2021北京陈经纶中学初二（下）期中数学试卷含答案

2021北京陈经纶中学初二（下）期中

数学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的.

1.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形是（）

A.5,12,13B.1,2,75C.1,52D.4,5,6

2.下列根式中属于最简二次根式的是（）

1

A瓜B.7^71

3.下列各式中，运算正确的是（）

A.=B.3百一百=3C.3+&=30D.“2)2=-2

4.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分/ADC交BC边于点E,已知BE=4cm,AB=6cm,则AD的

长度是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

5.如图，矩形ABC。的对角线AC,3。相交于点O,且£>E〃AC,CE//BD,若AC=2,则四边形OC£®

C.4D.2

6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三

尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地,

抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为

()

A,^-3=(10-x)2B.^-32=(10-x)2C.x2+3=(10-x)2D.x2+32=(10-x)2

7.如图，平行四边形ABCD的周长是22cm,对角线AC与BD交于点O,AC±AB,E是BC中点,

△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

8.如图，在给定的正方形ABC。中，点E从点8出发，沿边3C方向向终点C运动，。尸_LAE交A3

于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DEEP,连接CP，则“EE+NEPC的度数的变化情况

是（）

A.一直减小B.一直减小后增大C.一直不变D.先增大后减小

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.

9.若代数式J口有意义，则实数x的取值范围是.

10.如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A8的面积分别是9

和4,则最大正方形。的面积是.

11.如图，数轴上的点A表示的数是1，OB1OA,垂足为。，且80=1,以点A为圆心.AB为半径画

弧交数轴于点C,则C点表示的数为.

12.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5,

BC=12,则EF=；

13.如图，四边形ABC。是菱形，AC与BD相交于点。，添加一个条件：，可使它成为正方

形.

B区

14.如图，四边形ABC。是菱形，点0是两条对角线的交点，过点。的三条直线将菱形分成阴影和空白

部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为.

15.如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,E为AB边的中点，P为对角线BD上任意一点,

A3=4，则PE+P4的最小值为.

16.定义:对于线段MN和点P,当PM=PN,且NMPNW120。时，称点P为线段MN”等距

点”.特别地，当PM=PN,且NMRV=120。时，称点P为线段的“强等距点”.在平面直角坐标

系宜为中，点A的坐标为（2后,0）.

（1）若点8是线段的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为；

（2）若点C是线段Q4的“等距点”，则点C的纵坐标1的取值范围是.

三、解答题：本大题共10个小题，共52分.17-25题每题5分，26题7分.

17.计算：+>/3-V12j.

18.已知》=逐+1，求/一2%的值.

19.下面是小明设计的“作平行四边形ABC。的边AB的中点”的尺规作图过程.

已知：平行四边形ABCD.

求作：点M,使点M为边AB的中点.

作法：①作射线。A：

②以点A为圆心，长为半径画弧，交OA的延长线于点E；

③连接EC交AB于点所以点加就是所求作的点.

根据小明设计尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.证明：连接

四边形ABCO是平行四边形，

AE//BC

AE=,

•••四边形E8C4是平行四边形()(填推理的依据).

AM=MB()(填推理的依据).

，点M为所求作的边A3的中点.

20.如图，在a4BC3中，E,尸分别在A。，BC上，JiAE=CF,连结BE、DF.求证：BE=DF.

21.如图，在AA8C中，8。是AC垂直平分线，过点。作AB的平行线交3C于点尸，过点B作AC

的平行线，两平行线相交于点E，连接CE.

求证：四边形3ECO是矩形.

22.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下

列要求画三角形.

(1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;

(2)在图2中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,2夜，石;

(3)在图3中,画一个三角形,使它的面积为5.

(1)补全图形，并证明四边形8尸co是菱形；

(2)若AB=3,BC=4,求四边形BFCO的周长.

24.阅读下面材料：

学习了《平行四边形》单元知识后，小东根据学习平行四边形的经验，对矩形的判定问题进行了再次探

究.

以下是小东的探究过程，请你补充完整：

(1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0.补充下列条件中能判断平行四边形ABCD是矩形

的是(请将所有正确答案前的字母填写在横线上)

A.AO3BDB.AC=BDC.AD=DCD.0DAB=0ABC

(2)小东进一步探究发现：

在通过对“边、角、对角线”研究矩形的判定中，小东提出了一个猜想：”一组对边相等，一组对角均为

直角的四边形为矩形.”请你画出图形，判断小东的猜想是否是证明题.如果是真命题，请写出证明过

程，如果不是，请说明理由.

