第03讲等比数列

第03讲等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．定义的表达式：＝q(n∈N*，n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．2．等比数列的通项公式an＝a1·qn－1=am·qn－m．3．等比中项若a，b，c成等比数列，则b2=a·c．b是a与c的等比中项.4．等比数列的下标和公式若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.5．等比数列的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))6．等比数列的常用性质在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．一．等比数列基本量的运算例1．（1）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.（2）等比数列是递增数列，若，，则公比为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由题意可知且，由已知条件可得出关于实数的等式，解出的值，进一步求出的值和数列的通项公式，对数列的单调性进行验证，由此可得出结果.【详解】因为等比数列是递增数列，则数列的公比满足且，所以，，即，解得或.若，则，解得，此时，此时数列为递增数列，合乎题意；若，则，解得，此时，此时数列为递增数列，合乎题意.综上所述，或.故选：D.（3）已知等比数列的前项和为，若，，则A． B． C．3 D．9【答案】B【详解】，所以选B.（4）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（

）A． B．C．或1 D．或1【答案】C【分析】设等比数列的公比为q.利用基本量代换列方程组即可求出q.【详解】设等比数列的公比为q.因为，，所以，，即，，所以，解得或.故选：C.（5）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1【答案】B【详解】方法一设等比数列{an}的公比为q，则q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n.方法二设等比数列{an}的公比为q，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2－a3＝12，

①,a4q2－a4＝24，②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)＝q＝2.将q＝2代入①，解得a3＝4.所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，下同方法一．（6）在等比数列中，，且为和的等差中项，则______．【答案】【分析】由已知可得出，解得或.经检验得，又由可得，即可得到的通项公式，进而求出答案.【详解】解：设公比为.由为和的等差中项可得，，即，因为，所以，解得或.当时，，这与矛盾，舍去；当时，，又，所以，所以.所以.故答案为：.【复习指导】：(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二．等比数列的判定与证明例2．（1）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(=1\*romani)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(=2\*romanii)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求{an}的通项公式．【详解】(=1\*romani)证明an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an>0，所以eq\f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．(=2\*romanii)解由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝eq\f(1,2)×3n－1.（2）已知数列满足：.(=1\*romani)求证：数列是等比数列；(=2\*romanii)求数列的通项公式及其前项和的表达式.【答案】(=1\*romani)证明见解析；(=2\*romanii)；【分析】(=1\*romani)由等比数列的定义证明即可；(=2\*romanii)由(=1\*romani)得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.【详解】(=1\*romani)由题意可知，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知，，即前项和.（3）记为数列的前n项和，已知，，且．(=1\*romani)证明：为等比数列；(=2\*romanii)求数列的通项公式及前n项和．【答案】(=1\*romani)证明见解析；(=2\*romanii)；.【分析】(=1\*romani)利用构造法，构造数列证明即可；(=2\*romanii)结合(=1\*romani)变形构造得到新数列，然后利用分组以及等差等比数列求和公式写出【详解】(=1\*romani)证明：由，可化为，即，∴是以为首项，2为公比的等比数列；(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知，，，是1为首项，公比为－3的等比数列，∴，，，故，．【复习指导】：等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．三．等比数列性质的应用命题点1等比数列项的性质例3．（1）已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2aeq\o\al(2,4)＝π，则tan(a3·a5)等于()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．±eq\r(3)【答案】A【详解】由已知得aeq\o\al(2,4)＋2aeq\o\al(2,4)＝π，∴aeq\o\al(2,4)＝eq\f(π,3)，又a3·a5＝aeq\o\al(2,4)＝eq\f(π,3)，∴tan(a3·a5)＝eq\r(3).（2）(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于()A．12B．24C．30D．32【答案】D【详解】设等比数列{an}的公比为q，则q＝eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(2,1)＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.（3）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】由等差中项及等比中项的性质求解即可.【详解】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.（4）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A．B．1011C．D．1012【答案】C【分析】利用韦达定理、等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解.【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根，所以，根据等比数列性质知，，因为，于是，则==.故A，B，D错误.故选：C.（5）在等比数列中，，则的值为（

