【解析】江苏省盐城市东台市二联盟2023-2022学年九年级上学期第一次阶段测试数学试卷

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一、单选题

1．（2023九上·东台月考）方程的根为（）

A．，B．，

C．，D．，

2．下列说法正确的是（）

A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程

B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程

C．方程x2－2x＝1的常数项为0

D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0

3．（2023·安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A．12B．9C．13D．12或9

4．某饲料厂今年一月份生产饲料吨，三月份生产饲料吨，若二月份和三月份这两个月平均增长率为x，则有（）.

A．B．

C．D．

5．（2023九上·中山期末）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（）

A．100°B．110°C．125°D．130°

6．（2023·思茅模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）

A．20°B．30°C．40°D．50°

7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）

A．0B．1C．2D．3

二、填空题

9．方程的解为

10．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是

11．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．

12．已知m，n是方程x2+4x﹣5=0的两个实数根，则m﹣mn+n=．

13．（2023九上·贾汪月考）已知一点到圆周上点的最大距离为，最短距离为，则圆的直径为.

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E，则其内切圆的半径r等于．

15．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．

16．如图，在⊙O中，，A、C之间的距离为4，则线段BD＝．

17．（2023·贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是．

18．如图，在Rt△ABC中，，，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD对折，点C的对应点是，在点D从C到点A的运动过程中，点运动的路径长．

三、解答题

19．解方程

（1）

（2）x2-2x-3=0(配方法)

20．如果关于x的方程有实数根，试求k的取值范围

21．（2023九上·孟津月考）服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

22．已知⊙O的直径为10，AB、CD是两条平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之间的距离

23．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长．

24．如图，是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧的中点，交弦于E，若，.

（1）求的长度；

（2）连接，求的长度.

25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线．

（1）求证：DE=DC；

（2）若⊙O的半径为5，OE=1，求DE的长．

26．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．

（1）根据上述定义，判断方程（填“是”或“不是”）“邻根方程”；

（2）已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值；

（3）若关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．

27．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．

（1）求∠ABD的度数；

（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴或，

，

故答案为：A．

【分析】根据因式分解法解方程即可.

2．【答案】B

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误；

B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确；

C.该方程的常数项是－1，故此选项错误；

D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误；

故答案为：B.

【分析】形如ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此逐一判断即可.

3．【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质

【解析】【解答】∵，

∴，

即，

①等腰三角形的三边是2，2，5，

∵2+2＜5，

∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，

三角形的周长是2+5+5=12；

即等腰三角形的周长是12．故答案为：A．

【分析】用因式分解法解一元二次方程，求出x的值，然后分两种情况：①等腰三角形的三边是2，2，5，②等腰三角形的三边是2，5，5，再按三角形三边的关系判断能否构成三角形，最后利用三角形周长的计算方法，算出答案。

4．【答案】C

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：依题意得

500（1+x）2=720．

故答案为：C．

【分析】根据一月份生产饲料产量×（1+月平均增长率）2=三月份生产饲料产量列出方程即可.

5．【答案】A

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：所对的圆心角为，所对的圆周角为，，

，

故答案为：．

【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。

6．【答案】C

【知识点】圆周角定理；切线的性质

【解析】【解答】解：如右图所示，连接BC，

∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

又∵∠A=25°，

∴∠CBA=90°﹣25°=65°，

∵DC是切线，

∴∠BCD=∠A=25°，

∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．

故答案为：C．

【分析】根据已知AB是直径，直径所对的圆周角是直角，添加辅助线，连接BC，得出∠BCA=90°，求出∠CBA的度数，由DC切⊙O于点C，可证得∠BCD=∠A，再根据三角形的外角的性质，就可以求得∠D的度数。

7．【答案】B

【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理

【解析】【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，

∵⊙O的直径为10，

∴半径为5，

∴OM的最大值为5，

∵OM⊥AB于M，

∴AM=BM，

∵AB=6，

∴AM=3，

在Rt△AOM中，；

此时OM最短，

所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．

故答案为：B．

【分析】连接OA，作OM⊥AB于M，此时OM的长为最小值，OA的长为OM的最大值，据此即可求解.