25.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东

西，这是数学解题的一个重要原则”.

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如。2±2出;+/=(4±》)2,那么

yla2+2ah+h2=\a+b\.如何将双重二次根式^5±2#化简?我们可以把5±2指转化为

(A/3)'±2^+(V2)-=(行土0)完全平方的形式，因此双重二次根式

15±2-J^=J5±J^'得以化简.

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点尸(x,y)和Q(x,y')给出如下定义：若y'=<则称点

。为点尸的''横负纵变点”.例如：点（3,2）的“横负纵变点”为（3,2）,点（一2,5）的“横负纵变点”为

（-2,-5）.

请选择合适的材料解决下面的问题：

（1）点（夜，一©的“横负纵变点”为，点卜36,-2）的“横负纵变点”为；

（2）化简：布+2尺;

（3）已知”为常数（lWa<2）,点/卜\/5,加），且/〃=++,点”是

点M的“横负纵变点”，则点M的坐标是.

26.如图，在正方形ABCC中，点E是边AB上的一动点（不与点A,B重合），连接。E,点A关于直线

DE的对称点为凡连接E尸并延长交BC边于点G,连接。尸，DG.

（1）依题意补全图形，并证明/FQG=NCOG；

（2）过点E作于点E,交。G的延长线于点M,连接BM.

①直接写出图中和DE相等的线段；

②用等式表示线段4E,8M的数量关系，并证明.

B

参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的.

I.【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析解题即可.

【详解】解：A.-.-52+122=169,132=169

/.52+122=132

•.5,12,13能构成直角三角形，

故A不符合题意；

B12+22=5,(V5)2=5

.-.12+22=(V5)2

•.I,2,右能构成直角三角形，

故B不符合题意；

C.F+(G)2=4,22=4

A12+(V3)2=22

1,6,2能构成直角三角形，

故C不符合题意；

D.42+52=41,62=36,41#36

.•.4,5,6不能构成直角三角形，

故D符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

2.【答案】B

【解析】

【分析】最简二次根式是指根式的被开放式中不含有任何可以开方的因式，据此即可解题.

【详解】A.十=2错误,

B.后W，正确，

c.、口错误，

\22

D.土与,错误,

故选B.

【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

3.【答案】A

【解析】

【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】解：A、配=2百，故此选项正确；

B、36-6=26，故此选项错误；

C、3+0无法计算，故此选项错误：

D、/7=2,故此选项错误；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.【答案】D

【解析】

【分析】由已知平行四边形ABCD,DE平分/ADC可推出为等腰三角形，所以得

CE=CD=AB=6,那么AD=BC=BE+CE,从而求出AD.

【详解】解：已知平行四边形ABCD,DE平分NADC,

，AD〃BC,CD=AB=6cm,ZEDC=ZADE,AD=BC,

，NDEC=/ADE,

二NDEC=NCDE,

/.CE=CD=6cm,

BC=BE+CE=4+6=1Ocm,

AD=BC=10cm,

故选：D.

【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分

线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD.

5.【答案】C

【解析】

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得至UOD=OC=，AC，再利用两对边平行的四边形为平行四边

2

形得到四边形OCED为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形OCED为菱形，即可求

出其周长.

【详解】解：；四边形ABCD为矩形，

.-.OA=OC,OB=OD,且AC=BD=2,

.*.OA=OB=OC=OD=-AC=1,

2

VCE//BD,DE〃AC,

/.四边形OCED为平行四边形，

VOD=OC,

二四边形OCED为菱形，

；.OD=DE=EC=OC=1,

则四边形OCED的周长为1+1+1+1=4.

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定

理解题即可.

【详解】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，

根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2.

故选D.

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解

题.

7.【答案】B

【解析】

【详解】•••四边形488是平行四边形，

OB=OD,AD=BC,

,：/\AOD的周长比4AOB的周长多

AD+AO+OD-（AB+AO+BO）=AD-AB=3cm,

平行四边形ABCD的周长为22cm,

：.AD+AB=\\cm,

.'.AD=lcni,

...BC=7cm,

又：4（：，48,点后是8。的中点，

'.AE=3.5cm.

故选B.

8.【答案】A

【解析】

（分析］根据题意NDFE+/EPC=ZDPC，作P"_L交BC的延长线于H,证明CP是ZDCH

的角平分线即可解决问题.

