七年级数学上册专题4.3 平面图形中的动点问题（强化）（解析版）

/专题4.3平面图形中的动点问题【例题精讲】如图，是线段上不同于点，的一点，，，两动点分别从点，同时出发在线段上向左运动（无论谁先到达点，均停止运动），点的运动速度为，点的运动速度为．（1）若，①当动点，运动了时，12；②当，两点间的距离为时，则运动的时间为；（2）当点，在运动时，总有，①求的长度；②若在直线上存在一点，使，求的长度．【解答】解：（1）①，，，动点，运动了，，，，，，故答案为：12；②设运动时间为，，，，，，，故答案为：4；（2）①，，，，，，，，；②当点在点右侧时，，，；当点在之间时，，，，，，，；综上所述：的长度为或．已知，为内部的一条射线（1）如图1，若平分，平分，的度数为；（2）如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数；（3）在（2）的条件下，绕点运动过程中，若，求的度数．【解答】解：（1）如图1，平分，平分，，，；故答案为：；（2）平分，平分，，，；（3）当在的右侧时，如图2，设，则，平分，平分，，，，即，，解得，即，当在的左侧时，如图3，设，则，平分，平分，，，，，解得，答：的度数为或．【题组训练】1．如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．（1）若，求的长；（2）若把“点在线段上”改为“点在直线上”，当时，求的长．（请画出图形，说明理由）【解答】解：（1），，，点、分别是和的中点，，，；（2）分两种情况：①当点在线段上，由（1）得；②当点在直线上，如下图所示，，，且是的中点，，又分别是的中点，，，当在直线上时，线段的长度是．综上所述，的长是．2．如图①，已知点是线段上一点，点在线段上，点在线段上，、两点分别从、出发以、的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示．（1）若，，当点、运动了，求的值．（2）若点、运动时，总有，则：．（3）如图②，若，点是直线上一点，且，求的值．【解答】解：（1）当点、运动了时，，，，（2），两点的速度分别为，3，．又，，即，；（3）当点在线段上时，如图，又，，即．当点在线段的延长线上时，如图，又，即．综上所述或1．3．如图，为内一条射线，的余角是它自身的两倍．（1）求的度数；（2）射线从开始，在内以的速度绕着点逆时针方向旋转，转到停止，同时射线在内从开始以的速度绕点逆时针方向旋转转到停止，设运动时间为秒．①若，运动的任一时刻，均有，求的度数；②为内任一射线，在①的条件下，当时，以为边所有角的度数和的最小值为．【解答】解：（1）设，则的余角，依题意有：，，；（2）①运动时间为秒，则，，，，设，又，则有：，解得：，，②当与重合时，以为边所有角的度数和的有最小值，当时，以为边所有角的度数和的最小值为．故答案为：4．如图，平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线、、，当点在直线上运动时，始终保持、，将射线绕点顺时针旋转得到射线（1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧，若平分，求的度数．（2）当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值．（3）当点运动到某一时刻时，，直接写出105或135或75或45度．【解答】（本题10分）解：（1）平分，设，，，，，，；（2）①当点运动到使点在射线的左侧，，设，．，，．．，．．．．．②当点运动到使在射线的左侧，但是射线在外部时．，设，，．．．．．（3）①如图3，当时，由图可得：．，．．②如图4，当时，由图可得：．，．．当射线在下面时，或．综上所述：的度数为或或或．故答案为：105或135或75或45．5．如图1，是在数轴上一定点，表示的数是5，是数轴上一动点，从原点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点在的右侧，，点在点的左侧，，设运动的时间为秒．（1）如图2，若与点重合，求的长；（2）若在线段上运动，且，求的值；（3）整个运动过程中，当时，写出点所表示的数（直接写出答案即可）．【解答】解：（1）当点与点重合时，，点在点的左侧，，点表示的数是5，点表示的数为3，．（2）当点在线段上运动时，点表示的数为，点表示的数为，，，点表示的数为，，，解得：或．（3）点表示的数为，点表示的数为，，，点表示的数为，，．当时，有，解得：，，此时点表示的数为或1；当时，有，解得：，此时点表示的数为2．综上所述：整个运动过程中，当时，点所表示的数为、1或2．6．如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50．（1）请写出线段中点表示的数是10．（2）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点相遇．①求、两点间的距离；②求两只蚂蚁在数轴上的点相遇时所用的时间；③求点对应的数是多少？（3）若蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数是多少？【解答】解：（1）中点表示的数是10．故答案为：10（2）①、两点间的距离为：②两只蚂蚁在数轴上的点相遇时所用的时间为：（秒③点对应的数是：（3）点表示的数是：7．