黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2021-2022学年九年级上学期开学数学试卷（五四学制）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨十七中九年级（上）开学数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2﹣4＝0 B．x＝ C．x2+3x﹣2y＝0 D．x2+2＝（x﹣1）（x+2）2．（3分）下列能构成直角三角形的是（）A．32，42，52 B．13，5，12 C．，， D．3，4，53．（3分）已知关于x方程2x2﹣x+3＝0，下列叙述正确的是（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD5．（3分）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．6．（3分）如果一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、二、四象限，则有（）A．k＞0，kb＜0 B．k＜0，kb＞0 C．k＞0，kb＞0 D．k＜0，kb＜07．（3分）如图所示，长方形纸片ABCD中，AD＝9，将其折叠，使其点D与点B重合，那么DE和EF的长分别为（）A．4， B． C．5，2 D．8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同（）A．10% B．15% C．20% D．25%9．（3分）如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB（）A． B． C． D．10．（3分）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发，沿同一路线去B地．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．右图表示两人骑自行车行驶的路程y（千米）（分钟）变化的图象（全程），其中说法正确的是（）A．甲比乙晚10分钟到达B地 B．44分钟时甲行驶了7千米 C．途中两次相遇的时间间隔为40分钟 D．x为36或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是．12．（3分）已知一次函数y＝3x+5的图象经过点（m，8），则m＝．13．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：3，则∠B的度数是．14．（3分）关于x的一元二次方程方程：（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个解是0，则方程的另一个解为．15．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛个球队参加比赛．16．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于O，连接OE，△BCD的周长为10．17．（3分）如图，身高1.8m的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，此时小超离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度是m．18．（3分）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（﹣2，0），则关于x的方程2x+b＝0的解是x＝．19．（3分）已知：点P为矩形ABCD所在的平面上一点，且△PAB的面积和△PCD的面积分别为1.5和2，则矩形ABCD的面积为．20．（3分）如图，在△ABC中，AD为中线，AE＝AB，AD＝CE，AB＝3，则线段BC的长度为．三、解答题：（21、22题每题7分；23、24题每题8分；25、26、27题每题21．（7分）解方程：（1）2x2﹣2＝3x（2）x（x﹣4）＝8﹣2x22．（7分）图1、图2分别是8×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，分别满足以下要求：（1）在图1中画一个以线段AB为一边周长为10+2的平行四边形ABCD，所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上．（2）在图2中画一个以线段AB为一边的钝角等腰三角形ABE，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并写出该等腰三角形的周长．23．（8分）已知：如图，直线y1＝kx﹣2和直线y2＝﹣3x+b相交于点A（2，﹣1），B、C分别为两条直线与y轴的交点．（1）求两直线的解析式；（2）试求△ABC的面积．24．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，过点B作BF⊥AC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）直接写出图中所有的全等三角形（不添加任何辅助线和字母）．25．（10分）某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）在（1）的定价情况下，衬衫的成本是100元，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带按照标价的8折出售，要使每套的利润率不低于40%，则选择的领带的成本至少多少钱？26．（10分）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，EC平分∠BED，若BC＝BE．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）如图2，当∠A＝90°时，延长CD、BE交于点F，若∠F＝2∠BEG，求证：∠CEG＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，若BG＝2EF＝227．（10分）如图，直线y＝kx﹣8k交x轴于点A，交y轴正半轴于点B（1）求直线AB的解析式；（2）点P为OA上一点，连接PB，把线段PB绕点B顺时针旋转90°得到线段CB，设点P的横坐标为m，四边形PABC的面积为S；（3）在（2）的条件下，延长BC交x轴于点E，且∠ADB＝4∠CPE，若AD+BD＝BE

