2023年秋冀教版九年级数学上册同步练习：26.1.2　正弦和余弦

第页26.1.2正弦和余弦一、选择题1．如图29－K－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，那么以下三角函数表示正确的选项是()A．sinA＝eq\f(12,13)B．cosA＝eq\f(12,13)C．tanA＝eq\f(5,12)D．tanB＝eq\f(12,5)图29－K－1图29－K－2[2023·邢台临城县期中]如图29－K－2，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，那么直角边BC的长是()A．m·sin35°B．m·cos35°C.eq\f(m,sin35°)D.eq\f(m,cos35°)3．[2023·上海长宁区二模]在正方形网格中，△ABC的位置如图29－K－3所示，那么cosB的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)4．计算cos245°＋tan60°·cos30°的值为()A．1B.eq\r(2)C．2D.eq\r(3)图29－K－3图29－K－45．[2023·杭州上城区模拟]如图29－K－4，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，以下用线段比表示sinα的值，错误的选项是()A.eq\f(CD,BC)B.eq\f(AC,AB)C.eq\f(AD,AC)D.eq\f(CD,AC)6．在△ABC中，∠A，∠B为锐角，且2cosA＝eq\r(2)，3tanB＝eq\r(3)，那么△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图29－K－5所示的方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，那么cos∠CBE的值是()图29－K－5A.eq\f(24,7)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(24,25)D.eq\f(1,3)8．在△ABC中，AB＝12eq\r(2)，AC＝13，cosB＝eq\f(\r(2),2)，那么BC边的长为()A．7B．8C．8或17D．7或17二、填空题9．如图29－K－6，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝eq\f(3,4)，那么BC的长为________.图29－K－6图29－K－7[2023·内蒙古模拟]如图29－K－7，假设点A的坐标为(1，eq\r(3))，那么sin∠1＝________.11．如图29－K－8，每个小正方形的边长为1，A，B，C均是小正方形的顶点，那么∠ABC的正弦值为________．图29－K－8图29－K－912．[2023·成都金牛区模拟]如图29－K－9，CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，假设BC＝8，那么cos∠ACD＝________．图29－K－1013．如图29－K－10，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.假设∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，那么cos∠BPC＝________.三、解答题14．α是锐角，且sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2).计算：eq\r(8)－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1).15．如图29－K－11，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10eq\r(2)，AB＝20.求∠A的度数．图29－K－1116．：如图29－K－12，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，且BO＝5，sin∠BOA＝eq\f(3,5).(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．图29－K－1217【从特殊到一般的数学思想】阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，那么sin230°＋cos230°＝__________；①sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，那么sin245°＋cos245°＝________；②sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，那么sin260°＋cos260°＝________．③观察上述等式，猜测：对于任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．(1)如图29－K－13，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜测；(2)∠A为锐角，且sinA＝eq\f(3,5)，求cosA.图29－K－131．A[解析]因为AB＝13，BC＝12，所以AC＝5.所以sinA＝eq\f(12,13)，cosA＝eq\f(5,13)，tanA＝eq\f(12,5)，tanB＝eq\f(5,12)，应选项A是正确的．2．A[解析]sinA＝eq\f(BC,AB).∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝m·sin35°.应选A.3．B[解析]如图，作AD⊥BC于点D，那么AD＝5，BD＝5，∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，∴cosB＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(5,5\r(2))＝eq\f(\r(2),2).应选B.4．C[解析]原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝2.5．D[解析]A项，在Rt△BCD中，sinα＝eq\f(CD,BC)，应选项A正确；B项，在Rt△ABC中sinα＝eq\f(AC,AB)，应选项B正确；C项，在Rt△ACD中，sinα＝sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，应选项C正确；D项，在Rt△ACD中，cosα＝cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)，应选项D错误．应选D.6．C[解析]由2cosA＝eq\r(2)，3tanB＝eq\r(3)，可得cosA＝eq\f(\r(2),2)，tanB＝eq\f(\r(3),3)，所以∠A＝45°，∠B＝30°，所以∠C＝180°－45°－30°＝105°，所以△ABC是钝角三角形．7．C8．D[解析]∵cosB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠B＝45°.当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AB＝12eq\r(2)，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12.∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD－CD＝12－5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC＝BD＋CD＝12＋5＝17.应选D.9．2eq\r(7)[解析]∵cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AC＝AB·cosA＝8×eq\f(3,4)＝6，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(82－62)＝2eq\r(7).10.eq\f(\r(3),2)11.eq\f(\r(2),2)[解析]连接AC.∵AB2＝32＋12＝10，BC2＝22＋12＝5，AC2＝22＋12＝5，∴AC＝BC，BC2＋AC2＝AB2，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC的正弦值为eq\f(\r(2),2).12.eq\f(4,5)[解析]∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).13．eq\f(3,5)[解析]过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC＝5，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×8＝4，∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(52－42)＝3，∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(3,5).故答案为eq\f(3,5).14．解：由sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2)，得α＋15°＝60°，那么α＝45°.原式＝2eq\r(2)－4×eq\f(\r(2),2)－1＋1＋3＝2eq\r(2)－2eq\r(2)＋3＝3.15．解：在Rt△BDC中，因为sin∠BDC＝eq\f(BC,BD)，所以BC＝BD·sin∠BDC＝10eq\r(2)·sin45°＝10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10.在Rt△ABC中，因为sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，所以∠A＝30°.16．解：过点B作BC⊥OA于点C.(1)在Rt△OBC中，OB＝5，∵sin∠BOA＝eq\f(BC,BO)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BC,5)＝eq\f(3,5)，解得BC＝3.在Rt△OBC中，根据勾股定理，可得OC＝4，∴点B的坐标为(4，3)．(2)AC＝10－4＝6.在Rt△ABC中，AB＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)，∴cos∠BAO＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(6,3\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).17解：(1)证明：过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ADB中，sinA＝eq\f(BD,AB)，cosA＝eq\f(AD,AB)，由勾股定理，得BD2＋AD2＝A