）A．48 B．72 C．144 D．192【答案】D【分析】由等比数列的性质求解【详解】数列是等比数列，则，，而，故．故选：D【复习指导】：(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．命题点2等比数列和的性质例4．（1）等比数列的前项和为，，，则为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果.【详解】由题意知：，，成等比数列，，解得：或；，.故选：A.（2）已知各项均为正数的等比数列，，则（

）A．60 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】由等比数列的性质可得，再求出与的值，从而可得答案.【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，因为，，所以，，，所以，故选：A.（3）等比数列的前项和是,且,若,则(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等比数列的性质成等比数列，列方程求解【详解】设,则,所以由等比数列性质知成等比数列所以,得,所以所以故选：D（4）正项等比数列的前项和为，，，则等于（）A．90B．50C．40D．30【答案】B【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可.【详解】解：因为是正项等比数列的前项和，所以，所以，又因为，，所以，所以，解得或(舍).故选：B.【复习指导】：等差/等比数列的前n项和性质(1)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．四．等比数列的函数特性例5．（1）在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分又不必要【答案】C【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：，当时，，所以数列单调递减，故充分性成立，若数列单调递减，则，即，故必要性成立，所以是数列单调递减的充要条件.故选：C.（2）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q，进而即可求解【详解】设公比为q（显然），由得，即，得或（舍去），所以递增且，所以最小值为．故选：C（3）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】D【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为.【详解】由可知公比，所以A错误；又，且可得，即B错误；由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，即无最大值，所以C错误；设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，又可得，即的最大值为，所以D正确.故选：D（4）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（

）A． B．是数列中的最大值C． D．数列无最大值【答案】C【分析】根据题意，由等比数列的性质分析公比的范围，由此分析选项可得答案．【详解】解：等比数列的公比为，则，由，则有，必有，又由，即，又，则有或，又当时，可得，由，则与矛盾所以，则有，由此分析选项：对于A，，故，故A错误；对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；对于C，等比数列中，则，则，故C正确；对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.故选：C.【复习指导】：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．1．已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A．2 B．54 C．162 D．243【答案】C【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，解方程后代入等比数列通项公式，即可求解.【详解】解：设等比数列的公比为，由题意可得，解得，.故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，考查运算求解能力与方程思想，属于基础题.2．设是等比数列，且，则（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【分析】由等比数列的性质求得，再代入中即可求得的值.【详解】,.故选：C.3．等比数列中，若，则公比为（

）A．1 B．－2 C．2 D．2或－2【答案】C【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，即，解得：，故选：.4．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4+log3a6＝（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【分析】利用等比中项得到，直接求得.【详解】等比数列{an}中，若a5＝9，所以，所以.故选：C5．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．21 B．81 C．243 D．729【答案】C【分析】根据等比中项得到，设出公比，得到方程组，求出公比，进而求出答案.【详解】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C6．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．5 B．10 C．4 D．【答案】A【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A7．正项等比数列的前n项和为，若，，则（

）．A．8 B．16 C．27 D．81【答案】B【分析】利用基本量代换先求出，即可求出.【详解】设正项等比数列的公比为q.由可得：，所以.所以，解得：（舍去）所以.故选：B8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A． B．43 C． D．41【答案】A【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列．因为，所以，所以，故．故选：A.9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40【答案】D【分析】由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．【详解】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．10．已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列前10项和为（

）A．58 B．56 C．50 D．45【答案】A【分析】先求出的公比得到通项公式，再求出，计算前10项和即可.【详解】根据题意，所以，从而有，所以，所以有，所以数列的前10项和等于.故选：A.11．在等比数列中，公比是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当时，则，因为，所以，所以，故，所以不能推出，当时，则，由，得，则，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.12．在等比数列中，，，则（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【分析】利用等比数列的性质列方程组即可求解.【详解】因为是等比数列，所以.又，联立解得或，当时，；当时，.故选：C13．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（

）A． B． C．48 D．96【答案】C【分析】根据题意，由条件得到关于与的方程，即可得到，从而得到结果.【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，又，所以，解得所以故选:C14．设等比数列的前n项和为Sn，若，，成等差数列，且，则（