已知数轴上有三点、、．（1）若，点对应的数是200，，求点对应的数；（2）在（1）的条件下动点、分别从、同时出发，其中向正方向运动，向反方向运动，的速度是的3倍多3个单位长度，20秒后相遇，求的速度和相遇地点对应的数；（3）若，，为中点，对应的数是，求的长以及点对应的数．【解答】解：（1），，，点对应的数是200，点对应的数是；（2）设的速度是个单位长度秒，则的速度是个单位长度秒，由题意得：，，，相遇地点对应的数是；（3）如图，，，，，为中点，，对应的数是，点对应的数是．8．如图，数轴上有、、、、五个点，点为原点，点在数轴上表示的数是5，线段的长度为3个单位，线段的长度为1个单位，且、两点之间的距离为12个单位，请解答下列问题：（1）点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是；（2）若点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动秒运动到点处，且的长度是2个单位，求点运动的时间；（3）把线段的中点记作，如果线段以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，直接写出点与线段的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间．【解答】解：（1）点在数轴上表示的数是5，线段的长度为3个单位，且点在点右侧，点在数轴上表示的数为8．线段的长度为1个单位，且、两点之间的距离为12个单位，且点在点的左侧，点在点的左侧，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为．故答案为：8；．（2）点在数轴上表示的数为，的长度是2个单位，，解得：或．点的运动时间为5秒或7秒．（3）点在数轴上表示的数为5，点在数轴上表示的数为8，点为线段的中点，点在数轴上表示的数为．运动时间为时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，当时，有，解得：或；当时，有，解得：或．综上所述：点与线段的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间为2秒、秒、秒或秒．9．如图甲，点是线段上一点，、两点分别从、同时出发，以、的速度在直线上运动，点在线段之间，点在线段之间．（1）设、两点同时沿直线向左运动秒时，，求的值；（2）在（1）的条件下，若、运动秒后都停止运动，此时恰有，求的长；（3）在（2）的条件下，将线段在线段上左右滑动如图乙（点在之间，点在之间），若、分别为、的中点，试说明线段的长度总不发生变化．【解答】解：（1）设，则，又，，，；（2）设，，又，，由，得，，，；（3）在（2）中有，，，，设，，，，．10．如图，是线段上一点，且，、两点分别从、同时出发，点以的速度向点运动，点以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．（1）当，点、运动了时，求这时与的数量关系；（2）若点、运动了时，恰好点是的中点，求的长；（3）若点、运动时，总有，求的长．【解答】解：（1），，．当、运动时，，，．，．（2）当、运动时，，．是的中点，，，．（3）设、运动，则，，，设，则．，．，．11．如图，已知线段，，线段在线段上运动，、分别是、的中点．（1）若，7；（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由．【解答】解：（1），，，，、分别是、的中点，，，；故答案为：7；（2）不改变，理由：，，，、分别是、的中点，，，，．12．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的顶点放在点处，．（1）如图1，当的一边与射线重合时，则；（2）将绕点逆时针运动至图2时，若，则；．（3）在上述从图1运动到图3的位置过程中，当的边所在直线恰好平分时，求此时是多少度？【解答】解：（1），，．故答案为：；（2）；，，；故答案为：；；（3）①当平分时，，，，平分，，；②当的反向延长线平分时，如图，作的反向延长线，则，，平分，，．综上所述，的度数为或．13．已知数轴上有，两点，分别代表，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从两点同时出发，甲沿线段以3个单位长度秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以5个单位长度秒的速度向左运动．（1），两点间的距离为60个单位长度；甲到达点时共运动了秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距28个单位长度？（4）若乙到达点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）、两点的距离为，甲到达点时共运动了秒；故答案为：60，20；（2）设它们按上述方式运动，甲，乙经过秒会相遇，根据题意得，解得，．