本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分课件

第三讲

本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等问题。概率论与数理统计在计算机上实现第三讲本章将利用Matlab来解决概率统计学中的1Matlab可以实现的内容概率分布数字特征参数估计假设检验回归估计多元统计实验设计Matlab可以实现的内容概率分布23.1、离散型随机变量的概率及概率分布(1)分布律二项分布的概率值

格式binopdf(k,n,p)

说明n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概率；k:事件A发生k次。泊松分布的概率值

格式poisspdf(k,lambda)

说明k:事件A发生k次;lambda:参数超几何分布的概率值

格式hygpdf(K,N,M,n)说明K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n:抽取总数.3.1、离散型随机变量的概率及概率分布(1)分布律3(2)累积概率值(随机变量X<K的概率之和)

二项分布的累积概率值

格式binocdf(k,n,p)

说明n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概率；k:事件A发生k次。泊松分布的累积概率值

格式poisscdf(k,lambda)说明k:事件A发生k次;lambda:参数超几何分布的累积概率值格式hygcdf(K,N,M,n)说明K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n:抽取总数.(2)累积概率值(随机变量X<K的概率之和)4应用举例例1.1

某机床出次品的概率为0.01,求生产100件产品中：（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率。

解：此问可看作是100次独立重复试验，每次试验出次品的概率为0.01，恰有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入：

>>p=binopdf(1,100,0.01)显示结果为：

p=0.3697（2）至少有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入：

>>p=1-binocdf(1,100,0.01)显示结果为：p=0.2642应用举例例1.1某机床出次品的概率为0.01,求生产1005应用举例例1.2自1875年到1955年中的某63年间，某城市夏季（5-9月间）共发生暴雨180次，试求在一个夏季中发生k次（k=0,1,2,…,8）暴雨的概率（设每次暴雨以1天计算）。解：一年夏天共有天数为n=31+30+31+31+30=153故可知夏天每天发生暴雨的概率约为很小，n=153较大，可用泊松分布近似。应用举例例1.2自1875年到1955年中的某63年间，某6程序：>>p=180/(63*153);>>n=153;>>lamda=n*p;>>k=0:1:8;>>p_k=poisspdf(k,lamda)结果：p_k=

0.05740.16410.23440.2233

0.15950.09110.04340.01770.0063程序：7即：用k表示一个夏季中发生的次数，其概率为：k01230.05740.16410.23440.2233456780.15950.09110.04340.01770.0063即：用k表示一个夏季中发生的次数，其概率为：k01230.083.2

连续型随机变量的概率及其分布(1)概率密度函数值利用专用函数计算概率密度函数值，如下表。分布调用函数均匀分布unifpdf(x,a,b)指数分布exppdf(x,lambda)正态分布normpdf(x,mu,sigma)分布chi2pdf(x,n)T分布tpdf(x,n)F分布fpdf(x,n1,n2)3.2连续型随机变量的概率及其分布(1)概率密度函数值分布9应用举例例2.1计算正态分布N（0，1）下的在点0.7733的值。在Matlab命令窗口键入：

>>normpdf(0.7733,0,1)回车后显示结果为：ans=0.2958应用举例例2.1计算正态分布N（0，1）下的在点0.77310举例应用例2.2绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5，15时的图形程序：x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x,1);plot(x,y1,':')holdon%保留当前图形y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')axis([0,30,0,0.2])%控制图形在坐标轴上的范围xlabel(‘图2-1’)%给轴标注“图2-1”举例应用例2.2绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5，111结果为下图结果为下图12(2)分布函数利用专用函数计算累积概率函数值，即

常用专用函数如下表。分布调用函数均匀分布unifcdf(x,a,b)指数分布expcdf(x,lambda)正态分布normcdf(x,mu,sigma)卡方分布chi2cdf(x,n)T分布tcdf(x,n)F分布fcdf(x,n1,n2)(2)分布函数利用专用函数计算累积概率函数值，即分布调用13应用举例例2.3某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来一班车。若某乘客在7：00到7：30间任何时刻到达此站是等可能的，试求他候车的时间不到5分钟的概率。解：设乘客7点过X分钟到达此站，则X在[0，30]内服从均匀分布，当且仅当他在时间间隔（7：10，7：15）或（7：25，7：30）内到达车站时，候车时间不到5分钟。故其概率为：P1=P{10<X<15}+P{25<X<30}程序：