）A．-1 B．-3 C．-5 D．-7【答案】B【分析】根据等差数列列式，代入等比数列前项和公式，计算得，从而求解.【详解】∵，，成等差数列，∴，由题意，∴，可得，所以∴.故选:B.15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，则S3等于()A．eq\f(26,9)B．eq\f(13,3)C．eq\f(13,9)D．6【答案】A【详解】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，因为a2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝\f(2,3)，,\f(1,a1)＋\f(1,a1q)＋\f(1,a1q2)＝\f(13,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(2,9)，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝\f(1,3)，))当a1＝eq\f(2,9)，q＝3时，S3＝eq\f(\f(2,9)1－33,1－3)＝eq\f(26,9)；当a1＝2，q＝eq\f(1,3)时，S3＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3)),1－\f(1,3))＝eq\f(26,9)，所以S3＝eq\f(26,9).16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少()A．198里B．191里C．63里D．48里【答案】A【详解】设每天走的路程里数为{an}，则{an}是公比为eq\f(1,2)的等比数列，由S6＝378，得eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴an＝192·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴后四天走的路程为a3＋a4＋a5＋a6，前两天走的路程为a1＋a2，又a1＋a2＝192＋96＝288，且S6＝378，∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90，∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198，故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198里，故选A.17．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于()A．2B．3C．4D．5【答案】C【详解】a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴eq\f(2k＋11－210,1－2)＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.18．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.【详解】A：由，得，即，则、取值同号，若，则不是递增数列，故A错误；B：由，得，即，则、取值同号，若，则数列不是递增数列，故B错误；C：若等比数列，公比，则，所以数列为递增数列，但，故C错误；D：由数列为递增数列，得，所以，即，所以，故D正确.故选：D19．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，，所以.又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.20．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】先利用，，成等差数列解出，再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得，.故选：B.21．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．30 B．10 C．9 D．6【答案】B【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.【详解】为正数的等比数列，则，可得，∵，∴，又∵，则，可得，∴，解得，故.故选：B.22．在正项等比数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的值，进而可求得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，对任意的，，，由等比中项的性质可得，解得，所以，，整理可得，，解得，因此，.故选：A.23．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.24．已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为8，则取最小值时，首项（）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】由题意可得，可得，由基本不等式和等比数列的通项公式可得结果.【详解】∵，设公比为，∴当且仅当，即时取等号，此时，故选C.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.25．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减，，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C．26．设等比数列满足，，则的最大值为（

）A．32 B．16 C．128 D．64【答案】D【分析】结合已知条件，求出的通项公式，然后求解当时的范围，进而可得到答案.【详解】因为等比数列满足，，所以，从而，故，则数列是单调递减数列，当时，，故.故选：D.27．若分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件可得，，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果.【详解】依题意可得，，且，所以，即，解得又因为，所以，所以故选:A28．已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，因为，则，，可得，由已知、，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.29．（多选）记为等比数列的前项和，则（

）A．是等比数列 B．是等比数列C．成等比数列 D．成等比数列【答案】AB【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.【详解】设等比数列公比为，则有，所以，所以是以为公比的等比数列，A正确；，所以是以为公比的等比数列，B正确；若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误；若公比，且为偶数，则都等于0，此时不能构成等比数列，D错误.故选:AB.30．（多选）已知数列，其前项和为．则下列结论正确的是（

）A．若数列是等差数列，则是等差数列B．若数列是等比数列，则是等比数列C．若数列是等差数列，则是等差数列D．若数列是等比数列，则是等比数列【答案】AC【分析】根据等差数列的定义等差中项的性质判断AC，结合等比数列的定义举例说明判断BD．【详解】对于A，若数列是等差数列，设公差为，则为常数，因此是等差数列，A正确；对于C，，，，显然有，，…，，所以，即是等差数列，C正确；对于B，，则是等比数列，但，不是等比数列，B错误，对于D，，当，，，，则不是等比数列，D错误．故选：AC．31．（多选）已知数列满足（其中，q为非零常数，），则下列说法正确的是（

