博士计量经济学试题

学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考《计量经济学》博士研究生入学试题〔A〕解答一、简答题1、指出稳健标准误和稳健t统计量的适用条件。答：稳健标准误和稳健t统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健t统计量不那么接近t分布，从而可能导致推断失误。2、假设回归模型的随机误差项可能存在q〔q>1〕阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验统计量是什么？答：如果模型：J=a+aX+ax+…+a+s的误差项满足：t0 11t 22t ptte=pe+pe+…+pe+v，其中v是白噪声。TOC\o"1-5"\h\zt1t—1 2t—2 qt—q t t原假设H:p=0,p=0,…，p=001 2 q那么，以下两种答复都可以。1〕、⑴.J对X,x，…，x(t=1,2，…,T)做OLS回归，求出OLS残差£；t1t 2t pt t.£对x,x，…，x,£,£,•••，£做OLS回归，(t=q+1,q+2,…,T)，得到t 1t2t pt t—1t—2 t—qR2；\o"CurrentDocument"人 人 人.计算⑵中的e,e，…，e联合F检验统计量。假设F检验统计量大于临界值，则t—1 t—2 t—q判定回归模型的随机误差项存在q〔q>1〕阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机误差项不存在q〔q>1〕阶自相关。2〕、完成了1〕中的〔1〕、〔2〕两步以后，运用布劳殊一戈弗雷检验〔BreschGoldferytest〕LM=T—q虎，由于它在原假设H成立时渐近服从62•72分布。当LM大于临界值，0q则判定回归模型的随机误差项存在q〔q>1〕阶自相关；否则，判定回归模型的随机误差项不存在q〔q>1〕阶自相关。3、谬误回归的主要症状是什么？检验谬误回归的方法主要有哪些？在回归中使用非平稳的时间序列必定会产生伪回归吗？答：格兰杰〔Granger〕和纽博尔德〔Newbold〕认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果R2在

数值上大于德宾―沃特森统计量，则我们应当疑心有谬误回归存在。检验谬误回归的方法主要是用DF和ADF检验考察回归的残差是否服从I（0），进而判定变量之间的关系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性。回归中使用非平稳的时间序列不一定会产生谬误回归，比方两个协积的变量，虽然它们可以非平稳，但是不会产生谬误回归。4、一般的几何滞后分布模型具有形式：y=a+pxlt（1—力x+8， EQ）=0，TOC\o"1-5"\h\zt t-1 t ti=0C0V（8,8）=028， 0〈九〈1。ts t,s如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量？答：对一般的几何滞后分布模型y=a+a入£G-4x+8，有限的观测不可能估计无限的t0 1 t-1 ti=0参数。为此，必须对模型形式进行变换：注意到：y=a+a入£（1-九）x+8，从而：t-1 01 t-i-1t-1i=0y-（1一九）y=a入+a为x+8-（1一九）8TOC\o"1-5"\h\zt t-1 0 1tt t-1y=a入+a为x+（1一九）y+8-（1一九）8t0 1t t-1t t-1由于y与8相关，所以该模型不能用ols方法进行估计，必须采用诸如工具变量等方法进t-1 t-1行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。C0V(8C0V(8,8ts)=028t,sy=a+0x+8，EQ）=0，t tt t但是担忧x可能会有测量误差，即实际得到的x可能是x*=x+v，V是白噪声。如果已经知道t t tttt如何检验x是否存在测量误差?

t存在与x*相关但与8和V不相关的工具变量如何检验x是否存在测量误差?

t答：已知存在与x*相关但与8和V不相关的工具变量z，用最小二乘法估计模型t t t t得到残差v=x*-a-az。把残差弋作为解释变量放入回归方程tt0 1t t