>>

formatrat>>p1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30);>>p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30);>>p=p1+p2则结果显示为：p=1/3应用举例例2.3某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来14应用举例例2.4设随机变量X的概率密度为

确定常数c;求X落在区间（-1/2，1/2）内的概率；求X的分布函数F（x）应用举例例2.4设随机变量X的概率密度为15程序（1）：>>symscx>>px=c/sqrt(1-x.^2);>>Fx=int(px,x,-1,1)则结果显示如下：Fx=pi*c由pi*c=1得

c=1/pi程序（2）：>>symsx>>c='1/pi';>>px=c/sqrt(1-x.^2);>>format>>p1=int(px,x,-1/2,1/2)

则结果显示如下：p1=1/3程序（1）：16程序(3)>>symsxt>>c='1/pi';>>px=c/sqrt(1-t.^2);>>format>>Fx=int(px,t,-1,x)

则结果显示如下：Fx=1/2*(2*asin(x)+pi)/pi

所以X的分布函数为：程序(3)17（3）逆累积概率值已知，求x。x为临界值，常用临界值如表调用函数注释X=unifinv(p,a,b)[a,b]上均匀分布逆累积分布函数X=expinv(p,mu)指数逆累积分布函数X=norminv(p,mu,sigma)正态逆累积分布函数X=chi2inv(p,n)卡方逆累积分布函数X=tinv(p,n)T分布逆累积分布函数X=finv(p,n1,n2)F分布逆累积分布函数（3）逆累积概率值已知18应用举例例2.5公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。解：设h为车门高度，X为身高，求满足条件P{X>h}0.01的h，即P{X<h}0.99。程序：>>h=norminv(0.99,175,6)结果：

h=188.9581应用举例例2.5公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的19应用举例例2.6设二维随机变量（X，Y）的联合密度为：

求（1）P{0<X<1,0<Y<1};(2)(X,Y)落在x+y=1,x=0,y=0所围成的区域内的概率。程序：>>symsxy>>f=exp(-x-y);>>P_XY=int(int(f,y,0,1),x,0,1)>>P_G=int(int(f,y,0,1-x),x,0,1)运行结果显示如下：P_XY=exp(-2)-2*exp(-1)+1P_G=-2*exp(-1)+1应用举例例2.6设二维随机变量（X，Y）的联合密度为：203.3数字特征(1)数学期望离散型随机变量X的期望计算求和函数：sum(X)

说明：若X为向量，则sum（X）为X中的各元素之和，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列元素之和，返回一个行向量。求均值函数：mean(X)说明：若X为向量，则sum（X）为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量3.3数字特征(1)数学期望21例3.1随机抽取6个滚珠测得直径（mm）如下：14.7015.2114.9014.9115.3215.32试求样本平均值。程序：>>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32];>>mean(X)则结果显示如下：ans=15.0600应用举例例3.1随机抽取6个滚珠测得直径（mm）如下：应用举例22或键入：>>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32];>>p=[1/61/61/61/61/61/6];>>sum(X.*p)则结果显示如下：ans=15.0600或键入：23连续型随机变量的期望应用举例例3.2已知随机变量X的概率

求EX和E(4X-1)。连续型随机变量的期望应用举例24程序：>>symsx>>EX=int(x*3*x^2,0,1)>>EY=int((4*x-1)*3*x.^2,0,1)运行后结果显示如下：