8．【答案】B

【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理

【解析】解答：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，

∵M为PQ的中点，

∴MN为△POQ的中位线，

∴MN=OQ=×2=1，

∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，

在△OMN中，1＜OM＜3，

当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，

∴线段OM的最小值为1．

故答案为：B．

【分析】取OP的中点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=OQ=1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1．

9．【答案】

【知识点】直接开平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴x2=2，

解得，

故答案为：．

【分析】利用直接开平方法解方程即可.

10．【答案】-1

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程

∴

解得：

故答案为：

【分析】只含有一个未知数，且未知项的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此解答即可.

11．【答案】4或5

【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：，

解得x＝3或4；

①当4是直角边时，斜边长，所以直角三角形外接圆直径是5；

②当4是斜边时，这个直角三角形外接圆的直径是4．

故答案为：4或5．

【分析】解方程可得x＝3或4，分两种情况：①当4是直角边时，②当4是斜边时，据此分别解答即可.

12．【答案】-9

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣5=0的两个实数根

∴

∴

故答案为：-9

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后整体代入计算即可.

13．【答案】或

【知识点】点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：当点在圆内时，圆的直径为9+1=10；

当点在圆外时，圆的直径为9-1=8.

故答案是：10或8.

【分析】此题需要分该点在圆内还是圆外两种情况，：当点在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径；当点在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径。

14．【答案】2

【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理

【解析】【解答】解：如图，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8；

根据勾股定理AB==10；

四边形OECD中，OE=OD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°；

∴四边形OECD是正方形；

由切线长定理，得：AD=AF，BF=BE，CE=CD；

∴CE=CD=（AC+BC﹣AB）；

即：r=（6+8﹣10）=2．

故答案为2．

【分析】根据勾股定理AB=10，易证四边形OECD是正方形，由切线长定理可得AD=AF，BF=BE，CE=CD，从而得出CE=CD=（AC+BC﹣AB），继而得解.

15．【答案】4

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】∵d、R是方程x2-4x+m=0的两个根，且直线l与⊙O相切，

∴d=R，

∴方程有两个相等的实根，

∴△=16-4m=0，

解得，m=4，

故答案为：4．

【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．

16．【答案】4

【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接、，如下图；

∵

∴

∴

即：

∴

又∵

∴

故答案为：4

【分析】连接、，根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而得出，继而得出=4.

17．【答案】14

【知识点】勾股定理；垂径定理

【解析】【解答】解：∵MN=20，

∴⊙O的半径=10，

连接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，

∴OD==8；

同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，

∴OC==6，

∴CD=8+6=14，

作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，

在Rt△AB′E中，

∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，

∴AB′==14．

故答案为：14．

【分析】先由MN=20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

18．【答案】2

【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，

当点D从点C到点A的动过程中，点C′运动的轨迹是扇形，扇形的圆心角为180°，

点C′运动的路径长＝＝2，

故答案为：2．

【分析】由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，根据弧长的公式进行计算即可.

19．【答案】（1）解：∵，

，

；

（2）解：，

，

，

，

或

【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可；

（2）根据配方法解方程即可.

20．【答案】解：当时，方程变为，此时，符合题意；

当时，，

解得，

综上所述，k的取值范围为．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【分析】当k=0时，方程有实数根；当k≠0时，方程有实数根，即得△≥0，据此解答即可.

21．【答案】如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；

设每件童装应降价x元，

依题意得(40x)(20+2x)=1200，

整理得，

解之得，

因要减少库存，故x=20.

答：每件童装应降价20元.

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；根据单件的利润乘以销售数量=总利润，从而即可列出方程，解方程就可以求出应降价多少元.

22．【答案】解：分为两种情况：①如图1，过O作EF⊥CD于E，交AB于F，连接OC、OA、

∵AB∥CD，

∴EF⊥AB，

∴由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝4，AF＝BF＝AB＝3，

在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，由勾股定理得：OE＝＝3，

在Rt△OAF中，OC＝5，AF＝3，由勾股定理得：OF＝＝4，

即两条平行弦AB与CD之间的距离是43＝1；

②如图2，两条平行弦AB与CD之间的距离是3＋4＝7；

综合上述，两条平行弦AB与CD之间的距离是1或7．

【知识点】勾股定理；垂径定理

【解析】【分析】分为两种情况：①当两条平行的弦在原点的同侧，②当两条平行的弦在原点的两侧，根据垂径定理及勾股定理分别求解即可.