J=a+0x+a+u，用最小二乘法估计这个人工回归，对显著性假设运用通常的t-检验。t t ttH：b二0 〔x与8之间没有相关性〕0 ttH：bw0 〔x与8之间有相关性〕1 tt注意，由J=a+0x+6^^+u可推得j-a—0x=bv+u，即：8=bV+u。当t当t-检验显著时利用对J=a+0x*+8所做回归得到的残差£替代8，对系数b作OLS估计，t tt t t就说明x就说明x与8之间有相关性，tt即x存在测量误差。否则就没有。t6、考虑一个单变量平稳过程j=a+aj+0x+0x+8t0 1t-1 0t1t-1 t这里，8产〃dG,o2)以及aj<1。由于〔1〕式模型是平稳的，J和x都将到达静态平衡值，即对任何t有:tt于是对〔1〕式两边取期望，就有(2)TOC\o"1-5"\h\zj*=a+aj*+0x*+0x*0 1 0 1(2)也就是%j0户01Kj*=—0—+—0 1-x*=k+kx*1-a1-a0 11 1这里勺是j*关于x*的长期乘数，重写(1)式就有:=a+(a-1)j +0Ax+(0+0%+80 1 t-1 0t0 1t-1t=a+(=a+(a-01—k—kx)+0Ax+8t-1 0 1t-1 0tt(4)我们称(4)式为(1)式的误差修正机制〔Error-correctionMechanism〕表达式〔ECM〕。在〔4〕式中我们可以发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是对称的。假设这种正、负偏离对短期波动的作用不是对称的，那么模型应该如何设计与估计？答：假设对误差修正〔ECM〕模型，假设发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是非对称的话，模型可以设计如下：Aj=0Ax+(b+by)(j-k-kx)+8TOC\o"1-5"\h\zt1 2t-1 t-1 0 1t-1 t=0Ax+b(j -k-kx)+by (j -k-kx )+8t1 t-1 0 1t-1 2t-1t-1 0 1t-1 t学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考1y>fQ)其中丫，=j0,<fQ)为虚拟变量，表示Y偏离的方向。tt当y正偏离时，丫=1,误差修正项系数为s+3；t t 12当y为负偏离时，¥=0，误差修正项系数为3。tt 1参数估计的方法可用MLE，也可用OLS。7、检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇一帕甘检验〔BreuschPagan〕和怀特〔White〕检验，请说明这二种检验的差异和适用性。答：当人们猜测异方差只取决于某些解释变量时，布罗歇一帕甘检验〔BreuschPagan〕比较适合使用；当人们猜测异方差不仅取决于某些解释变量,还取决于这些自变量的平方和它们的交叉乘积项时，怀特〔White〕检验比较适合使用。虽然，有时使用布罗歇一帕甘检验无法检验出异方差的存在，但用怀特〔White〕检验却能检测出来。不过，怀特〔White〕检验要用掉很多自由度。8、在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS估计是无偏和一致的吗？请举简例说明。答：在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS估计通常是有偏和不一致的。例如,假定工资模型为：wage=0+peduc+0exper+0abil+£i01i2 i3ii如果估计时遗漏了变量abil，得到如下估计模型：iwage~=0+0educ+0experi01i2 i~~即使假定educ,exper无关，我们也容易证明0与0也都是有偏和不一致的，且有:12E(duc一eduCabili )乙%duc一educ2E[i )乙%duc一educ2ii=1~由于0>0，并且变量educ与abil正相关，因此，0是正偏误和不一致的。31二、综合题1、为了比较A、B和C三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的绩效差异，从这三个城市总计N+N+N个企业中按一定规则随机抽取n+n+n个样本ABC ABC企业，得到这些企业的劳动生产率y作为被解释变量,如果没有其它可获得的数据作为解释变量，并且A城市全面实施这项经济改革政策，B城市部分实施这项经济改革政策，C城市没有实施这

项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A、B和C这三个城市之间由于不同程度实施某项经济改革政策后存在的绩效差异？解：把A、B两个城市中第i企业的劳动生产率丁写成如下模型：iy=a+BD+yD+£，i Ai Biie〜NQo2)iABC⑴⑵〔3〕i=1,2，…,n,n+1,・・・,n+n,n+n+1,・・・,ABC⑴⑵〔3〕AA ABAB这里，虚拟变量D可表示为：Aia〔1,第i个企业来自于城市AD=<Ai10, 其它D二11,第i个企业来自于城市BBi-IO, 其它于是，参数a表示城市C企业的期望劳动生产率，而参数B表示城市A企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即a+B表示城市a企业的期望劳动生产率；参数Y表示城市B企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即a+Y表示B城市企业的期望劳动生产率，即：[a+B,D=1,D00TOC\o"1-5"\h\zAi Bi\o"CurrentDocument"E(y)=<a+y,D=0,D=1 〔4〕i Ai Bia, D00,D00\o"CurrentDocument"Ai Bi要检验城市A企业的期望劳动生产率与城市B企业的期望劳动生产率之间的有无显著差异，改写模型为：y0a+5D+y(D+D)+e，Ai BiAii其中，503-Y；e〜NQq2)；此时，有:a+a+Y+5,e（y）二（e,D01,D00Ai BiD00,D01Ai Bi运用运用t检验看参数5a,D00,D00Ai Bi是否显著地不为0，否则就认为城市A企业的期望劳动生产率与城市B企业的期望劳动生产率之间无显著差异2、用观测值y「…,y20和%，）…,X20估计模型y=a+0x+0x+e