EX=3/4EY=2程序：25(2)方差离散型随机变量的方差及样本方差方差设X的分布律为由则方差DX=sum(X.^2*P)-(EX).^2标准差：(2)方差离散型随机变量的方差及样本方差26应用举例例3.3设随机变量X的分布律为：X-2-1012P0．30．10．20．10．3求D（X），D（X^2-1）。程序：>>X=[-2-1012];>>p=[0.30.10.20.10.3];>>EX=sum(X.*p)应用举例例3.3设随机变量X的分布律为：X-2-101227>>Y=X.^2-1>>EY=sum(Y.*p)>>DX=sum(X.^2.*p)-EX.^2>>DY=sum(Y.^2.*p)-EY.^2运行后结果显示如下：EX=0Y=30-103EY=1.6000DX=2.6000DY=3.0400>>Y=X.^2-128连续型随机变量的方差利用求解。例3.5设X的概率密度为：求DX，D（2X+1）解：连续型随机变量的方差29程序：>>symsx>>px=1./(pi*sqrt(1-x.^2));>>EX=int(x*px,-1,1)>>Dx=int(x.^2.*px,-1,1)>>y=2*x+1;>>EY=int(y.*px,-1,1)>>DY=int(y.^2.*px,-1,1)-EY.^2运行结果显示如下：EX=0DX=1/2EY=1DY=2程序：30（3）常用分布的期望与方差求法在统计工具箱中，用’stat’结尾的函数可以计算给定参数的某种分布的均值和方差。调用函数参数说明注释[M，V]=binostat(N,p)N：试验总次数P:二项分布的概率二项分布的期望和方差[M,V]=poisstat(Lambda)Lambda:泊松分布的参数泊松分布的期望和方差[M，V]=hygestat(M,K,N)M,K,N:超几何分布的参数超几何分布期望和方差[M,V]=unifstat(a,b)a,b:均匀分布区间端点均匀分布的期望和方差[M,V]=normstat(mu,sigma)Mu:正态分布的均值Sigma：标准差正态分布的期望和方差（3）常用分布的期望与方差求法在统计工具箱中，用’stat31调用函数参数说明注释[M,V]=tstat(nu)nu:T分布的参数T分布的期望和方差[M,V]=chi2stat(nu)nu:卡方分布的参数卡方分布的期望和方差[M,V]=fstat(n1,n2)n1,n2:F分布2个自由度F分布的期望和方差[M,V]=geostat(p)p:几何分布的概率参数几何分布的期望和方差[M,V]=expstat(mu)mu:指数分布的参数指数分布的期望和方差调用函数参数说明注释[M,V]=tstat(nu)nu:T分32应用举例例3.6求参数为6的泊松分布的期望和方差。程序：>>[M,V]=poisstat(6)则结果显示如下：

M=6V=6应用举例例3.6求参数为6的泊松分布的期望和方差。333.4二维随机变量的数字特征(1)期望

根据二维随机变量期望的定义构造函数计算。下面分别就离散和连续的情况举例说明。应用举例例4.1设（X，Y）的联合分布为Z=X-Y，求EZ。XY-112-15/202/206/2023/203/201/203.4二维随机变量的数字特征(1)期望XY-34程序：>>X=[-12];>>Y=[-112];>>fori=1:2forj=1:3Z(i,j)=X(i)-Y(j);endend>>P=[5/202/206/20;3/203/201/20];>>EZ=sum(sum(Z.*P))%将Z与P对应相乘相加运行结果显示如下：EZ=-0.5000程序：35应用举例例4.2射击试验中，在靶平面建立以靶心为原点的直角坐标系，设X，Y分别为弹着点的横坐标和纵坐标，它们相互独立且均服从N(0,1)，求弹着点到靶心距离的均值。解：设弹着点到靶心距离为，则求EZ。联合概率密度：期望为：应用举例例4.2射击试验中，在靶平面建立以靶心为原点的直角36程序：>>symsxyrt>>pxy=1/(2*pi)*exp(-1/2*(x.^2+y.^2));>>EZ=int(int(r*1/(2*pi)*exp(-1/2*r.^2)*r,r,0,+inf),t,0,2*pi)运行结果：EZ=

1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)即程序：37（2）协方差Matlab提供了求协方差的函数：cov(X)

％X为向量时，返回此向量的方差；X为矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵cov(X，Y)

%返回X与Y的协方差，X与Y同维数cov(X，0)

%返回X的样本协方差，置前因子为1/（n-1）cov(X，1)

