北京市中学数学零模试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年北京市101中学高考数学零模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B． C． D．22．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．设{an｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）A． B． C． D．5．已知F1，F2是双曲线E:﹣=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=,则E的离心率为（)A． B． C． D．26．函数y=2x2﹣e|x｜在［﹣2,2]的图象大致为（）A． B． C． D．7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则(）A．ac＜bc B．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc8．设△AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn,n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，bn+1=,则(）A．{Sn｝为递减数列B．｛Sn}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，｛S2n｝为递增数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卷的横线上．。9．已知等差数列{an｝前9项的和为27,a10=8，则a100=．10．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项为．11．直线（t为参数)与圆C：（x+6）2+y2=25交于A,B两点，且，则直线l的斜率为．12．在［﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．13．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．若集合{a，b，c，d｝=｛1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1;②b≠1;③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组（a，b，c，d)的个数是．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知．(1）求函数f(x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x)恒成立，求实数m的取值范围．16．在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1，AB⊥BD,CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1)求证：AB⊥CD;(2）若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立．（1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后,与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x)在点(1，f(1)）处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f(x0）＜，求a的取值范围．19．已知椭圆C：9x2+y2=m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能,求此时l的斜率；若不能,说明理由．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A)为|r1(A）｜,｜R2(A）｜，…，｜Rm(A）|，|C1(A)|，｜C2（A）|，…，｜Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值;11﹣0。80。1﹣0。3﹣1（2)设数表A∈S（2，3）形如11cab﹣1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值．

2017年北京市101中学高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi｜=()A．1 B． C． D．2【考点】复数求模．【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵(1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi,即，解得，即|x+yi｜=|1+i|=,故选：B．2．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1,则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2,故选：B3．设｛an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n＜0”的（)A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{an｝是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0"不一定成立，例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2,﹣1,,﹣，…,此时2+（﹣1)=1＞0,+(﹣）=＞0；而“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0"，则“q＜0"是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，故选：C．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB，BC的中点,取DE的中点F，则的值为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、用、表示，再代入数量积公式计算即可．【解答】解：如图所示,∵D、E分别是边AB、BC的中点，F是DE的中点，∴==（﹣）,∴=+=+=+（﹣)=﹣;∴•=（﹣）•=﹣•=×12﹣×1×1×cos=﹣．故选:B．5．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（)A． B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|MF1|=x,则|MF2｜=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=,求得x=a,可得=a，求出a=b，即可得出结论．【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直,∴(2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a,∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．6．函数y=2x2﹣e|x｜在［﹣2，2]的图象大致为（)A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法,可得答案．【解答】解:∵f(x）=y=2x2﹣e｜x｜,∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e｜﹣x｜=2x2﹣e｜x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0,2］时，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在［0，2］不是单调的，故排除C，故选：D7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则(）A．ac＜bc B．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较．【分析】根据已知中a＞b＞1,0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假,可得答案．【解答】解:∵a＞b＞1，0＜c＜1,∴函数f（x）=xc在(0，+∞）上为增函数,故ac＞bc,故A错误；函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误;logac＜0，且logbc＜0,logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D错误；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc,即alogbc＜blogac，故C正确；故选：C8．设△AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，bn+1=,则（）A．{Sn}为递减数列B．｛Sn}为递增数列C．｛S2n﹣1｝为递增数列,{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】数列的函数特性．【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=（bn+cn﹣2an），b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上,根据bn+1﹣cn+1=（cn﹣bn）,得bn﹣cn=，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1,∴2a1﹣c1﹣c1＜a1,∴2c1＞a1,∴c1,由题意，bn+1+cn+1=+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=(bn+cn﹣2an），∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1,∴bn+cn=2a1,又由题意，bn+1﹣cn+1=，∴bn+1﹣（2a1﹣bn+1）==a1﹣bn,bn+1﹣a1=（a1﹣bn）=（b1﹣a1)．∴bn=a1+（b1﹣a1），cn=2a1﹣bn=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得｛Sn｝单调递增．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卷的横线上．.9．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=98．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100．【解答】解：∵等差数列{an｝前9项的和为27，a10=8，∴，解得a1=﹣1,d=1,∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．故答案为：98．10．在二项式的展开式中,所有项的二项式系数之和为256，则常数项为112．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得:2n=256，解得n，利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．的通项公式为:Tr+1==（﹣2）r．令=0，解得r=2．∴常数项==112．故答案为：112．11．直线(t为参数）与圆C:(x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为±．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，｜AB|=|t1﹣t2｜=⇒(t1+t2)2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6)2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB｜=｜t1﹣t2｜=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．12．在［﹣1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交"发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5)2+y2=9的圆心为(5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间［﹣1，1］上随机取一个数k,使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为:．13．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB,运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=,cosC=，可得sinA===，sinC===,sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．14．若集合{a，b，c，d｝=｛1,2，3，4｝,且下列四个关系：①a=1；②b≠1;③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1;②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1,c=4，d=3；b=3，c=1,d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2,d=4；b=2，c=1,d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；(2)当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．（2)根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围．【解答】解：（1)∵，∴f（x)=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x═2sin（2x﹣),令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+(k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，所以：函数f(x)的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z)．单调递减区间为［+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）当时，≤2x﹣≤,,对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立．只需满足:mt2+mt+3≥f(x)max成立即可．即mt2+mt+1≥0即可．①当m=0时,恒成立②当m≠0时，只需满足解得:0＜m≤4综合所得:0≤m≤4．16．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD,CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD,如图．（1）求证:AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos｜=即可得出．【解答】（1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD,AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解:建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0,0,0），C（1，1，0），A（0,0，1)，D（0,1，0)，M．∴=（0，1,﹣1），=（1，1,0)，=．设平面BCM的法向量=（x,y，z），则，令y=﹣1,则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3)玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】(1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列;（2）求出有一盘出现音乐的概率,独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：(1）X可能取值有﹣200,10,20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10)==P（X=20）==，P(X=100)==,故分布列为：X﹣2001020100P由(1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由(1)知,每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X）=(﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少．18．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0，(1）求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0）＜,求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出;(2）对a分类讨论：当a时,当a＜1时,当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1)f′（x）=（x＞0)，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0,∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0,解得b=1．(2)函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知:f（x)=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时,f′（x)＞0，∴函数f（x）在（1,+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0)＜的充要条件是,即，解得；②当a＜1时,则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x)在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0)＜的充要条件是,而=+，不符合题意,应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得:a的取值范围是．19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2)若l过点（,m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2,y2)，M（xM，yM），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）(b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM==，即kOM•k=﹣9,∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2,∵b=m﹣m，∴k2m2＞9(m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0,∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x,设P的横坐标为xP，由得，即xP=,将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+,得kx+=x解得xM=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+,∵ki＞0，ki≠3,i=1,2,∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零,记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和(1≤j≤n);记K（A）为｜r1(A）|，|R2（A)|,…，｜Rm（A）｜,|C1（A）|，｜C2（A）|,…，|Cn（A）｜中的最小值．(1）如表A，求K（A）的值；11﹣0。