t 0t1t—1t得到的OLS估计值为&=5.0(2.23) B=0.8(2.21)0B=0.3(1.86)1R2=0.86和£2=25人括号内为t统计量。由于0的t值较小1去掉滞后回归自变量X,」重新估计模型，这时，R2为多少?解：去掉滞后回归自变量X,1所估计的模型可以看作是无约束模型：y=a+0x+0x+e

t 0t1t—1t在约束条件：r0=0之下所得到的估计。这里，r二旅1），0'=Q,00，01）。设无约束模型的OL残差向量为e，带约束模型的OLS残差向量为eR,则有:二1£2= ee=25，从而可得到:e'e=20d2=2义25=500令C=(XX)-1=()ij3x3，则有L01八0—0，从而可得到：c:c 22/222=0.0256注意到带约束模型的OLS残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系:e'e=e'e+RB)R(XX>1R1RB)=e'eRR1\+02一=500+3.47=503.471c22「、SSE、 e'e由R2=1— =1———SSTSST一一一 e'e可推得：SST=-——1—R2同理!e.ee

由R2=1--R—R-RSST4e'e4e'e( )可推得：RR=1—Sr=1—k”一R2)所以e'eRRe'e八)1503.47,—R2)=1— x0.24=0.865003、对线性回归模型：=X'P+£ii满足Exe.wO。假定z可以作为光合适的工具变量，且nr（£lZ）=O2/,请导出工具变量估计量，并给出它的极限分布。解：由于出£。0,所以参数向量P的。LS估计将是不一致的。假定z可以作为％合适的工具变量，对模型进行变换:zy=zx'P+z£

iiiii从而有:Ezy=p£zx'+£z£从而有:ii ii iZ=1Z=1Z=1根据:仇JEze]=0,

vTi

1=1Z=1Z=1Z=1根据:仇JEze]=0,

vTi

1=1]=02V———zzTii=l并且所以运用OLS估计方法，可得：p=IVit并且所以运用OLS估计方法，可得：p=IVitLi=llIi=l注意到:Ti=lI",Jplim(L£z/)plim(，£z£)-MTiiTiii=l1=1i=l由14〕和中心极限定理，可得:-B)IV的极限分布为正态nQ,(y2Mzz，其中：-B)IV的极限分布为正态nQ,(y2Mzz，其中：M=plim工〃 Tii=l也就是，：PtNP,IV\02——MTd4、考虑如下受限因变量问题:TOC\o"1-5"\h\z1〕、二元离散选择模型中的Logit模型，在给定x,2=1,2,…,N条件之下y=1的条件概率为:i if-[exp(邛)p=Pr

i=11X/= /7qAp=Pr

iii 1+exp )在重复观测不可得的情况下，运用极大似然估计方法证明:\o"CurrentDocument"i ii=li=l其中，x：=Q%%,…嗔），aexp1+expVp^i2〕、为什么利用观测所获得的正的数据y*来估计Tobit模型是不合理的?3〕、对Tobit模型：y*=x，p+8iii=1,2,…,n以及8服从正态NG,o2iy=y*,

