故选：．

6.【答案】B;

【解析】解：，时，函数的周期为，

而时，，函数是增函数，方程的根的个数是个；

，函数由个周期，因此方程的根的个数是个．

综上函数的零点个数为．

故选：．

判断函数的周期性，利用函数的一个周期内的零点个数判断即可．

该题考查函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．

7.【答案】C;

【解析】解：函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，

函数唯一的一个零点在区间内，

函数在区间内无零点，

故选：．

可判断函数唯一的一个零点在区间内，从而解得．

该题考查了函数的零点的位置的判断与应用．

8.【答案】A;

【解析】解：由题意，直线过时，，

时，，，

直线与相切时，设切点坐标为，则切线方程为，即，

令，则，，

方程恰有四个不相等的实数根，实数的取值范围是，

故选：．

由题意，方程方程恰有四个不相等的实数根，等价于与有个交点，求出直线过时的值及直线与相切时的值，即可求出的取值范围．

该题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，属于中档题．

9.【答案】ABC;

【解析】解：画出函数的图象

时，．

若函数恰有个零点，

则实数，或．

因此可以为，，．

故选：．

画出函数的图象，进而得出结论．

该题考查了函数的图象与性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10.【答案】AD;

【解析】A中，为奇函数，且存在零点，与题意相符；

B中，为非奇非偶函数，与题意不符；

C中，为偶函数，与题意不符；

D中，是奇函数，且存在零点，与题意相符；

E中，不存在零点，与题意不符.故选AD.

11.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查了二次函数的最值的求法、对数函数及其性质，属中档题．

由二次函数的最值的求法逐一判断可得解．

解：对于、由，

得，即选项正确；

对于、令，即，

解得或，即或，即选项正确；

对于、由

，即函数的最小值为，无最大值，

即选项正确，选项错误．

故选：

12.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查了函数的奇偶性，值域，单调性，零点，熟练掌握函数的图象和性质是解答本题的关键，属于中档题.

分析函数的奇偶性，可判断；利用分类讨论和分离常数法，求出函数的值域，可判断；判断函数的单调性，可判断；求出函数在上零点个数，可判断

解：函数，

，故恒成立，故正确；

当时，

当时，，

故函数的值域是，故正确；

结合②可知：函数在定义域上为增函数，故，则一定有，故正确；

函数，当且仅当时，，

故函数在上只有一个零点，故错误；

故正确.

故选

13.【答案】BD;

【解析】

此题主要考查的知识点是指数函数的图象，要求函数的图象与函数的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．

解：

在同一坐标系下，画出函数的图象与函数的图象如图：

由图可知，两个函数图象共有个交点，

个交点在区间上，另个交点在区间上.

故选

14.【答案】0＜a＜1或a＞．;

【解析】解：令，

则，

令，

则，

令，

则，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

且，，，

大致图象如图：

可知或

故答案为：或

先令函数等于零，剥离参数，求交点．

此题主要考查函数的零点判断，属于中档题．

15.【答案】m≤0或;

【解析】解：令，则，，

若函数仅有一个零点，

则仅有一个正根，

当时，有两个异号的根，满足条件；

当时，有一个正根，满足条件；

当时，若仅有一个正根，则，解得：

综上可得：或，

故答案为：或

令，则，，若函数仅有一个零点，则仅有一个正根，分类讨论，综合可得答案．

该题考查的知识点是函数零点的个数及判定，转化思想，换元法，分类讨论思想，难度中档．

16.【答案】;

【解析】

此题主要考查根据分段函数求函数零点的个数．考查数形结合思想，属于基础题.

由题意可知的零点个数即为函数和的图象交点个数，故作出两函数图象得知交点个数即可求得零点个数.

解：的零点个数即为函数和的图象交点个数，

作出两函数图象，如图所示，共有三个交点．

故有个零点，

故答案为

17.【答案】t=0或＜t＜1;

【解析】解：方程恰有两个不同实数根，

与有个交点，

又表示直线的斜率，

当时，与只有一个交点；

当时，与有两个交点；

时，，

设切点为，，且，

而切线过原点，，，，

可得时，与有三个交点；

可得时，与有两个交点；

可得时，与有两个交点；

当时，与有一个交点．

综上可得或时，与有两个交点，

故答案为：或．

由题意，方程恰有两个不同实数根，等价于与有个交点，又表示直线的斜率，求出的取值范围．

该题考查函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．

18.【答案】（1.5，2）;

【解析】解：设函数，则

，，

下一个有根区间是

故答案为．

构造函数，确定，，的符号，根据零点存在定理，即可得到结论．

该题考查二分法，考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．

19.【答案】解：，

，

由题意得，

当时，则当时，

；

当时，当时，

；

当时，当时，

则；

当时，

令

欲使有一个实根，

则只需使或即可．

解得或;

【解析】此题主要考查了函数与方程的综合运用，解答该题的关键是利用转化和化归思想，数形结合思想，属中档题.

利用的范围确定，对函数解析式化简整理，对进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的的解析式，最后综合得出结果；

根据中获得当时的解析式，令，要使有一个实根需和异号即可．

20.【答案】解：，可得，所以或，

即函数的零点是或；

当时，，令，得，是区间上的零点．

当时，函数在区间上有零点分为两种情况：

①方程在区间上有重根，

令，解得或

当时，令，得，不是区间上的零点．

当时，令，得，是区间上的零点．

②若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根，

令，解得

综上可知，实数的取值范围为;

【解析】此题主要考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与轴相切的情况，属于中档题．

，可得，求出，即可求函数的零点；

当时，满足条件；当时，函数在区间上有零点分为三种情况：①方程在区间上有重根，②若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根，分类讨论求出满足条件的的范围后，综合讨论结果，可得答案．

21.【答案】解：（1）当b＞0时，函数f（x）无零点，

当b=0时，函数f（x）的零点为x=a，

当b＜0时，令|x-a|+b=0，解得x=a±b，此时函数f（x）的零点为x=a+b和x=a-b；

（2）由题意得，，

①当a=0时，，此时g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，

②当a＞0时，g（x）图象如图所示，

∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，

③当a＜0时，函数g（x）如图所示，

∴g（x）在上单调递增，在上单调递减；

（3）根据题意，a∈（1，2]，结合图象，若要满足题意，则有解，则，

又，故，

函数为增函数，故，

∴-1≤t＜0．;

【解析】

根据题意，对进行分类讨论，即可得到函数的零点；

对进行分类讨论，结合图象，即可得出的单调区间；

根据所给条件，结合分段函数的图象，将题意所满足条件转化为有解，即可求出的范围．

这道题主要考查了分段函数以及二次函数的综合应用，考查学生的分类讨论思想，属于中档题．

22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，

当且仅当（x-1）（x+3）≤0，即-3≤x≤1时等号成立．∴f（x）的最小值为4．……4分

（Ⅱ）g（x）为奇函数，且g（2-x）=g（x），当x∈[0，1]时，g（x）=5x．

则g（x）的图象是夹在y=-5与y=5之间的周期为4的折线，如图，…………6分

又，f（x）的图象是两条射线与中间一段线段组成．……8分

若h（x）=f（x）-g（x）有无数多个零点，

则f（x）的图象的两条射线中至少有一条是平行于x轴的，

所以-（a+1）=0或（a+1）=0得a=-1．

此时，经验证符合题意，∴a=-1……10分;

【解析】

Ⅰ当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值；

Ⅱ画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可．

此题主要考查函数