函数的周期性

09函数得周期性知识梳理1、周期函数得定义对于函数y=f(χ),如果存在一个常数T≠0,能使得当X取定义域内得一切值时,都有f(x+T)=f(x),则函数y=f(x)叫做以T为周期得周期函数。2、与周期相关得结论(1)周期函数具有无数多个周期,如果它得周期存在着最小正值,就叫做它得最小正周期、并不就是任何周期函数都有最小正周期,如常量函数f(x)=a(x∈R);(2)周期函数得定义域就是无界得;⑶若T为y=f(x)得周期，则nT(n∈Z且n≠0)也就是y=f(x)得周期⑷若函数f(x)恒满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)就是周期函数，∣a—b|就是它得一个周期;⑸若函数f(x)恒满足f(x+a)=—f(x)(a≠0),则f(x)就是周期函数，2a就是它得一个周期;推论:若函数f(x)恒满足f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),则f(x)就是周期函数，2∣a—b∣就是它得一个周期;(4)(5)以及周期性定义可概括为：“与或差为0型”即f(x+a)±f(x+b)=0型1(6)若函数f(x)恒满足f(x+a)=――(a≠0),则f(x)就是周期函数，2a就是它得一个f(x)周期;1推论:若函数f(x)恒满足f(x+a)=——-f(x+b)(a≠b),则f(x)就是周期函数，2∣a-b就是它得一个周期;1⑺若函数f(x)恒满足f(x+a)=--—(a≠0),则f(x)就是周期函数，2a就是它得f(x)个周期;1推论:若函数f(x)恒满足f(X+a)=--一-(a≠b),则f(x)就是周期函数，2af(x+b)就是它得一个周期;(6)⑺可概括为："乘积为±1型”即f(x+a)∙f(x+b)=±1型(8)若函数f(x)就是偶函数,且关于直线X=〃(。≠0)对称,则f(X)就是周期函数，2a就是它得一个周期;推论:若函数关于直线X=a,X=b(a≠b)对称,则f(X)就是周期函数，2∣a-b∣就是它得一个周期;⑼若函数f(X)就是奇函数,且关于直线X=a(a≠0)对称,则f(X)就是周期函数，4a就是它得一个周期;推论:若函数关于点(a,0)、直线X=b(a≠b)对称,则f(X)就是周期函数，4∣a-b∣就是它得一个周期;(10)若函数f(X)就是奇函数,且关于点(a,0)(a≠0)对称,则f(X)就是周期函数，2a就是它得一个周期;推论:若函数关于点(a,0)、(b,0)(a≠b)对称,则f(X)就是周期函数，2∣a—b∣就是它得一个周期。(8)(9)(10)可概括为:“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心,一条对称轴”型(11)分式递推型：即函数f(X)满足f(X+a)=1+f(X+b)(a≠b)-f(X+b)-1f(X+2b)1+f(X+b)1-f(X+b)(a≠b)得f(X+2a)=由f(X+a)=进而得f(X+2a)∙f(X+2b)=-1,由前面得结论得f(X)得周期就是T=4∣a-b∣经典习题(提示:本知识点常考小题,因此练习为主)一、选择题1、设f(X)就是(-∞,+∞)上得奇函数，fQ+2)=-fQ),当0≤X≤1时，f(X)=X,则f(7.5)=()A、0、5 B、－0、5 C、1、5 D、－1、52、f(X)就是定义在R上得以3为周期得偶函数,且f(2)=0,则方程f(X)=0在区间(0,6)内解得个数得最小值就是( )A.5 B.4 C.3 D.23、已知定义在R上得奇函数f(X)满足f(X+2)=-f(X),则f(6)得值为()A、-1 B、0 C、1 D、24、设函数f(X)(X∈R)为奇函数,且f(1)=1,f(X+2)=f(X)+f(2),则f(5)等于()501D、55、设f(X)就是定义在R上以6为周期得函数，f(X)在(0,3)内单调递减,且y=f(X)得图像关于直线X=3对称,则下面正确得结论就是()Af(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)Ilog(1一X),X≤06、定义在R上得函数f(X)满足f(X)=L二八c、Z则f(2009)得值为〔f(X-1)-f(X-2),X>0( )A、-1 B、0 C、1 D、237、已知定义在R上得函数f(X)满足f(X)=一f(X+-)且f(一2)=f(-1)=一1,f(0)=2,则f(1)+f⑵+ +f(2008)+f(2009)=()A、-2 B、-1 C、0 D、18、定义在R上得函数fQ)就是奇函数，又就是以2为周期得周期函数，则f(1)+f(4)+f(7)=()A、-1B、0C、1D、49.定义在R上得偶函数f(X)满足f(X+1)=-f(X),且在［-1,0］上单调递增,设a=f(3),b=fQ2),c=f(2),则a,b,c大小关系就是()A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a10、设函数f(X)(XeR)就是以3为周期得奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则()Aa>2 B.a<-2 C.a>1 D.a<-111、函数f(X)既就是定义域为R得偶函数，又就是以2为周期得周期函数，若f(X)在［-1,0］上就是减函数,那么f(X)在［2,3］上就是( )A增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.先减后增函数12、设偶函数f(X)对任意X∈R,都有f(X+3)=--ɪ,且当X∈［-3,-2］f(X)时，f(X)=2X^f(113.5)=()272715A.B.C.D.1513、定义在R上得函数f(x)既就是奇函数,又就是周期函数，T就是它得一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间［-T，T］上得根得个数记为n,则n可能为()A.0 B.13514、定义在R上得函数f(x)既就是偶函数又就是周期函数,若f(x)得最小正周期就是兀，兀 5兀且当X∈[0,-]时，f(x)=Sinx,则f(-^-)得值为()12A.-2B.C.V32D115、已知f(X)就是定义在R上得函数,且满足f(1+X)=f(1-X),则“f(x)为偶函数”就是“2为函数f(x)得一个周期”得()A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；C.充要条件； D.既不充分也不必要条件16、设fQ)就是定义在R上得正值函数,且满足fQ+1)fQT)=fQ)、若fQ)就是周期函数,则它得一个周期就是( )A、3 B、2 C、6 D、417、在R上定义得函数fQ)就是奇函数,且fQ)=fG-x),若fQ)在区间1,21就是减函数,则函数fQ)()A、在区间L3,-21上就是增函数,区间∣3,4］上就是增函数B、在区间L3,-21上就是增函数,区间∣3,41上就是减函数C、在区间L3,-21上就是减函数,区间hl1上就是增函数D、在区间L2,-I1上就是减函数,区间∣3,41上就是减函数填空题18、已知定义在R上得偶函数f(x)满足f(x+2)∙f(x)=1对于X∈R恒成立,且f(x)>0,则f(119)=119、函数f(X)对于任意实数x满足条件f(x+2)=—若f(1)=-5,则f(f(5))=f(x)f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=21、若存在常数P>0,使得函数f(X)满足f(px)=f(px—P)(x∈R),f(X)得一个正周期为x122、设f(x)=―-,记f(X)=f{f［f…f(x)］},则f(2011)=X+1n 2011n个f23.已知函数f(X)满足f(1)=1,4f(X)f(y)=f(X+y)+f(x—y)(x,y∈R),则4\ y /f(2010)= 解答题3324、设函数f(X)就是定义域R上得奇函数,对任意实数X有f(-+X)=-f(--X)成立⑴证明:y=f(X)就是周期函数,并指出周期；⑵若f(1)=2,求f(2)+f(3)得值33已知函数f(X)得图象关于点(—，0)对称，且满足f(X)=-f(X+3),又42f(-1)=1,f(0)=-2,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)得值、26、已知函数f(X)就是定义为R上得奇函数,且它得图像关于直线X=1对称⑴求证:f(X)就是周期为4得周期函数；(2)若f(X)=√X(0<X≤1),求X∈L5,-41时,函数f(X)得解析式。27、已知函数f(X)得定义域为R,且满足f(X+2)=-f(X)⑴求证:f(X)就是周期函数；⑵若f(X)为奇函数,且当0≤X≤1时,f(X)=1X,求使f(X)=-1在∣0,2009］上得所有X得个数。28、设函数f(X)在(-∞,+∞)上满足f(2-X)=f(2+X),f(7-X)=f(7+X),且在闭区间［0,7］上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(X)得奇偶性；⑵试求方程f(X)=0在闭区间［-2011,2011］上得根得个数,并证明您得结论、29、定义在R上得奇函数f(x)有最小正周期4，且X式0，2)时,f(X)=白。求f(x)在［-2,2］上得解析式参考答案(一)选择题1〜5BBBCB4、特取f(X)=1X6〜10CABDD11〜15ADDDC13、特取f(X)=sinX16〜17CC16、由fQ)就是定义在R上得正值函数及fQ+1)fQ-1)=fQ)得fQ+1)=f-1,fQ+2)=fQ+1)f(X+1)f[(X+1)-1] f(X)f(X+1)Q+3)=9)=Hf(X+1) f(X+1) f(X),所以fQ+6)=f(X),即fQ)得一个周期就是6f1(二)填空题118、19、20、021、15X-1X+1P2f5(X)=fI(X)=22、23、,可见T=4,f(2011)=-竺06