答：甲，乙在数轴上的点相遇；（3）两种情况，相遇前，设秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得，，解得：，第一次相遇后，设秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得，，解得：，答：4秒或11秒时，甲、乙相距28个单位长度；（4）甲到达点前，甲，乙不能在数轴上相遇，理由：设甲到达点前，甲，乙经过秒在数轴上相遇，根据题意得，，解得：，，故甲，乙不能在数轴上相遇．14．如图，已知点为直线上一点，射线和在直线的两侧，，，、分别平分、，射线以秒的速度绕点顺时针匀速旋转，射线以秒的速度绕点逆时针匀速旋转．设运动时间为秒．（1）运动开始前，的度数是多少？请写出计算过程．（2）当为多少时，？请写出计算过程．（3）当为多少时，射线和射线在同一条直线上？请写出计算过程．【解答】解：（1）平分，．同理．．．；（2），．或或，解得或或，答：的值为6或14或96时，；（3）①当与重合时，即与重合在一起，解得．②当与互为反向延长线上时，解得：答：的值为10或70时．15．如图，已知数轴上有三点、、，它们对应的数分别为，，，且，点对应的数是20．（1）若，求、的值；（2）在（1）的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为8个单位长度秒、4个单位长度秒、2个单位长度秒，点为线段的中点，点为线段的中点，在、相遇前，多少秒时恰好满足？（3）在（1）的条件下，为原点，动点、分别从、同时出发，向左运动，向右运动，点的运动速度为8个单位长度秒，点的运动速度为4个单位长度秒，为的中点，为的中点，在、运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，，，点对应20，点对应的数为：，点对应的数为：，的值为，的值为；（2）如图2，由（1）可得，设秒时，在右边时，恰好满足，，，当时，，解得：，秒时恰好满足；（3）如图3，设运动的时间为，则，，由（1）可得，点表示20，，，，，为的中点，为的中点，，，，，即的值不发生变化，是定值10．16．如图：在数轴上点表示的数是，点与点的距离为7个单位长度，（1）点表示的数是或3；（2）当点在点右侧时，动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动；同时，另一动点从点出发以每秒2个单位长度也向右运动，设运动时间为．当为何值时，点与点的距离为3个单位长度？（3）在（2）问的条件下，动点到达点后立即以原来的速度返回到点，此时点、同时停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的值．【解答】解：（1）在数轴上点表示的数是，点与点的距离为7个单位长度，点表示的数是或3，故答案为：或3；（2）根据题意得，或，或，答：为4或10时，点与点的距离为3个单位长度；（3）或，，当时，即或，解得：或，当时，的值是1.5或．17．如图1，已知线段，点是线段上一点，点在线段上，点在线段上，、两点分别从、出发以、的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中、满足条件：．（1）直接写出：1，；（2）若，当点、运动了，求的值；（3）如图2，若，点是直线上一点，且，求与的数量关系．【解答】解：（1）根据题意可得，，，可得：，．故答案为：1，3；（2）当、运动时，，，．（3）①当点在线段上时，，又，，．②当点在线段的延长线上时，，又，．（9分）综上所述，或．18．如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为，单位秒）（1）当时，求的度数；（2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当时，．（2）依题意，得：，解得：．答：当第二次达到时，的值为．（3）当时，，解得：；当时，或，解得：或．答：在旋转过程中存在这样的，使得射线与射线垂直，的值为9、27或45．19．如图，直线、相交于点，，．（1）若，则．（2）从（1）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分．（3）从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况）【解答】解：（1），，，，，，故答案为：；（2）情况1：如图：平分，，，设运动秒时平分，根据题意得，，解得，；情况2：如图：平分，，，设运动秒时平分，根据题意得，，解得，，综上，运动11或23秒时，直线平分；（3）①，如图：②，如图：③，如图：④，如图：综上，或．20．已知，过顶点作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”．（1）已知射线是的“好线”，且，求的度数．（2）如图2，是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”．（3）如图3，已知，．射线和分别从和同时出发，绕点按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．【解答】解：（1）是的“好线”，且，，①当在的外部时，，②当在的内部时，．（2）是的平分线，且，，，，是的平分线，，，是的一条“好线”；（3）设旋转的时间为秒，①，，②，，综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或秒．