23．【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6

【知识点】菱形的判定与性质；圆的认识

【解析】【分析】连接OD，由条件可得四边形OFDE是矩形，根据矩形对角线相等可知OD=EF=3，利用同圆半径相等即可解答。

24．【答案】（1）解：∵D是弧的中点，

∴，是的中点，

∵中，

∴，

设，

∵，

∴，解得，

∴.

（2）解：作辅助线连接，

可得，

∵E、O分别为、的中点，

∴，

∵，

∴，

∵在中，

∴.

【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AC⊥DO，E是AC中点，设，可得=x，中，由勾股定理得，从而得出关于x方程并解之即可；

（2）连接BC，由线段的中点及三角形中位定理可得EC=4，BC=2EO=6，然后利用勾股定理求出BE的长.

25．【答案】（1）证明：连接OC，如下图：

∵AB是⊙O的直径

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∵是⊙O的切线，是半径

∴

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

又∵，

∴

∴

（2）解：∵在中，，由勾股定理知

即：

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴，

∴

∵，

∴

又∵

∴

∴

∴

即：

∴．

【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，根据余角的性质可得∠ABC=∠AEO，由切线的性质可得∠OCD=90°，根据余角的性质可得∠1=∠2，由OB=OC可得∠ABC=∠2，从而得出∠ABC=∠1，由，，可得，根据等腰三角形的性质即得结论；

（2）由勾股定求出AE，证明，利用相似三角形的性质可求出CB、AC、CE的长，再证，利用相似三角形的性质可求出DE的长即可.

26．【答案】是已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值；【答案】解：解方程得：，或，方程是常数是“邻根方程”，或，或；若关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．【答案】解：解方程得，关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，，，，，，时，t的最大值为16．

（1）是

（2）解：解方程得：，

或，

方程是常数是“邻根方程”，

或，

或；

（3）解：解方程得，

关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，

，

，

，

，

，

时，t的最大值为16．

【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：（1），

解得，

∴是“邻根方程”；

【分析】（1）先解方程求出方程的根，再根据“邻根方程”进行判断即可；

（2）解方程得x=m或x=-1，由“邻根方程”的定义可得m=-1+1或m=-1-1，从而得解；

（3）根据“邻根方程”的定义可得方程的两根差为1，由此可得，由可推出t关于a的关系式，然后配方求出其最值即可.

27．【答案】（1）解：根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．

如图1，连接OD，

∴OA＝OD．

∵点C为OA的中点，CD⊥AB，

∴AD＝OD．

∴OA＝OD＝AD．

∴△OAD是等边三角形．

∴∠AOD＝60°．

∴∠ABD＝30°．

（2）解：如图2，

∵∠ADE＝∠ABD，

∴∠ADE＝30°．

∵∠ADO＝60°．

∴∠ODE＝90°．

∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．

∴直线DE与图形W的公共点个数为1．

【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定

【解析】【分析】（1）连接OD，证明△OAD为等边三角形，可得∠AOD=60°，根据圆周角定理可求出∠ABD的度数；

（2）由∠ADE＝∠ABD=30°，从而求出∠ODE=∠ADE+∠ADO=90°，根据切线的判定定理可证DE是⊙O的切线，从而得解.

1/1江苏省盐城市东台市二联盟2023-2022学年九年级上学期第一次阶段测试数学试卷

一、单选题

1．（2023九上·东台月考）方程的根为（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴或，

，

故答案为：A．

【分析】根据因式分解法解方程即可.

2．下列说法正确的是（）

A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程

B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程

C．方程x2－2x＝1的常数项为0

D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0

【答案】B

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误；

B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确；

C.该方程的常数项是－1，故此选项错误；

D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误；

故答案为：B.

【分析】形如ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此逐一判断即可.

