【解析】江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2023学年高一上学期数学12月月考试卷

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一、单选题

1．（2023高一上·苏州月考）计算：（）

A．0B．1C．3D．4

【答案】A

【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则

【解析】【解答】

故答案为：A

【分析】直接用分数指数幂和对数的运算法则可求解.

2．（2023高一上·苏州月考）若函数的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】指数函数的图象与性质

【解析】【解答】函数

当时，.

所以函数的图象恒过定点．

故答案为：B

【分析】根据指数函数的图象恒过定点，即可求出P点的坐标．

3．（2023高一上·苏州月考）函数的图象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当x=0时，f(x)=0，排除D选项

当时，排除C选项

根据定义域可排除A选项

故答案为：B.

【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可

4．（2023高一上·苏州月考）函数的最小正周期为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【解答】函数的周期为：

由于的周期为的周期的一半.

所以的周期为：

故答案为：A

【分析】首先求出的周期，进一步利用的周期为的周期的一半求出结论．

5．（2023高一上·苏州月考）函数在区间上的最小值是-2，的最小值是（）

A．1B．2C．D．3

【答案】C

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】函数在区间上的最小值是-2.

则的取值范围是.

所以或

或

所以的最小值等于.

故答案为：C

【分析】先根据函数在区间在区间上的最小值是-2，确定的取值范围，进而可得到或，求出的范围得到答案．

6．（2023高一上·苏州月考）已知函数在内是减函数，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】正切函数的图象与性质

【解析】【解答】由函数在内是减函数.

所以，且，解得：.

故答案为：C

【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于的不等式组，求出解集即可．

7．（2023高一上·苏州月考）函数（A，，为常数，，）的部分图象如图，则的值是（）

A．B．C．2D．

【答案】D

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】由图可知：.

则.

由五点作图可知：，得.

所以.

则

故答案为：D

【分析】由图象直接得到A和四分之一周期，结合周期公式求出，由五点作图的第三点求出，函数解析式可求，取求得的值．

8．（2023高一上·苏州月考）定义在R上的函数满足，则的值为（）

A．-2B．1C．-3D．4

【答案】C

【知识点】函数的值

【解析】【解答】由

所以当时，.

又

所以

故答案为：C

【分析】由题意可得，代入可求.

9．（2023高一上·苏州月考）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作轴于点P，直线与的图象交于点，则线段的长为（）

A．1B．C．D．

【答案】B

【知识点】余弦函数的图象；正切函数的图象与性质

【解析】【解答】由题意设,则.

所以，即.

即，解得：或（舍）

由轴于点P，直线与的图象交于点.

设，则

线段的长为,由.

所以线段的长为

故答案为：B

【分析】由题意，函数的图象与的图象的交点为，设，则有，过点作轴于点，设，则，可得，线段的长为可得答案．

10．（2023高一上·苏州月考）已知函数的定义域是（a，b为整数），值域是，则满足条件的整数数对的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象

【解析】【解答】由，得，得或.

由，得，得.

易知函数在时，，为减函数，

此时函数的图像是由的图像平移而得到.

又由函数为偶函数,可做出函数的图像.

的定义域是（a，b为整数），值域是

根据图象可知满足整数数对的有共5个．

故答案为：C

【分析】讨论x大于等于0时，化简，然后分别令等于0和1求出对应的x的值，得到为减函数，根据反比例平移的方法画出在x大于等于0时的图象，根据为偶函数即可得到x小于0时的图象与大于0时的图象关于y轴对称，可画出函数的图象，从函数的图象看出满足条件的整数对有5个．

11．（2023高一上·苏州月考）下列选项使得函数单调递增的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【解答】函数.

当函数单调递减时，单调递增.

由

即

所以.

所以函数单调递增为：

当时，在调递增.

当时，在调递增.

故答案为：B

【分析】将函数化为函数，即求函数的减区间.然后再根据选项进行选择.

12．（2023高一上·苏州月考）关于函数，有下列四个命题正确的是（）

A．由，可得是的整数倍

B．是的一条对称轴

C．是的一个对称中心

D．图像保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到的解析式是

【答案】B

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】A.由，即，即是函数的两个零点，所以应为的整数倍.又函数的周期，所以A不正确.

B.函数的对称轴满足：，即，当时，，B符合题意

C.函数的对称中心的纵坐标应该为1，所以C不正确.

D.图像保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到的解析式是,D不正确.

故答案为：B

【分析】根据函数的周期性、对称性和图像变换对选项进行逐一判断，可得答案.

二、填空题

13．（2023高一上·苏州月考）已知，，，，求.