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨十七中九年级（上）开学数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2﹣4＝0 B．x＝ C．x2+3x﹣2y＝0 D．x2+2＝（x﹣1）（x+2）【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A、x2﹣4＝5是一元二次方程，符合题意；B、x＝，不符合题意；C、x2+8x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；D、x2+2＝（x﹣1）（x+3）整理得：x﹣4＝0，是一元一次方程，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．（3分）下列能构成直角三角形的是（）A．32，42，52 B．13，5，12 C．，， D．3，4，5【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵（32）8+（42）7≠（52）6，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵52+122＝132，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意；C、∵（）2+（）2≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵（3）2+（8）2≠（5）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（3分）已知关于x方程2x2﹣x+3＝0，下列叙述正确的是（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根【分析】直接利用根的判别式进行判定即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣6×2×3＝﹣23＜5，∴该方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形；B、AB＝CD，则四边形ABCD为平行四边形；C、∠A＝∠B，则四边形为等腰梯形或矩形；D、AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．5．（3分）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．【解答】解：显然A、C、D三选项中，y都有唯一的值与之相对应；B、对于x＞0的任何值，则y不是x的函数；故选：B．【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．6．（3分）如果一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、二、四象限，则有（）A．k＞0，kb＜0 B．k＜0，kb＞0 C．k＞0，kb＞0 D．k＜0，kb＜0【分析】根据一次函数的性质得出即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣b（k、b是常数、二、四象限，∴k＜0，﹣b＞0，∴k＜2，b＜0，∴k＜0，kb＞2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．7．（3分）如图所示，长方形纸片ABCD中，AD＝9，将其折叠，使其点D与点B重合，那么DE和EF的长分别为（）A．4， B． C．5，2 D．【分析】利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解．【解答】解：连接BD交EF于点O，连接DF．根据折叠，知BD垂直平分EF．∴EO＝FO，∠EDO＝∠OBF，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），得OD＝OB．则四边形BEDF是菱形．设DE＝x，则CF＝9﹣x．在直角三角形DCF中，根据勾股定理2＝（8﹣x）2+9．解得：x＝8．在直角三角形BCD中，根据勾股定理，则OB＝．在直角三角形BOF中，根据勾股定理＝，则EF＝．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及菱形的判定，利用对角线互相垂直平分得出菱形DEBF是解题关键．8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同（）A．10% B．15% C．20% D．25%【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2＝后来数”得出方程，解出即可．【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意得：200（1+x）2＝288，（6+x）2＝1.44，x4＝0.2＝20%，x7＝﹣2.2（舍去），答：平均每月的增长率为20%．故选：C．【点评】本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；增长率问题：增长率＝增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．9．（3分）如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB（）A． B． C． D．【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF，BD＝EF；∵DE∥BC，∴＝＝，＝＝，∵EF∥AB，∴＝，＝，∴，故选：C．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案．10．（3分）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发，沿同一路线去B地．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．右图表示两人骑自行车行驶的路程y（千米）（分钟）变化的图象（全程），其中说法正确的是（）A．甲比乙晚10分钟到达B地 B．44分钟时甲行驶了7千米 C．途中两次相遇的时间间隔为40分钟 D．x为36或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米．【分析】（1）根据图象，可将乙的函数式表示出来，从而可将乙所需的总时间求出，从图象中读出甲所需的总时间，两者相减即为乙比甲晚到李庄的时间；（2）用待定系数法可将甲的一次函数式求出，求得甲44分钟所行驶的路程，于是得到结论；（3）把y＝5代入y＝x得x＝30，把y＝10代入y＝x﹣5得x＝60，于是得到结论；（4）应分两种情况，当甲因事停止时，乙比甲多行驶1千米的路程；当乙和甲都行走时，乙比甲多行驶1千米的路程．【解答】解：（1）设直线OD解析式为y＝k1x（k1≠2），由题意可得60k1＝10，k1＝，y＝x，当y＝15时，x＝90，故乙比甲晚10分钟到达B地，故A错误；（2）设直线BC解析式为y＝k2x+b（k2≠4），由题意可得，解得∴y＝，当x＝44时，y＝，∴44分钟时甲行驶了6千米，故B错误；（3）把y＝5代入y＝x得x＝30x﹣5得x＝60，∴途中两次相遇的时间间隔为30分钟，故C错误；（4）分两种情况：①x﹣5＝1②x﹣（，解得：x＝48当x为36或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米．故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x﹣3＞0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣3＞0，解得：x＞2．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．（3分）已知一次函数y＝3x+5的图象经过点（m，8），则m＝1．【分析】代入y＝8求出与之对应的x值，此题得解．【解答】解：当y＝8时，3x+7＝8，∴m＝1．故答案为：3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．