【详解】解：作尸"_L3C交BC的延长线于H,

AD-AB=BC»

ZDAF=ZABE=NDCB=NDCH=90°,

■:DFLAE，

AZBAE+ZDAE^90°,ZADF+ZDAE^90°,

:.ABAE=ZADF，

：.^ADF^^BAE(ASA),

：.DF=AE，

•.•四边形DFEP是平行四边形，

:.DF=PE，NDFE=/DPE，

VZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+NPEH=90°,

•••ZBAE=ZPEH，

•：ZABE=ZH=90°,AE=EP.

/.AABE=AE/7P(A45),

:.PH=BE，AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

:.NPCH=45。,

■：NDCH=90。,

：.ZDCP=ZPCH,

:.CP凫乙DCH角平分线，

点P的运动轨迹是ADCH的角平分线，

NDFE+ZEPC=ZDPE+ZEPC=ZDPC,

由图可知，点P从点。开始运动，所以/DPC一直减小，

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.

9.【答案】x>3

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：x-3>0,

解得：x>3.

故答案为：x>3

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是

解题的关键.

10.【答案】13

【解析】

【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可.

【详解】解：•••两个正方形的面积分别为9和4,

,它们分别是直角三角形的两条直角边的平方，

则根据勾股定理可得：

$c=S.+SB

=9+4

=13,

故答案为：13.

【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.

H.【答案】1一发

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，即为AB与AC的长，再根据两点间的距离公式，即可求出C点表

示的数.

【详解】由勾股定理可得，AB^l2+l2=y/2>

VAB=AC,

，AC=及，

•••点A表示的数是1,

；.C点所表示的数为1—6；

故答案为1-夜.

【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的

数-较小的数，是解题的关键.

13

12.【答案】—

4

【解析】

【分析】先由勾股定理求出AC,再得出OC,证明即是△O3C的中位线，即可得出结果.

【详解】解：•••四边形ABCO是矩形，

AZBAD=90°,OC=^AC,AD=BC=\2,

47AB2+BC2=V52+122=13，

13

0C=—,

2

♦.♦点E、F分别是80、BC的中点，

尸是△BOC的中位线，

：.EF=\；OC=—,

24

13

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形中

位线是解决问题的关键.

13.【答案】ZBAD=90

【解析】

【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件.

【详解】解：由于四边形ABCD是菱形，

如果BAD=90，

那么四边形A8C0是正方形.

故答案为：BAD=90.

【点睛】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理.

14.【答案】48

【解析】

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影

的面积是菱形面积的一半即可解答.

【详解】如图所示：

•.•菱形A8CD的两条对角线的长分别为12和16,

菱形A8CD的面积='xl2xl6=96,

2

V0是菱形两条对角线的交点，菱形A8CD是中心对称图形，

AOEG=NOFH,四边形会四边形ONCG,

四边形OEDM会四边形OFBN,

，阴影部分的面积=gS菱形ABCD=gX96=48,

故答案为：48.

【点睛】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱

形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键.

15.【答案】2G

【解析】

【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置，根据菱形的性质，知：点A和C关于80对

称.则连接CE交80于点尸，P即为所求作的点，PE+B4的最小值即为CE的长.

【详解】解：连接AC,

•.•菱形ABC。，

，AB=BC=4,ACLB。且平分8。，

二点A和C关于8。对称.则连接CE交6。于点P，此时PE+PA的值最小为CE的长，

ZABC=60°),

5c是等边三角形，

E为边的中点，

/.CE1AB,

,/£为A8边的中点，

:.BE=2,

在RfABCE中,

CE^^BC2-BE2=无=26

故答案为2G.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理、菱形的四边相等性质，能够

正确找到点P的位置是解题的关键.

16.【答案】①.(6,1)②.91或七一1

【解析】

【分析】(1)过点8作轴于点根据“强等距点”的定义可得出NA5O=120。，B0=BA,

根据等腰三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质即可求出线段、8M的长度，再由点8在第

一象限即可得出结论；

（2）结合（1）的结论以及“等距点”的定义，即可得出/的取值范围.

【详解】解：（1）如图，过点3.作轴于点

•••点B是线段的“强等距点”，

ZABO=120°.BO=BA,

,•*BM_Lx轴于点M,

O河=A"=」OA=GZOBMZABO=60°.

22

在R/AOBM中，OM=6ZOBM=60°.