3．（2023·安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A．12B．9C．13D．12或9

【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质

【解析】【解答】∵，

∴，

即，

①等腰三角形的三边是2，2，5，

∵2+2＜5，

∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，

三角形的周长是2+5+5=12；

即等腰三角形的周长是12．故答案为：A．

【分析】用因式分解法解一元二次方程，求出x的值，然后分两种情况：①等腰三角形的三边是2，2，5，②等腰三角形的三边是2，5，5，再按三角形三边的关系判断能否构成三角形，最后利用三角形周长的计算方法，算出答案。

4．某饲料厂今年一月份生产饲料吨，三月份生产饲料吨，若二月份和三月份这两个月平均增长率为x，则有（）.

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：依题意得

500（1+x）2=720．

故答案为：C．

【分析】根据一月份生产饲料产量×（1+月平均增长率）2=三月份生产饲料产量列出方程即可.

5．（2023九上·中山期末）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（）

A．100°B．110°C．125°D．130°

【答案】A

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：所对的圆心角为，所对的圆周角为，，

，

故答案为：．

【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。

6．（2023·思茅模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）

A．20°B．30°C．40°D．50°

【答案】C

【知识点】圆周角定理；切线的性质

【解析】【解答】解：如右图所示，连接BC，

∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

又∵∠A=25°，

∴∠CBA=90°﹣25°=65°，

∵DC是切线，

∴∠BCD=∠A=25°，

∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．

故答案为：C．

【分析】根据已知AB是直径，直径所对的圆周角是直角，添加辅助线，连接BC，得出∠BCA=90°，求出∠CBA的度数，由DC切⊙O于点C，可证得∠BCD=∠A，再根据三角形的外角的性质，就可以求得∠D的度数。

7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理

【解析】【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，

∵⊙O的直径为10，

∴半径为5，

∴OM的最大值为5，

∵OM⊥AB于M，

∴AM=BM，

∵AB=6，

∴AM=3，

在Rt△AOM中，；

此时OM最短，

所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．

故答案为：B．

【分析】连接OA，作OM⊥AB于M，此时OM的长为最小值，OA的长为OM的最大值，据此即可求解.

8．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理

【解析】解答：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，

∵M为PQ的中点，

∴MN为△POQ的中位线，

∴MN=OQ=×2=1，

∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，

在△OMN中，1＜OM＜3，

当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，

∴线段OM的最小值为1．

故答案为：B．

【分析】取OP的中点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=OQ=1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1．

二、填空题

9．方程的解为

【答案】

【知识点】直接开平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴x2=2，

解得，

故答案为：．

【分析】利用直接开平方法解方程即可.

10．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是

【答案】-1

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程

∴

解得：

故答案为：

【分析】只含有一个未知数，且未知项的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此解答即可.

11．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．

【答案】4或5

【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：，

解得x＝3或4；

①当4是直角边时，斜边长，所以直角三角形外接圆直径是5；

②当4是斜边时，这个直角三角形外接圆的直径是4．

故答案为：4或5．

【分析】解方程可得x＝3或4，分两种情况：①当4是直角边时，②当4是斜边时，据此分别解答即可.

12．已知m，n是方程x2+4x﹣5=0的两个实数根，则m﹣mn+n=．

【答案】-9

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣5=0的两个实数根

∴

∴

故答案为：-9

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后整体代入计算即可.

13．（2023九上·贾汪月考）已知一点到圆周上点的最大距离为，最短距离为，则圆的直径为.

【答案】或

【知识点】点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：当点在圆内时，圆的直径为9+1=10；

当点在圆外时，圆的直径为9-1=8.

故答案是：10或8.

【分析】此题需要分该点在圆内还是圆外两种情况，：当点在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径；当点在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径。

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E，则其内切圆的半径r等于．

【答案】2

【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理

【解析】【解答】解：如图，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8；

根据勾股定理AB==10；

四边形OECD中，OE=OD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°；

∴四边形OECD是正方形；

由切线长定理，得：AD=AF，BF=BE，CE=CD；

∴CE=CD=（AC+BC﹣AB）；

即：r=（6+8﹣10）=2．

故答案为2．

【分析】根据勾股定理AB=10，易证四边形OECD是正方形，由切线长定理可得AD=AF，BF=BE，CE=CD，从而得出CE=CD=（AC+BC﹣AB），继而得解.