%返回X的协方差，置前因子为1/n（2）协方差Matlab提供了求协方差的函数：38应用举例例4.3设(X,Y)的联合概率密度为：求DX，DY和解：应用举例例4.3设(X,Y)的联合概率密度为：39程序：>>symsxy>>pxy=1/8*(x+y);>>EX=int(int(x*pxy,y,0,2),0,2)>>EY=int(int(y*pxy,x,0,2),0,2)>>EXX=int(int(x^2*pxy,y,0,2),0,2)>>EYY=int(int(y^2*pxy,x,0,2),0,2)>>EXY=int(int(x*y*pxy,x,0,2),0,2)>>DX=EXX-EX^2>>DY=EYY-EY^2>>DXY=EXY-EX*EY程序：40运行结果显示如下：EX=7/6EY=7/6EXX=5/3EYY=5/3EXY=4/3DX=11/36DY=11/36DXY=-1/36运行结果显示如下：41例4.4求一个随机矩阵的协方差。在命令窗口键入>>d=rand(2,6)则结果为d=0.95010.60680.89130.45650.82140.61540.23110.48600.76210.01850.44470.7919例4.4求一个随机矩阵的协方差。42在命令窗口键入>>cov1=cov(d)则结果为cov1=0.25850.04340.04640.15740.1354-0.06350.04340.00730.00780.02650.0228-0.01070.04640.00780.00830.02830.0243-0.01140.15740.02650.02830.09590.0825-0.03870.13540.02280.02430.08250.0710-0.0332-0.0635-0.0107-0.0114-0.0387-0.03320.0156本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分课件43（3）相关系数Matlab提供了求相关系数的函数。corrcoef(X,Y)%返回列向量X，Y的相关系数corrcoef(X)%返回矩阵X的列向量的相关系数矩阵例4.6设（X，Y）在单位圆上服从均匀分布，即有联合密度求，，及。（3）相关系数Matlab提供了求相关系数的函数。44解：程序：>>symsxyrt>>PXY='1/pi';>>EX=int(int(r^2*cos(t)*PXY,r,0,1),0,2*pi)>>EY=int(int(r^2*sin(t)*PXY,r,0,1),0,2*pi)>>EXX=int(int(r^3*cos(t)^2*PXY,r,0,1),0,2*pi)>>EYY=int(int(r^3*sin(t)^2*PXY,r,0,1),0,2*pi)>>EXY=int(int(r^3*sin(t)*cos(t)*PXY,r,0,1),0,2*pi)>>DXX=EXX-(EX)^2>>DYY=EYY-(EY)^2>>DXY=EXY-EX*EY>>ro_XY=DXY/sqrt(DXX*DYY)解：程序：45运行后结果显示如下：EX=0EY=0EXX=1/4EYY=1/4EXY=0DXX=1/4DYY=1/4DXY=0Ro_XY=0运行后结果显示如下：EX=0463.5统计直方图函数hist（Z，n）

%直角坐标系下的统计直方图n表示直方图的区间数，缺省时n=10函数rose(theta,n)

%极坐标系下角度直方图n是在[0，2]范围内所分区域数，缺省时n=20,theta为指定的弧度数据。3.5统计直方图函数hist（Z，n）47应用举例例5.1某食品厂为加强质量管理，对生产的罐头重量X进行测试，在某天生产的罐头中抽取了100个，其重量测试数据记录如下：

342340348346343342346341344348346346340344342344345340344344343344342343345339350337345349336348344345332342342340350343347340344353340340356346345346340339342352342350348344350335340338345345349336342338343343341347341347344339347348343347346344345350341338343339343346试根据以上数据作出X的频率直方图。应用举例例5.1某食品厂为加强质量管理，对生产的罐头重量48程序：>>X=[342340348346343342346341344348...346346340344342344345340344344...343344342343345339350337345349...336348344345332342342340350343...347340344353340340356346345346...340339342352342350348344350335...340338345345349336342338343343...341347341347344339347348343347...346344345350341338343339343346...342339343350341346341345344342];>>hist(X,13)程序：49该例的统计直方图如下：该例的统计直方图如下：503.6参数估计1、点估计样本数字特征法样本均值：

mx=1/n*sum(x)