21．（1）如图，，，在外部，平分，平分，则45度．（2）若，其他条件不变，则度．（3）若为锐角），其他条件不变，则度．（4）若且为锐角），且点在的上方，求的度数．（请在图2中画出示意图并解答）【解答】解：，，，又为平分线，为平分线，，，；故答案为：45．（1），，，又为平分线，为平分线，，，；故答案为：．（2）当时．，，，又为平分线，为平分线，，，；故答案为：45．（3）如图所示：，，，又为平分线，为平分线，，，．22．将直角三角板的直角顶点放在直线上，射线平分．（1）如图，若，求的度数；（2）若，求的度数；（3）将直角三角板绕顶点按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当时，求的度数．【解答】解：（1），，，（2）平分，，又，设，，，，，解得，；（3）①当在直线上方时，，，平分，，，，当在直线下方时，，，平分，，，，综上所述：的度数为或．23．已知，，，，是内的射线．（1）如图1，若平分，平分，，则60；（2）如图2，若平分，平分，求的度数；（3）如图3，是内的射线，若，平分，平分，当射线在内时，求的度数．【解答】解：（1），，，平分，，故答案为：60；（2）平分，平分，，，，；（3）设，则，平分，平分，，，．24．如图所示，，，是以直线上一点为端点的三条射线，且，，，以为端点作射线，分别与射线，重合．射线从处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为1度秒，射线从处开始绕点顺时针匀速旋转，（射线旋转至与射线重合时停止，射线旋转至与射线重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度旋转角度旋转时间）．（1）直接写出射线停止运动时的时间为180秒．（2）当射线平分时，直接写山它的旋转时间是秒．（3）若射线的转速为3度秒，当时，直接写出射线的旋转时间是秒．（4）若时，射线旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，直接写出射线的旋转速度是度秒．【解答】解：（1）射线旋转至与射线重合时停止，旋转，射线停止运动时的时间为180秒．故答案为：180．（2），当射线平分时，，此时旋转的度数为：，射线从处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为，旋转的时间：．故答案为：55．（3）设射线旋转的时间为，则①当和在未重合之前，，；②当和在重合之后，，解得；时按题目条件早已停止运动，但未停止，因此第二种情况．故经过5秒或70秒．故答案为：5或70．（4）若，①当在和之间时，，此时，，此时，此时旋转时间：，那就旋转了，旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，分成2种情况，、，，此时，的旋转速度，；、，，此时，此时，的旋转速度，；②当在左侧时，，此时，，此时，此时旋转时间：，那就旋转了，旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，分成2种情况，、，，此时，的旋转速度；、，，此时，此时，的旋转速度，，故答案为：或0.5或或．25．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．（1）求线段，的长；（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）如图1，、分别为线段、的中点，，，；如图2，、分别为线段、的中点，，，；（3）②正确．理由如下：，②是定值2．26．已知，，是的角平分线．（1）如图1，当时，求；（2）如图2，若在内部运动，且是的角平分线时，求的值；（3）在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转秒后得到，求的值．【解答】解：（1），，，，平分，，；（2）平分，，平分，，，又，；（3）分三种情况：①当射线、在内部时，即时，由题意得：，，，，，，解得：（舍去）；②当射线在内部时，射线在外部时，即时，则，，，解得：；③当射线、在外部时，即时，则，，，解得：；综上所述，的值为秒或秒．27．如图，直线上有，两点，，点是线段上的一点，．（1）8，；（2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长；（3）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．求当为何值时，．【解答】解：（1），，，解得，．故答案为：8，4；（2）设的长为，分两种情况：①点在线段上时，，，；②点在线段上时，，，（不符合题意，舍）．故的长是；（3）以点为原点，向右为正方向作数轴．后，点所到的点表示的数为；此时，点所到的点表示的数为．当在的左侧）时，，，，则，解得；当在的右侧）时，，，，则，解得．综上所述，或8时，．28．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为6，，．（1）求点、对应的数；（2）动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的