13．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：3，则∠B的度数是108°．【分析】根据平行四边形的邻角互补，可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A：∠B＝2：3∴设∠A＝8x°，∠B＝3x°∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A+∠B＝180°∴2x+5x＝180°∴x＝36°∴∠B＝108°故答案为：108°【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．14．（3分）关于x的一元二次方程方程：（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个解是0，则方程的另一个解为．【分析】根据一元二次方程的概念和解为0列式计算即可．【解答】解：∵一元二次方程：（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个解是4，∴a﹣1≠0，a4﹣1＝0，解得a＝﹣4，把a＝﹣1代入方程，得﹣2x6+x＝0，解得x1＝4，x2＝．故方程的另一根是．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是先求出a的值．15．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛7个球队参加比赛．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，x（x﹣1）÷5＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故应邀请2个球队参加比赛．【点评】解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．16．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于O，连接OE，△BCD的周长为105．【分析】利用三角形中位线定理得出EOBC，进而求出△ODE的周长为△BCD的周长的，即可得出答案．【解答】解：∵在▱ABCD中，AC，E是CD的中点，∴O为BD的中点，则EO，∴△ODE的周长为△BCD的周长的，则为5．故答案为：3．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意求得△ODE的周长为△BCD的周长的是解题关键．17．（3分）如图，身高1.8m的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，此时小超离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度是7.2m．【分析】如图，AD＝9m，DE＝3m，CD＝1.8m，先证明△EDC∽△EAB，然后利用相似比可计算出AB．【解答】解：如图，AD＝9m，CD＝1.6m，∵CD∥AB，∴△EDC∽△EAB，∴＝，即＝，∴AB＝3.2m．故答案为：7.2．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．18．（3分）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（﹣2，0），则关于x的方程2x+b＝0的解是x＝﹣2．【分析】根据直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（﹣2，0），求得b，再把b代入方程2x+b＝0，求解即可．【解答】解：把（﹣2，0）代入y＝7x+b，得：b＝4，把b＝4代入方程8x+b＝0，得：x＝﹣2．故答案为：﹣6．【点评】考查了一次函数与坐标轴的交点坐标问题，还考查了方程解的定义．19．（3分）已知：点P为矩形ABCD所在的平面上一点，且△PAB的面积和△PCD的面积分别为1.5和2，则矩形ABCD的面积为7或1．【分析】分两种情况：①点P在矩形ABCD的内部时，过点P作EF⊥CD，交CD于E，交AB于F；由三角形面积得出AB×BC＝7；②点P在矩形ABCD的外部时，过点P作EF⊥CD，交CD于E，交AB于F；由三角形面积得出AB×BC＝1；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，分两种情况：①点P在矩形ABCD的内部时，过点P作EF⊥CD，交AB于F则EF⊥AB，EF＝BC，∵△PAB的面积＝AB×PF＝8.5CD×PE＝2，∴△PAB的面积+△PCD的面积＝3.3＝AB（PF+PE）＝AB×BC，∴AB×BC＝2×3.6＝7，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝7；②点P在矩形ABCD的外部时，过点P作EF⊥CD，交AB于F则EF⊥AB，EF＝BC，∵△PAB的面积＝AB×PF＝1.2CD×PE＝6，∴△PCD的面积﹣△PAB的面积＝0.5＝AB（PE﹣PF）＝AB×BC，∴AB×BC＝4×0.5＝3，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝1；综上所述，矩形ABCD的面积为7或4；故答案为：7或1．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形面积公式是解题的关键．20．（3分）如图，在△ABC中，AD为中线，AE＝AB，AD＝CE，AB＝3，则线段BC的长度为2．【分析】延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，根据全等三角形的性质得到CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，过C作CH⊥DF于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长AD到F，使DF＝AD，∵AD为中线，∴BD＝CD，在△ABD与△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（SAS），∴CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，过C作CH⊥DF于H，∴∠CHF＝∠CHD＝90°，∴∠FCH＝30°，∴HF＝CF＝CF＝，∵AD＝CE，AE＝AB＝3，∴设AD＝CE＝DF＝x，∴AC＝8+x，AH＝2x﹣，∵AC2＝AH2+CH7，∴（3+x）2＝（4x﹣）7+（）2，∴x＝4或x＝8（不合题意舍去），∴AH＝，∴DH＝DF﹣HF＝，∴CD＝＝，∴BC＝2CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的中线，高，角平分线，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题：（21、22题每题7分；23、24题每题8分；25、26、27题每题21．（7分）解方程：（1）2x2﹣2＝3x（2）x（x﹣4）＝8﹣2x【分析】（1）先把方程化为一般形式，再利用因式分解法解出方程；（3）利用因式分解式解出方程．