【答案】

【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】由，，得.

由，，得.

故答案为：

【分析】根据，，可求出，，，可求出，将展开代值即可.

14．（2023高一上·苏州月考）若函数为奇函数，则=．

【答案】

【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数式与对数式的互化

【解析】【解答】函数为奇函数

即

，即

解得：

又对数式的底数，则

故填

【分析】由函数是奇函数,将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值.

15．（2023高一上·苏州月考）已知，则函数的最大值为．

【答案】13

【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的值域与最值

【解析】【解答】由的定义域为，可得的定义域为，又，，当时，有最大值13，故答案为13。

【分析】利用函数f(x)的定义域得出函数的定义域，再利用换元法结合二次函数图象的单调性，从而求出函数的最大值。

三、双空题

16．（2023高一上·苏州月考）要得到函数图象，只需将函数图象向平移个单位.

【答案】右；

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】由

所以由的图像向右平移单位得到的图像.

故答案为：右.

【分析】利用诱导公式将函数化为，然后再由的图像平移得到的图象，得出结论．

四、解答题

17．（2023高一下·太原期中）已知，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

【答案】（1）解：由，解得．

；

（2）解：

．

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【分析】由已知求得，（1）分式是关于的一次齐次式，分子分母同除以即可求值；（2）利用可把待求式化为关于的二次齐次式，分子分母同除以即可求值．

18．（2023高一上·苏州月考）已知方程的两个实根是和.

（1）求k的值；

（2）求的值.

【答案】（1）解：由方程的两个实根是和.

.

由有.

,即

所以，即，解得：或.

当时方程，故舍去，当时满足条件.

所以.

（2）解：由（1）有.

设，则

所以

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由题意，利用韦达定理得到，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值.（2）将值代入可得的值和的值，设，平方可求的值.

19．（2023高一上·苏州月考）游乐场的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5m，半径40m.若从最低点处登上座天轮，那么人与地面的距离将随时间变化，5min后达到最高点，在你登上摩天轮时开始计时，

（1）求出人与地面距离y与时间t的函数解析式；

（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于20.5m.

【答案】（1）解：根据题意摩天轮从最低点开始，5min后达到最高点,

则10min转一圈，所以摩天轮的角速度为.

设min时，人在点处,则此时转过的角度为.

所以

（2）解：登上摩天轮到旋转一周,则.

人与地面距离大于20.5m，即

所以，由，解得：.

所以人与地面距离大于20.5m的时间为.

故有分钟人与地面距离大于20.5m.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用

【解析】【分析】（1）首先根据已知条件建立相应的等量关系，求出距离和时间的关系式.(2)就是由（1）的表达式解出不等式即可.

20．（2023高一下·普宁月考）若的最小值为.

（1）求的表达式；

（2）求能使的a值，并求当a取此值时，的最大值.

【答案】（1）解：

若，即，则当时，有最小值，；

若，即，则当时，有最小值，

若，即，则当时，有最小值，

所以；

（2）解：若，由所求的解析式知或

由或（舍）；由（舍）

此时，得，所以时，，此时的最大值为.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系

【解析】【分析】（1）通过同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，则根据的解析式可知只能在内解方程，从而求出a的值，即可求出的最大值.

21．（2023高一上·苏州月考）设的图像与y轴交点的纵坐标为1，在y轴右侧的第一个最大值和最小值分别为和.

（1）求函数的解析式：

（2）将函数图像上所有点的横坐标缩小原来的（纵坐标不变），再将所得图像沿x轴正方向平移个单位，得到函数的图像，求函数的解析式.

【答案】（1）解：函数轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为和.

所以，则.

所以.则.

又函数图像与y轴交点的纵坐标为1，即

则，且.

所以.

所以函数的解析式：

（2）解：将函数图像上所有点的横坐标缩小原来的（纵坐标不变），

得到

再将所得图像沿x轴正方向平移个单位，.

函数的解析式：

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【分析】（1）由y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为和可得其周期，振幅．从而求得，再由图象和轴交于求得，从而得到函数解析式．（2）根据题意，由三角函数的图象变换可以求解答案.

22．（2023高一上·苏州月考）已知函数．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（3）探究函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

【答案】（1）解：方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，

即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得.

（2）解：不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当时，（*）显然成立，此时；

②当时，（*）可变形为，令

因为当时，，当时，，

所以，故此时.

综合①②，得所求实数的取值范围是

（3）解：因为=

①当时，结合图形可知在上递减，在上递增，

且，经比较，此时在上的最大值为.