ii求：〔1〕、Eyi若y*>0；iy*>0)；iy=0,i〔2〕、〔2〕、答案：1〕、证明:对Logit模型，其似然函数可写成如下形式:对重复观测不可得的情况详细说明Heckman提出的模型估计方法。〔1〕L(P)=INIIp(y=1|x)1•P(y=0|x)]〔1〕i=1〔1〕式的对数似然函数为：〔2〕l(P)=£{ylogFQp)]+G-y)log1—〔2〕ii=1〔2〕式关于参数P的一阶导数为:dpi=1%) G-y)fQp)7jP)"，―1-FQp)ii卜斗expQp)于是，一阶条件为:exp()i=1i=11K1+expYPi〔3〕由〔3〕式可知：Xyx=lLpxii ii〔4〕i=1ii=1由于x'=（1,x,x，…，元）中第一分量为常数1，所以根据〔4〕式可得到:TOC\o"1-5"\h\zi1i2 ip心=£y\o"CurrentDocument"i ii=1 i=12〕、假定我们考虑的Tobit模型为:y*=x'P+8i=1,2,…,n以及8服从正态iNG,o2)分布，满足y=y*,iiy=0,i则有：Eyi即：Eyiy*>0)=x蜀+EQ8>

i i ii-x乍)=x有+若y*<0。iO@Qp/o)) o@Qp/o)y*>0xp+ - \=xp+oii 1-①(-x，p/o) ii@Qp/o)①Qp/o)i中xrpi也就是仅仅考虑利用观测所获得的正的数据y*来估计Tobit模型，所获得的参数P的估计是

im (1)(•)有偏的，并且其数值大于,并且依赖于羔，这就是仅仅运用正观测值子样本来估计Tobit模型的不合理性。3〕、我们知道，对于Tobit模型有这样的结论：E{y\y>o}=xrp+—\，=毋+oQ=毋+o入 〔1〕ii i [XP|i①iim1这里，0=0T—, ①二①，入=—i-oikQ7iI°Ji①

i如果有关于人的估计，就可得到P的一致估计。iJamesHeckman设计出了一种相比照较简单的两步估计法，但这个估计法能够得到P的一致估计。〔1〕在重复观测不可得的条件下，具体的估计步骤如下：第f,我们通过Probit第f,我们通过Probit模型来区分“y*iP=l\x}=P>0|x}=P>-ai i i i i运用极大似然估计方法有：L(B)=FI[p{z=l%斗[尸{z=0xi=l=口」①(评):「1一中(x0)]rL i」L j-i=l对数似然函数为：/(p)-S^zIn①(vp)+i=la/(p)yF z—①G、) ./根据：ap ?①G;R)[i-①中)f6」Gp)样就很容易获得々=①)。ipb第二步，我们在获得了花之后，考虑下述模型i〉。”的观测和的观测，可以得到：i0|x}=(D(x0),i i i加⑵(1-Z)lnG-O(xrp)) 〔3〕i i —rP)x=o,利用数值运算方法可以求得B,这i i pb学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考y=x0+o九+u,ii—1,2,•…，N〕 〔4）ii ii其中，我们假定u满足高斯一马尔可夫条件。于是，运用OLS方法可以得到Tobit模型的参数估i八计P。但是，需要注意的是，u完全可能不满足高斯一马尔可夫条件，出现序列相关或异方差的现i象，因此，需要运用广义最小二乘法（GLS）或可行的广义最小二乘法（FGLS）。一般情况下，由OLS方法得到的t检验是有偏的。另外，Heckman的二步估计法不如Fair的极大似然估计法那样有效。因此，只要可能的话，最好采用极大似然估计法。《计量经济学》博士研究生入学试题〔B〕解答一、简答题说明随机游动过程和单位根过程的联系与差异？如何检验某个经济变量具有单位根？答：随机游动过程在形式上与单位根过程完全一样，但它们之间的本质性差异在£上。当£是白噪tt声时，我们就称该过程为随机游动过程［randomwalk）；当£是平稳过程时，该过程就是单位根过t程。随机游动过程是单位根过程的一种特殊情形，它是非平稳过程。如果某个经济变量的数据发生过程满足y―Py+u，假定随机干扰项u独立同服从于均值t t-1t t二C£jt-jj—0，在这种为0,二C£jt-jj—0，在这种如果放宽对随机干扰项的限制，允许随机干扰项u服从一个平稳过程，即utt的情况下，它是否具有单位根可以用增广的迪基和富勒〔ADF）检验。协积的概念是什么？如何检验两个序列是协积的？答：如果y和x都是非平稳/G）过程变量，则我们自然会预期它们的差，或者诸如tte—y-a-ax一类的任何线性组合也是/G）的。但是，有一种很重要的情形就是t t 1 2te—y-a-ax是一个平稳的/6）过程。这一情形我们称y和x是协积的。协积意味着y和xt t 1 2t tt tt

