北师大版九年级数学下册 （三角函数的计算）直角三角形的边角关系教育教学课件

1.3

三角函数的计算第一章直角三角形的边角关系

1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识.2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.(重点)3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）学习目标导入新课回顾与思考30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

锐角α30°45°60°sinαcosαtanα三角函数

问题:

如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=ABsin∠α=200sin16°你知道sin16°是多少吗？导入新课讲授新课用计算器求三角函数值一1.求sin18°．第一步：按计算器键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18°=0.309016994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.2.求cos72°．第一步：按计算器键，cos第二步：输入角度值72，屏幕显示结果cos72°=0.309016994讲授新课第一步：按计算器键，tan3.求tan30°36'.第二步：输入角度值30，按键，输入36，按°＇

″

最后按等号，屏幕显示答案：0.591398351；第一步：按计算器键，tan第二步：输入角度值30.6

（因为30°36'＝30.6°）屏幕显示答案：0.591398351.第一种方法：第二种方法：°＇

″键，讲授新课例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.典例精析讲授新课

问题:

如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=ABsin∠α=200sin16°你知道sin16°是多少吗？BC=200sin16°≈55.12（米）讲授新课

问题:

在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗在Rt△BDE中，∠BED=90°，DE=BDsin∠β=200sin42°DE≈133.82（米）E讲授新课利用计算器由三角函数值求角度二

为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？讲授新课利用计算器由三角函数值求角度二

为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？在Rt△ABC中，sin∠A=那么∠A是多少度呢？讲授新课

已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还以以利用键，进一步得到∠A＝30°7'8.97"第一步：按计算器键，sin第二步：然后输入函数值0.5018屏幕显示答案：30.11915867°

°＇″操作演示SHIFT讲授新课例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.讲授新课cos55°=cos70°=cos74°28'=tan3°8'=

tan80°25'43″=sin20°=

sin35°=sin15°32'=0.34200.34200.57360.57360.26780.26785.9300.0547角度增大正弦值增大余弦值减小正切值增大拓广探索比一比，你能得出什么结论？讲授新课正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）归纳总结讲授新课例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?利用三角函数解决实际问题三讲授新课(1)求改直后的公路AB的长；解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；讲授新课(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米

(精确到0.1)?(2)∵AC＝10千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．讲授新课例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．讲授新课解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设EF＝x，∵tan25.6°＝≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝

＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大约是81米．讲授新课

解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．方法总结讲授新课当堂练习1.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.6275，sinB＝0.6175；（2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659；（3）tanA＝4.8428，tanB＝0.8816.∠B≈38°8′2″∠A≈38°51′57″∠A≈51°18′11″∠B≈80°27′2″∠A≈78°19′58″∠B≈41°23′58″2.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（）A．32°B．58°C．68°D．以上结论都不对A3.用计算器验证，下列等式中正确的是（）A．sin18°24′+sin35°26′=sin45°B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°C．2sin15°30′=sin31°D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′D当堂练习4.下列各式中一定成立的是（）A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°B.tan75°﹤tan48°﹤tan15°C.cos75°﹥cos48°﹥cos15°D.sin75°﹤sin48°<sin15°A当堂练习5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(

)A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.D当堂练习6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°.(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．当堂练习解析

(1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即

可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．当堂练习课堂小结三角函数的计算用计算器求锐角的三角函数值或角的度数不同的计算器操作步骤可能有所不同利用计算器探索锐角三角函数的新知正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.谢谢大家！1.3三角函数的计算

北师大版

九年级

下册

教学目标教学目标：1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识.2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.

3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.

教学重点:学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.教学难点：学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.

新知导入

情境引入ABCabc直角三角形的边角关系三边的关系：________.a2+b2=c2两锐角的关系：__________.∠A+∠B=90°边与角的关系：锐角三角函数新知讲解

合作学习你知道sin16°等于多少吗?我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=ABsin16°.你知道sin16°等于多少吗?需要用科学计算器来进行计算.用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到以下按键:例如，求sin16°的按键顺序：第二步：输入角度值16，再按“=”。屏幕显示结果sin16°=0.2756373558第一步：按计算器键，sinsin1sin160.2756373558求cos72°38′25″的按键顺序：coscos7cos72cos72°cos72°3cos72°38cos72°38′cos72°38′2cos72°38′25cos72°38′25″0.2983699067求tan85°的按键顺序：tantan8tan8511.4300523屏幕显示结果tan85°=11.4300523提炼概念

分析：已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．典例精讲

例1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算什么?

议一议

为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?如图，在Rt△ABC中，sinA=那么∠A是多少度呢?要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.

想一想

已知三角函数值求角度，要用到

“sin”、“cos”、“tan”键的第二功能“sin־¹，cos־¹，tan־¹”和2ndf键。按键顺序显示结果sinA=0.9816cosB=0.8607tanC=56.7878.9918403930.6047300788.99102049以“度”为单位再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.你能求出∠A的度数了吗?如图，在Rt△ABC中，sinA=∴∠A≈14.4775°.归纳概念

1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：

先按

键或

键或

键，再按角度值，

最后按

键就可求出相应的三角函数值．2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺

序为：先按

键，再按

键或

键或

键，然后输入三角函数值，最后按

键

就可求出相应角度．sinsincoscostantan2ndF==课堂练习

A2.下列各式中一定成立的是（）A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°B.tan75°﹤tan48°﹤tan15°C.cos75°﹥cos48°﹥cos15°D.sin75°﹤sin48°<sin15°

【详解】解：使用计算器计算得，4sin50°≈3.06，故选：B．4．利用计算器求下列各角(精确到1′)．(1)