, ,2011 1005令X=n,y=1得f(n+1)=f(n+2)+f(n)同理f(n)=f(n+1)+f(n-1)两式相加得f(n+2)=-f(n-1)nT=6,由此可得f(2010)=1(三)解答题24、解:(1)T=3；⑵因为函数f(X)就是定义域R上得奇函数,且T=3,所以f(3)=f(0)=0〃3 〃3 1在f(-+X)=-f(--X)中,令X=-得f(2)=-f(1)=-2・•・f(2)+f(3)=-2325、解：由f(X)=-f(X+万)nT=333 1 1在f(--+X)=-f(--+X)中,令X=-五得f(-1)=-f(--)I I I 乙C C3 1 〃 1 …在f(X)=—f(X+-)中,令X=--得f(--)=—f(1)所以f(-1)=-f(-2)=f(1),而f(-1)=1,所以f(1)=1又f(2)=f(-1)=1,f(3)=f(0)=-2所以f(1)+f(2)+f(3)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=f(1)=126、解：(1)T=4⑵∙.∙0<X≤1时,f(X)=v：X，-1≤X<0时,0<-X≤1,从而f(-X)=Y-Xnf(X)=-√-X又当-5≤X<-4时,-1≤X-4<0”.f(X-4)=-T-(X-4)=-k4-X从而f(X)=-X4-X(-5≤X<-4)又因为f(-4)=f(0)=0也满足上式，.∙.f(X)=—4—X(—5≤X≤-4)27、解：(1)T=4(2)V0≤X≤1时,f(X)=2X.-1≤X≤0时,0≤-X≤1,从而f(-X)=—-Xnf(X)=—X22故f(X)=1X(-1≤X≤1)又当1≤X≤3时,-1≤X-2≤1…x)=/(X+2)=fx-2)=2(X-2)从而f(X)=1(2-X)=1-1X(1≤X≤3)由图象可知在b,2009］上使f(X)=-1得所有X得个数为502。28、解：⑴由f(2-X)=f(2+X)

f(7-X)=f(7+X)f(X)=f(4-X)f(X)=f(14-X)nf(4-X)