拥有相似的随机趋势，于是它们的差e就是平稳的，它们相互之间绝不会偏离太远。协积变量J和ttx之间表现出一种定义为J=a+ax的长期均衡关系，而e是均衡误差，表示对长期均衡关系t t1 2t t的一种短期偏离。通过检验误差e=j-a-ax是否平稳，我们判断J和x之间是否协积。因为我们不能观tt1 2t tt察e，所以就使用迪基一富勒〔DF〕检验，通过检验最小二乘估计的残差e=j-a-ax的平t tt1 2t稳性来替代。3、在二元离散选择的模型中解释变量x’k变化作用的符号与其系数P卜的符号有什么关系？为什么？至少写出二点关于Tobit模型与二元离散选择的模型的区别?答：在Probit模型、Logit模型中的参数是无法直接解释的。我们可以通过如下微分来考察这些模型：。①Qp) i 。①Qp) i d.xikdG(fp)

i

d.xik[卷e"-236[exippl+exip)-exipex.p+exip「二技叫ik〔1〕〔2〕，i 。这些微分度量了晨变化的边际作用。晨变化的边际作用都依赖于x的数值。在〔1〕和〔2〕两种情况下，x变化作用的符号与其系数P的符号是相一ik ik k致的。Tobit模型与二元离散选择的模型的区别：〔1〕概率单位模型和Tobit模型的区别是前者因变量使用的是哑变量，后者因变量使用的是删尾的连续变量；〔2〕Tobit模型中J=0要比J*>0时iiJ=J*有更重的权数，因为有Prg=0lx}=Pri*<01x1这是其它离散选择模型所不具ii i i i i备的。4、海德拉斯〔Hildreth〕和卢〔Lu〕(1960)检查分析了30个月度的时间序列观测数据〔从1951年3月到1953年7月〕，定义了如下变量：cons=每人冰激凌的消费量〔按品脱计〕income=每周平均的家庭收入〔按美元计〕price=每品脱冰激凌的价格〔按美元计〕temp=平均气温〔°F〕1〕、用cons对income，price，tem和常数作线性回归模型，得到DW统计量的数值为，请说明模型存在什么病态?答：说明模型的随机误差项可能存在序列相关，因此，用cons对income，price，tem和常数作线性回归模型所得到的参数估计可信度低。2〕、上述模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)，得至1」DW=1.5822，并且该项的系数估计为学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考负，请说明加入该项的作用以及系数为负的经济含义。答：模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)后，有助于改善随机误差项存在序列相关所带来的干扰和影响；该项系数为负说明，如果上月的平均气温很高，当月趋于正常的话，当月每人冰激凌的消费量不会保持上个月的高水平，只会有所下降，并与当月的平均气温呈正向因果关系;反之也一样。3〕、请写出2〕中模型的另一种表达式，说明该表达式中变量系数的符号，解释符号的经济意义。答：假设cons=a+aprice+aincome+atemp+atemp+£，且其参数满足：TOC\o"1-5"\h\zt0 1 t2 t3t4 t-1 ta<0，a>0，a>0，a<0，且有a>-a，因为，一般当月的平均气温对每1 2 3 4 3 4人当月冰激凌的消费量影响最大。我们可以把上述模型进行变形，即：cons=a+aprice+aincome+(a+a)temp-a(temp-temp)十£t0 1 t2 t3 4 t4 t t-1 t=a+aprice+aincome+ptemp+yAtemp+£01 t2 t t tt其中，各个变量的系数满足a<0，a>0，p>0，y>0。1 2这说明每人月冰激凌的消费量受价格的抑制影响，而收入与当月的平均气温与每人冰激凌消费量的走向一致，当月平均气温的变化量与每人冰激凌消费量的变化也是一致的。4、说明R2和调整的R2之间的差异，为什么在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R2,而不是一般的决定系数R2呢?答：由于R2=答：由于R2=1-1y、e e2N-(p+1))i । i=1 =1—高工(L》i=1SSE/[N-(p+1)]—SST/(N—1)—'而Ne2R2=1-^=1-州Ey( _\ssty(y-砂i

i=1因此，当模型中引入另外的回归变量时，无论这个变量是否合理，R2值永远不会减小。R2是用于修正自由度的拟合优度度量，即：1 ye -A^e2(N-(p+1))「R1 ye -A^e2(N-(p+1))「R2=1- i=1 3工97»

i=11- / \ -1- f \1—R2’SST/(N-1)N-p+1)