；・BM=1.

...点8的坐标为或

•.•点8在第一象限，

:.网百,1）.

故答案为：（6,1）.

（2）由（1）可知：线段。4的“强等距点”坐标为（由,—1）或（百,1）.

是线段的“等距点”，

...点C在点（6,1）的上方或点下方，

或Y-1.

故答案为：或T-1.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30度角的直角三角形的性质，读懂题意明白“等距点”和“强等

距点”的性质是解题的关键.

三、解答题：本大题共10个小题，共52分.17-25题每题5分，26题7分.

17.【答案】3内一走

2

【解析】

【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】解：原式=变+6—血+26

2

=36一①

2

【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键.

18.【答案】4

【解析】

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【详解】解：当％=6+1时，

原式=x（x-2）

=（75+1）（75-1）

=5-1

=4

【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法以及平方差公式，本题属于基础

题型.

19.【答案】（1）见解析；（2）BC,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互

相平分

【解析】

【分析】（1）根据要求画出图形即可.

（2）连接AC,EB,证明四边形ACBE是平行四边形即可解决问题.

【详解】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示.

（2）证明:连接ACER

四边形ABC。是平行四边形，

:.AE//BC,

AE=BC,

二四边形£BC4是平行四边形（一组对动平行且相等的四边形是平行四边形）

;.AM=MB（平行四边形的对角线互相平分）

v点M为所求作的边AB的中点.

【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

20.【答案】详见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC,求出DE//BF,得出四边形。EBF是平行

四边形，根据平行四边形的性质推出即可.

【详解】•.•四边形ABCO是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

'JAE^CF,

：.DE=BF,DE//BF,

.•.四边形OE8尸是平行四边形，

：.BE=DF.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形OEB尸是平行四

边形是解决问题的关键.

21.【答案】见解析.

【解析】

【分析】根据己知条件易推知四边形ABED是平行四边形.结合等腰AABC“三线合一”的性质证得BDXAC,

即NBDC=90。，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到回BECD是矩形.

【详解】证明：•••!?□是AC的垂直平分线

D「E

彳一B

，AD=DC,

BD±CA

/•NBDC=90

由题意知，

AB/7DE,AD〃BE

四边形ABED是平行四边形

AD=BE,

ADC=BE,

又AC〃BE

即DC〃BE

•••四边形BECD是平行四边形

四边形BECD是矩形

【点睛】此题考查等腰三角形的性质，矩形的判定，解题关键在于得到四边形ABED是平行四边形.

22.【答案】见解析.

【解析】

【分析】（1）画一个三边长为3,4,5的三角形即可；

（2）利用勾股定理画出三角形即可；

（3）画一个边长为而,可,而的直角三角形即可.

【详解】（1）如图所示；

（2）如图所示;

【点睛】此题主要考查了作图与应用作图.本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决.

23.【答案】（1）见解析；（2）10

【解析】

【分析】（1）依题意补全图形，先证四边形BFCO是平行四边形，再由矩形的性质得出OC=OB,即可得

出结论；

（2）由勾股定理求出AC=5,得出OC的长，由菱形的性质得出8F=CF=O8=OC=3,即可得出答

2

案.

【详解】解：（1）补全图形如图所示:

•：BF//AC,CF//BD,

：.四边形BFCO是平行四边形，

又•••四边形A8C。是矩形，

/.OC=OA^-AC,OD=OB=』BD,AC=BD,

：.OC=OB,

，四边形BFCO是菱形；

（2）四边形48C。是矩形，

AZABC=90°,

•••AC=7AB2+BC2=A/32+42=5，

15

，OC=^AC=~,

22

•••四边形BFCO是菱形，

5

:.BF=CF=OB=OC=-,

2

二四边形BFCO的周长=4X-=10.

2

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形

的判定与性质是解题的关键.

24.【答案】（1）B；（2）猜想：是真命题

【解析】

【详解】（1）'：AC=BD,ZDAB=ZABC,

.••平行四边形ABCO是矩形；

故选2;

（2）是真命题

作图：

证明：连接AC,

在四边形ABC。中，已知AB=CD,N3=ND=90。，

.ACD四，ABC,（或者通过勾股定理）

，AD=BC,

二四边形ABC。是平行四边形

,:々="=90°

二平行四边形ABCO是矩形.

25.【答案】（1）（3,-百）；（-373,2）

（2）75+72

（3）（--逝'）

【解析】

【分析】（