②当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，知此时在上的最大值为.

③当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，知此时在上的最大值为.

④当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且,，

经比较，知此时在上的最大值为.

当时，结合图形可知在上递减，在上递增，

故此时在上的最大值为.

综上所述，当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为0

【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；分段函数的应用；函数最值的应用

【解析】【分析】（1）因为方程，即，变形得，从而推出已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，结合函数的图象得出a的取值范围。

（2）利用不等式恒成立问题求解方法结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。

（3）利用函数的解析式结合绝对值的定义，从而求出分段函数的解析式，进而画出分段函数的图象，再利用分类讨论的方法结合分段函数的图象的单调性，从而求出函数在区间上的最大值。

1/1江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2023学年高一上学期数学12月月考试卷

一、单选题

1．（2023高一上·苏州月考）计算：（）

A．0B．1C．3D．4

2．（2023高一上·苏州月考）若函数的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）

A．B．C．D．

3．（2023高一上·苏州月考）函数的图象大致是（）

A．B．

C．D．

4．（2023高一上·苏州月考）函数的最小正周期为（）

A．B．C．D．

5．（2023高一上·苏州月考）函数在区间上的最小值是-2，的最小值是（）

A．1B．2C．D．3

6．（2023高一上·苏州月考）已知函数在内是减函数，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．（2023高一上·苏州月考）函数（A，，为常数，，）的部分图象如图，则的值是（）

A．B．C．2D．

8．（2023高一上·苏州月考）定义在R上的函数满足，则的值为（）

A．-2B．1C．-3D．4

9．（2023高一上·苏州月考）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作轴于点P，直线与的图象交于点，则线段的长为（）

A．1B．C．D．

10．（2023高一上·苏州月考）已知函数的定义域是（a，b为整数），值域是，则满足条件的整数数对的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

11．（2023高一上·苏州月考）下列选项使得函数单调递增的是（）

A．B．

C．D．

12．（2023高一上·苏州月考）关于函数，有下列四个命题正确的是（）

A．由，可得是的整数倍

B．是的一条对称轴

C．是的一个对称中心

D．图像保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到的解析式是

二、填空题

13．（2023高一上·苏州月考）已知，，，，求.

14．（2023高一上·苏州月考）若函数为奇函数，则=．

15．（2023高一上·苏州月考）已知，则函数的最大值为．

三、双空题

16．（2023高一上·苏州月考）要得到函数图象，只需将函数图象向平移个单位.

四、解答题

17．（2023高一下·太原期中）已知，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

18．（2023高一上·苏州月考）已知方程的两个实根是和.

（1）求k的值；

（2）求的值.

19．（2023高一上·苏州月考）游乐场的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5m，半径40m.若从最低点处登上座天轮，那么人与地面的距离将随时间变化，5min后达到最高点，在你登上摩天轮时开始计时，

（1）求出人与地面距离y与时间t的函数解析式；

（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于20.5m.

20．（2023高一下·普宁月考）若的最小值为.

（1）求的表达式；

（2）求能使的a值，并求当a取此值时，的最大值.

21．（2023高一上·苏州月考）设的图像与y轴交点的纵坐标为1，在y轴右侧的第一个最大值和最小值分别为和.

（1）求函数的解析式：

（2）将函数图像上所有点的横坐标缩小原来的（纵坐标不变），再将所得图像沿x轴正方向平移个单位，得到函数的图像，求函数的解析式.

22．（2023高一上·苏州月考）已知函数．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（3）探究函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则

【解析】【解答】

故答案为：A

【分析】直接用分数指数幂和对数的运算法则可求解.

2．【答案】B

【知识点】指数函数的图象与性质

【解析】【解答】函数

当时，.

所以函数的图象恒过定点．

故答案为：B

【分析】根据指数函数的图象恒过定点，即可求出P点的坐标．

3．【答案】B

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当x=0时，f(x)=0，排除D选项

当时，排除C选项

根据定义域可排除A选项

故答案为：B.

【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可

4．【答案】A

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【解答】函数的周期为：

由于的周期为的周期的一半.

所以的周期为：

故答案为：A

【分析】首先求出的周期，进一步利用的周期为的周期的一半求出结论．

5．【答案】C

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】函数在区间上的最小值是-2.

则的取值范围是.

所以或

或

所以的最小值等于.

故答案为：C

【分析】先根据函数在区间在区间上的最小值是-2，确定的取值范围，进而可得到或，求出的范围得到答案．

6．【答案】C

【知识点】正切函数的图象与性质

【解析】【解答】由函数在内是减函数.

所以，且，解得：.