于是，当模型中引入另外的回归变量时，R2值也许就会减小。因此，R2并不依赖于模型中解释变量的个数，这也就是在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R2，而不是用一般的拟合优度R2。5、对于一种简化的异方差模型，即假定：Var】/X}=o2h2，这里假定h可以被h估计ii i i i的。那么关于参数P的可行的广义最小二乘估计〔FGLS〕量如何得到？它是否还具有广义最小二乘估计的优良性质？答：假定Var^£/x}=o2h2，h是已知的。于是，关于参数P的广义最小二乘估计〔GLS〕量适ii ii用于下述转换了的模型：很明显，转换了的模型的随机扰动项具有同方差。这样，就产生了GLS估计量：人PGLS人PGLS£h-2XXiii-i=1Zh-2xyiiii=1人由于h可以被h估计，则得到参数P可行的广义最小二乘估计〔FGLS〕量，即ii人人PFGLSZh-2XX'iiii=1

-1ZAh-2Xy

iiii=1人显然，p 不再具有无偏性的性质，但一致性继续保持。FGLS7、在美国有人对密歇根的AnnArbor的大学生进行调查，认为男生和女生对空间〔用ROOMPER度量〕和距学校的距离〔用DIST度量〕具有不同的观点。试问如何利用租金〔用RENT度量〕数据对下述模型：RENT=P+P(SEX)+P(ROOMPER)+P(DIST)+£12 3 4用F检验法检验假设Var(£)>Var(£)？男女注：SEX为虚拟变量一一［1；如果是女生；0；如果是男生〕。答：假定被调查的男大学生和女大学生人数分别为N1和N-N1,利用被调查的男大学生和女大学生的数据分别对下述模型：RENT=a+a(ROOMPER)+a(DIST)+£i12 i3 ii进行。友估计,得到进行。友估计,得到0男-N1b21i-i=1 -,N-31N-Nb21i ^=1 (N-N)-31于是，对原假设H：o2=。2和备择假设H:o20男女 1男人o2检验统计量为F人o2检验统计量为F=丁男在原假设H:o2

女分布。假设F＞Fa,N—N—3）,1-a1 1则，就认为VarQ）＞VarQ）不成立。男女O2=O2男女成立时服从F卬-3,N-N-3）11则拒绝原假设设H0，认为加（,）＞Va（,）成立；否8、为了研究美国住房需求情况，我们利用对3120个家庭调查的截面资料资料，对以下回归模型：logQ=0+0logP+0logY+£12 3其中Q=3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数;P二家庭所在地住房的价格;Y二家庭收入。假设我们认为住房需求由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，另一个描述白人的住房需求，这个模型可以写成：logQ=0+0logP+0logY+£；白人家庭12 3logQ=¥+YlogP+YlogY+£；黑人家庭12 3我们希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个假设是联合假设：0假设：01=¥1 0272 03=丫3为了对上述假设进行检验，我们首先对上述模型进行估计，并将每个方程的误差平方和相加，得到ESSu=13640。现在，假设原假设为真，则模型简化为10gQ=0i+0210gP+0310gY+£ 所有家庭对这个模型进行估计，得到它的误差平方和ESS=13838。我们能否认为系数全相等是正确的？R答：对于黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验，我们采用邹检验〔Chow~F（3,3114）,计算检验统计量(~F（3,3114）,计算检验统计量test〕。在原假设成立时，F=—点一~~^~ESS3114UR学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考L(ESS—ESS)3 1983 …F= R UR= =15.1,ESS3114 136403114UR