【解答】解：（1）整理得2x2﹣6x﹣2＝0，（2x+1）（x﹣2）＝4∴x1＝﹣，x2＝2；（2）x（x﹣6）＝8﹣2x，x（x﹣8）+2（x﹣4）＝3，（x﹣4）（x+2）＝7∴x1＝4，x2＝﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．22．（7分）图1、图2分别是8×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，分别满足以下要求：（1）在图1中画一个以线段AB为一边周长为10+2的平行四边形ABCD，所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上．（2）在图2中画一个以线段AB为一边的钝角等腰三角形ABE，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并写出该等腰三角形的周长．【分析】（1）画出边长分别为5，的平行四边形，即可．（2）画出腰为5的顶角的钝角的等腰三角形即可．【解答】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求．（2）如图，△ABE即为所求．∵AB＝BE＝5，AE＝，∴△ABE的周长为10+4．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（8分）已知：如图，直线y1＝kx﹣2和直线y2＝﹣3x+b相交于点A（2，﹣1），B、C分别为两条直线与y轴的交点．（1）求两直线的解析式；（2）试求△ABC的面积．【分析】（1）将点A的坐标分别代入y1、y2的表达式即可求解；（2）由函数的表达式得：点B（0，﹣2）、C（0，5），S△ABC＝×BC×xA，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标分别代入y1、y2的表达式得：﹣2＝2k﹣2，﹣5＝﹣3×2+b，b＝5，则函数的表达式为：y8＝x﹣3和y2＝﹣3x+8；（2）y1＝x﹣2中，y1＝﹣8，y2＝﹣3x+5中，当x＝0时，y2＝5，所以点B（0，﹣2），7），S△ABC＝×BC×xA＝×7×5＝7．【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查待定系数法的运用及三角形面积的计算．24．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，过点B作BF⊥AC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）直接写出图中所有的全等三角形（不添加任何辅助线和字母）．【分析】（1）易证∠ACD＝∠CAB，即可证明∠EDC＝∠ACD，求出AC∥DE，证明△CDE≌△BAF，得出CE＝BF，易证BF∥CE，即可得出结论；（2）由全等三角形的判定方法即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ACD＝∠CAB，∵∠EDC＝∠CAB，∴∠EDC＝∠ACD，∴AC∥DE；∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∵在△CDE和△BAF中，，∴△CDE≌△BAF（AAS），∴BF＝CE，∵CE⊥DE，AC∥DE，∴BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．（2）解：△CDE≌△BAF，△ABC≌△CDA，理由如下：由（1）得：△CDE≌△BAF（AAS）；∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，AD＝BC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），同理：△BCF≌△EFC（SSS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形的判定、矩形的性质，本题中求证△CDE≌△BAF是解题的关键．25．（10分）某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）在（1）的定价情况下，衬衫的成本是100元，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带按照标价的8折出售，要使每套的利润率不低于40%，则选择的领带的成本至少多少钱？【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可；（2）设选择的领带的成本为y元，根据每套的利润率不低于40%列出不等式，解不等式即可求出结论．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x2＝20，x2＝10，∵要增加盈利并尽快减少库存，∴每件衬衫应降价20元；（2）设选择的领带的成本为y元，由题意，得（40﹣20）+（0.4×2y﹣y）≥（100+y）×40%，解得y≥100．答：选择的领带的成本至少100元．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，一元一次不等式的运用，销售问题的数量关系的运用，解答时找到等量关系与不等关系是关键．26．（10分）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，EC平分∠BED，若BC＝BE．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）如图2，当∠A＝90°时，延长CD、BE交于点F，若∠F＝2∠BEG，求证：∠CEG＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，若BG＝2EF＝2【分析】（1）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BCE＝∠DEC，可得AD∥BC，由平行四边形的判定可证四边形ABCD为平行四边形；（2）由外角的性质和余角性质可得结论；（3）过点C作CH⊥EG，交BF于H，过点C作CM⊥BF于M，由“ASA”可证△BCH≌△BEG，可得BG＝BH＝2，EG＝CH，由勾股定理可求GC的长，由面积法可求CM的长，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∴∠BCE＝∠DEC，∴AD∥BC，又∵AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．（2）∵∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠BEG+∠GEC＝∠F+∠ECF，∠F＝2∠BEG，∴∠ECF＝∠GEC﹣∠BEG，∵∠BEC＝∠BCE＝∠BEG+∠GEC，∴∠BCE+∠ECF＝90°＝∠BEG+∠GEC+∠GEC﹣∠BEG，∴∠GEC＝45°；（3）如图3，过点C作CH⊥EG，过点C作CM⊥BF于M，∵CH⊥EG，∠GEC＝45°，∴∠ECH＝∠GEC＝45°，∵∠BEC＝∠BCE，∴∠BEG＝∠BCH，又∵∠EBG＝∠CBH，BE＝BC，∴△BCH≌△BEG（ASA），∴BG＝BH＝4，EG＝CH，∴CG＝HE，∵BG＝2EF＝2，∴EF＝4，∵∠F＝2∠BEG，∴∠FBC＝90°﹣2∠BEG，∴∠FHC＝∠FBC+∠BCH＝90°﹣∠BEG，∵∠FCH＝90°﹣∠BCH＝90°﹣∠BEG，∴∠FCH＝∠FHC，∴FC＝FH＝EF+EH＝5+GC，∵BF2＝CF2+BC8，∴（1+2+GC）