）A．若，则不是等比数列 B．若，则既是等差数列，也是等比数列C．若，则是递减数列 D．若是递增数列，则【答案】BC【分析】根据等比数列的定义判断A，根据等比数列和等差数列的定义判断B，根据递减数列的定义判断C，根据递增数列的性质判断D.【详解】对于选项A，当时，，由等比数列的定义可知，是等比数列，故A错误；对于选项B，当时，，所以既是等差数列，也是等比数列，故B正确；对于选项C，当，时，，即，所以是递减数列，故C正确；对于选项D，当，不是递增数列，不符合题意；当时，，由是递增数列得，，所以或，即或，故D错误．故选：BC．32．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等差数列C． D．【答案】ABD【分析】由已知递推式可得或，从而可得数列为公比为3的等比数列，数列为常数列，从而可求出，进而可分析判断【详解】根据题意得，令或，所以可得：或，所以数列为公比为3的等比数列，故选项A正确；数列为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；所以，且，解得，所以C错误，所以，所以D正确，故选：ABD．33．记Sn为等比数列{an}的前n，则S4=___________．【答案】.【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知，即，解得，所以．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．34．已知等比数列中，，，则___________.【答案】32【分析】利用等比数列的通项公式及性质求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，即，所以.故答案为：32.35．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.【答案】91【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列，则，，成等比数列，∴，∴，∴.方法二：设公比为，由题意显然且,所以，∴，故答案为：.36．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为______．【答案】21【分析】先求得数列的通项公式，由此求得数列的通项公式，可知数列是等差数列，然后根据通项公式的特征求得前项和的最大值．【详解】由于等比数列中，，，所以，解得，所以，所以，所以数列是首项为6，公差为的等差数列，当1≤n≤6时，；当n＝7时，；当n＞7时，，则当n＝6或n＝7时，数列的前n项和取得最大值，最大值为6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．故答案为：21．37．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．【答案】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得.【详解】设等差数列的公差为，依题意，则，解得，所以，所以，通过观察可知，去掉后，成等比数列，所以等比数列的首项为，公比为，所以.故答案为：38．在等比数列{}中，若，则当……取得最大值时，n=___________.【答案】6【分析】利用等式得到数列的公比，进而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解.【详解】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．故答案为：639．已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.【答案】4【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前项和列出，即可得到答案【详解】解：因为等比数列的前项满足，，所以，所以公比，所以，解得，故答案为：440．已知为等比数列．(1)若，，求(2)若，求的值．【答案】(1)5；(2)10【分析】（1）将带入条件等式，配方可求得（2）利用带入求解．【详解】（1）因为，所以＞0．因为所以.（2）根据等比数列的性质，得所以所以.41．已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)，；(2)最大值16，最小值8【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答.（2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，所以数列，的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，当时，，此时数列是递减的，恒有，此时；当时，，此时数列是递增的，恒有，此时；综上可得，的最大值为16，最小值为8.42．已知数列的前n项和，证明是等比数列，并求出通项公式．【答案】证明见解析，【分析】利用与关系即可证明是等比数列，再利用等比数列通项公式即可求出其通项.【详解】因为，所以，所以，所以．又因为，所以．又由，知，所以，所以是等比数列．因为，所以．43．已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．【详解】设等比数列{an}的公比为q，则cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，当q＝－eq\f(1,2)时，cn＝0，数列{cn}不是等比数列；当q≠－eq\f(1,2)时，因为cn≠0，所以eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(2q＋1an＋1,2q＋1an)＝q，所以数列{cn}是等比数列．44．已知等比数列的公比，且依次成等差数列．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式与等差中项公式得到关于的方程，解之即可得解；（2）结合（1）中结论得到，从而判断是等比数列，再利用等比数列的前项和公式求得解即可.【详解】（1）因为依次成等差数列，所以，因为等比数列的公比，所以，即，解得，所以.（2）由题意知，所以数列是首项为，公比的等比数列，故数列的前n项和．45．设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【分析】（1