远大于5%显著性水平时F(3,3114)的临界值，所以拒绝黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设，它们之间存在显著差异。二、综合题1、假定模型的矩阵形式y=XP+8，其中E。)=0，E(Xfe)=0；1〕、假定E(£8')=O21，求在Rp=r条件下，参数P的最小二乘估计量。T2〕、假定E(£8')=O21且8是正态向量NG,O21)，构造检验原假设H：RP=r[q=rank(R)]的检验统计量，并说明该检验统计量服从F分布。3〕、如何判断参数线性约束条件是否成立，请做说明。3〕、如何判断参数线性约束条件是否成立，请做说明。R2k4)、证明：对模型显著性检验的统计量F=4_RJg_k_1)，请说明原假设是什么？其中，R24)、是模型y=Xp+8在无约束条件下作OLS估计所得到的拟合优度。解：1〕、要求在约束条件RP=r下，参数向量P的最小二乘估计量，目标是求向量函数解：V(p)=(y—Xp)'(y-Xp)+2，(Rp-r)到达最小时的参数向量B。对上述函数求导可得:因为所以孚-2X'(y-Xp因为所以孚-2X'(y-Xp)+2d(RP-r)'九=-2Xy+2(XX)B+2rN=0R(3=(XX)1Xy-(XX)1R吹=(3 -(XXLR氏OLS-R(XX)1R叹〔2〕元=R(XX)1R'iR4 -B)=R(XX)1R11RpOLSR〔3〕-r)OLSTOC\o"1-5"\h\zp=B-(XX)-1R，R(XX)-1R11RB-r)ROLS OLS2〕、〔6〕根据上式中带约束参数向量的最小二乘估计公式，我们有:、

p=B-(XX)-1R，R(XX)-1rJRp -r)〔6〕ROLS OLS

从而，可以得到带约束参数向量模型的最小二乘估计残差公式:、TOC\o"1-5"\h\ze-e -X（XX）1R，R（XX）1R」1R8 -r）ROLS OLS，八 Jee-eeRROLSOLSOLSp-r）IR（XX）1R11，八 Jee-eeRROLSOLSOLS-eeX（XfX）1R，R（XX）1R11RB -J+pOLS-r^Ir（XX）-1R，1R（XX）-XX（XX）-1R，R（XX）1R，1RpOLSOLS整理以后可得到：efe一efeRROLSOLS也就是说，带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和相对于无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和会变大，即：ee>ee ⑻RRUOLSUOLS要检验原假设H：Rp-r是否成立，需要构造检验统计量。根据〔8〕式中所表达的性质，0我们构造F检验统计量：（e'e-e'e）q、、F-,rr Unu（s+1），这里q-rank（R）。UOLSUOLS P⑼当原假设H：RP-r成立并且误差向量？不仅满足高斯一马尔柯夫条件，还满足正态分布时，0可以得到：f-e,r）一飞e%+；）］服从自由度为（q，N-P-D的FUOLSUOLS分布，即F（q,N-p-1）o3〕、对于给定的检验水平a，假设F>F （q,N-p-1）时，说明带约束参数向量模型的最1-a小二乘估计残差平方和e'e与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和e'e之间差RR UOLSUOLS异显著，此时，我们对参数向量的约束条件RP-r不成立，也就是说在原始模型中并不存在参数之间的这种约束关系。因此，我们拒绝原假设H。假设F<F （,N-p-1）时，说明带约束参数0 1-a. 一…一.一一. ，八.一,…. 一…,…一.一一. 向量模型的最小二乘估计残差平方和ee与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和RRe' e 之间在统计上没有什么差异，此时，我们对参数向量的约束条件RP-r是合理的，也就UOLSUOLS是说在原始模型的参数之间确实存在着这种关系。因此，我们接受原假设H。0学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考4〕、注意到无参数向量约束条件时模型的拟合优度〔或称决定系数〕R2和参数向量带约束条U件时模型的拟合优度〔或称决定系数〕R2分别为：R…SSE1_1SSER2=1— u,R2=1- RuSSTrSSTUU从而有：SSE=G—R2%ST，SSE=G—R2%STU UU R RU可以推得：SSE—SSE=e'e—e'e =(R2—R2)SSTR URRUOLSUOLS URU这样，残差形式的F检验统计量：_(e'e—e' e)qF=一■―R~R UOLS_UOLSe'e TN-TpmiUOLSUOLS又可以写成拟合优度形式的F检验统计量：「 (R2—R2)q-G—R2UN-(p+1)]U因此，当对模型显著性检验的统计量F=因此，当对模型显著性检验的统计量F=则原假设指的是所有解释变量的系数都为零，即H：B=B=…二卜=0。也就是当H成立时，有R2=0。这时，对模型显著012 p 0 R性检验的统计量F性检验的统计量F=2、对线性回归模型：y=XP+8，其中随机误差向量£满足高斯-马尔可夫条件。1)、定义最小二乘估计量b.2)、如果X的第一列每个元素都是1,证明最小二乘残差和为零，即Ze=0。i3)、令B=(B',B')'£RK1+k2,b=(b',b')',和X=(X,X),推导b和b的表12 12 12 1 2达式。人4)、如果E兜'=02。与单位矩阵不成比例，试推出b和0(GLS)方差形式。解：1〕、按照最小二乘的思想，我们定义该模型最小二乘估计量b=(xx)1xy注意，这时我们认为(XX)是可逆的矩阵。2〕、令2〕、令X=G,X)，其中，1=1则根据残差向量的矩阵形式e=e=y-Xb=If-X（XX）-X']，可以得到:X'e=0，于是可推得:X'e=UeX'e1X,e\J.*-V-13〕、令m=I-Xa，X）-X'e=UeX'e1X,e\J.*-V-13〕、令m=I-Xa，X）-1x'1 1 1 11 1根据y=XP+XP+£11由〔1〕式左乘M1,注意到：M1X1=0即有：Ze=0IM=f-X（X'X）-1X]