故答案为：C

【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于的不等式组，求出解集即可．

7．【答案】D

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】由图可知：.

则.

由五点作图可知：，得.

所以.

则

故答案为：D

【分析】由图象直接得到A和四分之一周期，结合周期公式求出，由五点作图的第三点求出，函数解析式可求，取求得的值．

8．【答案】C

【知识点】函数的值

【解析】【解答】由

所以当时，.

又

所以

故答案为：C

【分析】由题意可得，代入可求.

9．【答案】B

【知识点】余弦函数的图象；正切函数的图象与性质

【解析】【解答】由题意设,则.

所以，即.

即，解得：或（舍）

由轴于点P，直线与的图象交于点.

设，则

线段的长为,由.

所以线段的长为

故答案为：B

【分析】由题意，函数的图象与的图象的交点为，设，则有，过点作轴于点，设，则，可得，线段的长为可得答案．

10．【答案】C

【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象

【解析】【解答】由，得，得或.

由，得，得.

易知函数在时，，为减函数，

此时函数的图像是由的图像平移而得到.

又由函数为偶函数,可做出函数的图像.

的定义域是（a，b为整数），值域是

根据图象可知满足整数数对的有共5个．

故答案为：C

【分析】讨论x大于等于0时，化简，然后分别令等于0和1求出对应的x的值，得到为减函数，根据反比例平移的方法画出在x大于等于0时的图象，根据为偶函数即可得到x小于0时的图象与大于0时的图象关于y轴对称，可画出函数的图象，从函数的图象看出满足条件的整数对有5个．

11．【答案】B

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【解答】函数.

当函数单调递减时，单调递增.

由

即

所以.

所以函数单调递增为：

当时，在调递增.

当时，在调递增.

故答案为：B

【分析】将函数化为函数，即求函数的减区间.然后再根据选项进行选择.

12．【答案】B

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】A.由，即，即是函数的两个零点，所以应为的整数倍.又函数的周期，所以A不正确.

B.函数的对称轴满足：，即，当时，，B符合题意

C.函数的对称中心的纵坐标应该为1，所以C不正确.

D.图像保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到的解析式是,D不正确.

故答案为：B

【分析】根据函数的周期性、对称性和图像变换对选项进行逐一判断，可得答案.

13．【答案】

【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】由，，得.

由，，得.

故答案为：

【分析】根据，，可求出，，，可求出，将展开代值即可.

14．【答案】

【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数式与对数式的互化

【解析】【解答】函数为奇函数

即

，即

解得：

又对数式的底数，则

故填

【分析】由函数是奇函数,将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值.

15．【答案】13

【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的值域与最值

【解析】【解答】由的定义域为，可得的定义域为，又，，当时，有最大值13，故答案为13。

【分析】利用函数f(x)的定义域得出函数的定义域，再利用换元法结合二次函数图象的单调性，从而求出函数的最大值。

16．【答案】右；

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】由

所以由的图像向右平移单位得到的图像.

故答案为：右.

【分析】利用诱导公式将函数化为，然后再由的图像平移得到的图象，得出结论．

17．【答案】（1）解：由，解得．

；

（2）解：

．

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【分析】由已知求得，（1）分式是关于的一次齐次式，分子分母同除以即可求值；（2）利用可把待求式化为关于的二次齐次式，分子分母同除以即可求值．

18．【答案】（1）解：由方程的两个实根是和.

.

由有.

,即

所以，即，解得：或.

当时方程，故舍去，当时满足条件.

所以.

（2）解：由（1）有.

设，则

所以

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由题意，利用韦达定理得到，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值.（2）将值代入可得的值和的值，设，平方可求的值.

19．【答案】（1）解：根据题意摩天轮从最低点开始，5min后达到最高点,

则10min转一圈，所以摩天轮的角速度为.

设min时，人在点处,则此时转过的角度为.

所以

（2）解：登上摩天轮到旋转一周,则.

人与地面距离大于20.5m，即

所以，由，解得：.

所以人与地面距离大于20.5m的时间为.

故有分钟人与地面距离大于20.5m.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用

【解析】【分析】（1）首先根据已知条件建立相应的等量关系，求出距离和时间的关系式.(2)就是由（1）的表达式解出不等式即可.

20．【答案】（1）解：

若，即，则当时，有最小值，；

若，即，则当时，有最小值，

若，即，则当时，有最小值，

所以；

（2）解：若，由所求的解析式知或

由或（舍）；由（舍）

此时，得，所以时，，此时的最大值为.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系

【解析】【分析】（1）通过同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，