15．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．

【答案】4

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】∵d、R是方程x2-4x+m=0的两个根，且直线l与⊙O相切，

∴d=R，

∴方程有两个相等的实根，

∴△=16-4m=0，

解得，m=4，

故答案为：4．

【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．

16．如图，在⊙O中，，A、C之间的距离为4，则线段BD＝．

【答案】4

【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接、，如下图；

∵

∴

∴

即：

∴

又∵

∴

故答案为：4

【分析】连接、，根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而得出，继而得出=4.

17．（2023·贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是．

【答案】14

【知识点】勾股定理；垂径定理

【解析】【解答】解：∵MN=20，

∴⊙O的半径=10，

连接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，

∴OD==8；

同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，

∴OC==6，

∴CD=8+6=14，

作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，

在Rt△AB′E中，

∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，

∴AB′==14．

故答案为：14．

【分析】先由MN=20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

18．如图，在Rt△ABC中，，，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD对折，点C的对应点是，在点D从C到点A的运动过程中，点运动的路径长．

【答案】2

【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，

当点D从点C到点A的动过程中，点C′运动的轨迹是扇形，扇形的圆心角为180°，

点C′运动的路径长＝＝2，

故答案为：2．

【分析】由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，根据弧长的公式进行计算即可.

三、解答题

19．解方程

（1）

（2）x2-2x-3=0(配方法)

【答案】（1）解：∵，

，

；

（2）解：，

，

，

，

或

【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可；

（2）根据配方法解方程即可.

20．如果关于x的方程有实数根，试求k的取值范围

【答案】解：当时，方程变为，此时，符合题意；

当时，，

解得，

综上所述，k的取值范围为．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【分析】当k=0时，方程有实数根；当k≠0时，方程有实数根，即得△≥0，据此解答即可.

21．（2023九上·孟津月考）服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【答案】如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；

设每件童装应降价x元，

依题意得(40x)(20+2x)=1200，

整理得，

解之得，

因要减少库存，故x=20.

答：每件童装应降价20元.

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；根据单件的利润乘以销售数量=总利润，从而即可列出方程，解方程就可以求出应降价多少元.

22．已知⊙O的直径为10，AB、CD是两条平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之间的距离

【答案】解：分为两种情况：①如图1，过O作EF⊥CD于E，交AB于F，连接OC、OA、

∵AB∥CD，

∴EF⊥AB，

∴由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝4，AF＝BF＝AB＝3，

在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，由勾股定理得：OE＝＝3，

在Rt△OAF中，OC＝5，AF＝3，由勾股定理得：OF＝＝4，

即两条平行弦AB与CD之间的距离是43＝1；

②如图2，两条平行弦AB与CD之间的距离是3＋4＝7；

综合上述，两条平行弦AB与CD之间的距离是1或7．

【知识点】勾股定理；垂径定理

【解析】【分析】分为两种情况：①当两条平行的弦在原点的同侧，②当两条平行的弦在原点的两侧，根据垂径定理及勾股定理分别求解即可.

23．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长．

【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6

【知识点】菱形的判定与性质；圆的认识

【解析】【分析】连接OD，由条件可得四边形OFDE是矩形，根据矩形对角线相等可知OD=EF=3，利用同圆半径相等即可解答。

24．如图，是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧的中点，交弦于E，若，.

（1）求的长度；

（2）连接，求的长度.

【答案】（1）解：∵D是弧的中点，

∴，是的中点，

∵中，

∴，

设，

∵，

∴，解得，

∴.

（2）解：作辅助线连接，

可得，

∵E、O分别为、的中点，

∴，

∵，

∴，

∵在中，

∴.

【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AC⊥DO，E是AC中点，设，可得=x，中，由勾股定理得，从而得出关于x方程并解之即可；

（2）连接BC，由线段的中点及三角形中位定理可得EC=4，BC=2EO=6，然后利用勾股定理求出BE的长.

25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线．

（1）求证：D