2 2 2 2 2 2可得：My=MXp+MXp+M£，可得：b=（X,MX）-1X'My2 212 21，可得：b=（X,MXI1X'My1 121 12〔4〕4〕、如果E鸵'=02Q与单位矩阵不成比例，则根据：Var(b)=VarIXX)-1XyL(XX)-1XVar(y)X(XXU可得：Var（b）=02（XX，（XQX）（XX）-1由于E兜'=02Q为对称正定矩阵，所以存在非奇异矩阵P,满足PQP'=I,也就是Q=(P)-1(P%。根据这一性质，我们对模型进行变换:Py=PXP+P£，显然，Var(P£)=P02QP'=o21。因此，对变换了的模型运用最小二乘估计，得到：B（GLS）=（XPPX）-1XP'Py=GQ-1X）】XQ-1y从而，VarQ-1X）】XQ-1（o2Q）Q-1X（XQ-1X）I=o2（XQ-1X）】3、假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资之间存在着恒定的差异，为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同以及方便起见，在模型中只包含受教育水平和性别二个定性的解释变量。试设计模型既能表达存在恒定的工资差异，又能反映存在受教育回报上的差异，并对模型参数的估计及其所蕴涵的意义进行讨论。

解：假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资(wage)之间存在着恒定的差异，同时为方便起见，在模型中只包含受教育水平(edu)和性别(female)二个定性的解释变量。为进行模型分析，我们把定性的解释变量转换为可进行定量分析的虚拟变量，即：female二female二i1,0V第i个被观测者是年轻女性职员

否则’0,第i个被观测者没有受过初等教育/ 1, 第i个被观测者受过初等教育edu=<i 2, 第i个被观测者受过中等教育3, 第i个被观测者受过高等教育由于本问题涉及的解释变量多于1个虚拟变量,因此,当被解释变量取为logQage)时，这些虚拟的解释变量系数就具有一种百分比的解释。为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同,考虑到加入解释变量交互项能够产生不同的斜率这一作用,我们设计如下模型：〔1〕log(wage)=Q+yfemale)+Q+yfemale)edu+£〔1〕i00 i11 iii在〔1〕式中代入female=0,就会发现，年轻男性职员这一组的截距为a,而受过初等i0教育的斜率为a。对于年轻女性职员这一组，代入female=1；于是其截距为a+Y,而1 i 00受过初等教育的斜率为a门1。因此，丫°度量了年轻男性职员与年轻女性职员在截距上的差异，Y1度量了年轻男性职员与年轻女性职员在受过初等教育回报上的差异。要估计模型〔1〕,我们可以把它改写成：〔2〕logWage)=a+yfemale+aedu+yfemale•edu+£〔2〕i00 i1i1 i ii对模型〔2〕中我们可以用OLS方法估计出参数a°，丫°，%丫1。对于丫,丫的取值可以分成如下四种情况：01〔