样本方差：

ss=1/(n-1)*sum((x-mx).^2)3.6参数估计1、点估计51（2）最大似然估计调用函数函数说明binofit(X,N)[PHAT,PCI]=binofit(X,N,ALPHA)水平的参数估计和置信区间poissfit(X)[LAMBDHAT,LAMBDPCI]=poissfit(X,ALPHA)参数估计和置信区间normfit(X,ALPHA)[MUHAT,SIGMAHAT,MUPCI,SIGMACI]=normfit(X,ALPHA)水平的期望、方差值和置信区间unfit(X,ALPHA)[AHAT,BHAT,ACI,BCI]=unfit(X,ALPHA)水平的参数估计和置信区间expfit(X)[MUHHAT,MUCI]=expfit(X,ALPHA)水平的参数估计和置信区间（2）最大似然估计调用函数函数说明binofit(X,N)52应用举例例6.1设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0;5.7;5.8;6.5;7.0;6.3;5.6;6.1;5.0设干燥时间总体服从正态分布N（）求和的置信度为0.95的置信区间（未知）程序：>>X=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0];>>[MUHAT,SIGMAHAT,MUPCI,SIGMACI]=normfit(X,0.05)应用举例例6.1设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计53运行后结果显示如下：

muhat=6%的最大似然估计值sigmahat=0.5745%的最大似然估计值muci=5.55846.4416%的置信区间sigmaci=0.28801.1005%的置信区间运行后结果显示如下：muhat=6543.7假设检验在Matlab中，假设检验问题都提出两种假设：即原假设和备择假设。对于正态总体均值的假设检验给出了检验函数：ztest

已知，检验正态总体均值；ttest

未知，检验正态总体均值；ttest2

两个正态总体均值比较。对于一般连续型总体一致性的检验，给出了检验方法—秩和检验，由函数ranksum实现。3.7假设检验在Matlab中，假设检验问题都提出两种假551单个正态总体N（）的假设检验已知，对期望的假设检验—Z检验法调用函数H=ztest（X，m,sigma）

H=ztest（X，m,sigma,alpha）[H,sig,ci]=ztest（X，m,sigma,alpha,tail）说明：X：样本；m:期望值；sigma:正态总体标准差；alpha:经验水平；tail:备择假设的选项，若tail=0(缺省)，则；若tail=1，则；若tail=-1，则。即tail=0(缺省)为双边检验，其余为单边检验问题。H：检验结果，分两种情况：若H=0，则在水平下，接受原假设；若H=1，则在水平下，拒绝原假设。sig为当原假设为真时（即成立），得到观察值的概率，当sig为小概率时，则对原假设提出质疑。Ci:均值的1-alpha置信区间。1单个正态总体N（）的假设检验已知，对期望56应用举例例7．1某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖9袋，称得净重为：（公斤）0.4970.5180.5240.4980.5110.520.5150.512问机器是否正常？应用举例例7．1某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖57解：已知，在水平=0.05下检验假设：原假设：备择假设：

程序：>>X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512];>>[H,SIG]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)运行后显示结果如下：H=1SIG=0.0248结果表明：H=1，说明在水平=0.05下，可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常。解：已知，在水平=0.05下检验假设：581单个正态总体N（）的假设检验未知，对期望的假设检验—t检验法调用函数H=ttest(X,m,sigma)%在水平=sigma下检验是否成立。说明：X：样本；m:期望值；alpha:经验水平；tail:备择假设的选项，若tail=0(缺省)，则备择假设为

；若tail=1，则；若tail=-1，则。即tail=0(缺省)为双边检验，其余为单边检验问题。H：检验结果，分两种情况：若H=0，则在水平下，接受原假设；若H=1，则在水平下，拒绝原假设。sig为当原假设为真时（即成立），得到观察值的概率，当sig为小概率时，则对原假设提出质疑。Ci:均值的1-alpha置信区间。1单个正态总体N（）的假设检验未知，对期望59应用举例例7.2某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，均未知，现测得16只元件寿命如下：159280101