能量的角度电磁感应问题

能的转化与守恒，是贯穿物理学的基本规律之一。从能量的观点来分析、解决问题，既是学习物理的基本功，也是一种能力。自然界存在着各种不同形式的能，如；机械能（包括动能和势能）、热能、电能、光能、化学能、原子能等．各种不同形式的能可以互相转化，而且在转化过程中能的总量是守恒的，这是能的最基本的性质。在力学、热学、电学中，我们已知道功是能量转化的量度，做功总伴随着能量的改变，如；摩擦力做功可使物体的一部分机械能转化为内能；电流的功可以使电能转化为机械能、内能、光能或化学能等。闭合电路的部分导体作切割磁力线运动时，将产生感应电动势并形成电流。这一简单的电磁感应现象却包含着能量转化的几个过程，涉及到力学、电磁学、热学三方面的知识。所以有必要对这一现象进行研究，从本质上搞清各种能量的来龙去脉，学会从能量的角度求解电磁感应问题。下面举例说明。两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内,并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T,导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Q,回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示不计导轨上的摩擦.（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量.解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为E=E=Bdv12E+E由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：I二1缶2r因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F]=F2=IBd。B2d2v由以上各式并代入数据得F=F= =3.2x10-2N12r（2）设两金属杆之间增加的距离为红，则两金属杆共产生的热量为Q二12-2r-学,2v代入数据得Q=1.28xl0-2J.

例：如图1所示，拉动电阻为R的长金属框，当线框的右边缘与磁场边缘平齐时速率为认并以这一速率离开磁场区域。已知磁场是均匀的，磁感应强度为B线框宽为a,长为b。试求线框右边缘刚出磁场至左边缘刚出磁场这一过程中，外力的功，安培力的功、电流的功、电路中产生的焦耳热?分析与解：题设过程中包含着四种能量形式的转化，涉及到三个做功过程。用简图表示如下：其他形式能辿％机械能曲力作负％电能逊毎內能据能的转化与守恒定律，在题设全过程中，其它形式的能、机械能、电能、内能四种能量在数值上应是相等。我们只需求出这四个量中的任意一个，就可推知另外三个。在题设过程中，线框回路的感应电动势£=Bav0感应电流I=£/R二Bav/R。电路中电流作功W =I£t=Bav/R・Bav・b/v二B2a2bv/R •电据能的转化与守恒定律，W=Q=W=B2a2bv/R外电W=-W=-B2a2bv/Ra安外a例：水平放置的平行金属框架宽L=0.2m，质量为m=0.1kg的金属棒ab放在框架上，并且与框架的两条边垂直。整个装置放在磁感应强度B=0.5T，方向垂直框架平面的匀强磁场中，如图所示。金属棒ab在F=2N的水平向右的恒力作用下由静止开始运动。电路中除R=0.05Q外，其余电阻、摩擦阻力均不考虑。试求当金属棒ab达到最大速度后，撤去外力F,此后感应电流还能产生的热量。（设框架足够长）5J如图16-7-6所示，在竖直向上B=0.2T的匀强磁场内固定一水平无电阻的光滑U形金属导轨，轨距50cm。金属导线ab的质量m=0.1kg，电阻r=0.02Q且ab垂直横跨导轨。导轨中接入电阻R=0.08Q，今用水平恒力F=0.1N拉着ab向右匀速平移，则1)ab的运动速度为多大？电路中消耗的电功率是多大？撤去外力后R上还能产生多少热量?解析：(1)匀速运动时F=ILB，I=0.1/(0.5X0.2)=1A.E=LvB=I(R+r),v=1m/s.(2)P=I2(R+r)=0.1W(3)撤去外力后金属导线ab的动能全部转化为电能，电路中能产生的总热量为Q=mv2/2=0.05J，R上产生的热量为Q的五分之四，Q-0.04J。R拓展：电路中消耗的电功率也可以用P=Fv=0.1W来求，因为匀速运动时外力作的功全部转化为感应电流的电能.线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是1D.mg(b—a)+㊁mv2例：光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图12—3—20所示，抛物线的方程是y=x2,下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y=a的直线(图中的虚线所示).一个小金属块从抛物线上线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是1D.mg(b—a)+㊁mv2()A．mgbC．mg(b－a)例：如图所示，相距为d的两水平虚线L和L分别是水平向里的匀12强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B,正方形线框abed边长为L（L〈d）、质量为m。将线框在磁场上方高h处由静止开始释放，当ab边进入磁场时速度为v,ed边刚穿出磁场时速度也为v。从ab边oo刚进入磁场到ed边刚穿出磁场的整个过程中 （）线框一直都有感应电流线框有一阶段的加速度为g线框产生的热量为mg（d+h+L）线框作过减速运动Bd例：如图所示，质量为m、边长为l的正方形线框，从有界的匀强磁场上方由静止自由F落，线框电阻为R。匀强磁场的宽度为H。（1VH，磁感强度为B,线框下落过程中ab边与磁场边界平行且沿水平方向。已知ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时线框都作减速运动,1xxxxxxxxXBXXXKXXX HXXXXXXXXxxxxxxxxXBXXXKXXX HXXXXXXXXir（1） ab边刚进入磁场时与ab边刚出磁场时的速度大小（2） ed边刚进入磁场时，线框的速度大小；（3） 线框进入磁场的过程中，产生的热量。[解（1）由题意可知ab边刚进入磁场与刚出磁场时的速度相等，设为V],则结线框有：£=Blv I=£/R F=BIl1且F—mg=mg/3解得速度V为：V]=4mgR/3B2l2（2）设ed边刚进入磁场时速度为v2，则ed边进入磁场到ab边刚出磁场应用动能定理11得：mv2一mv2=mg（H一l）2122=.■（4m=.■（4mgR）2-2g（h-1）解得：笃「3B212（3）由能和转化和守恒定律，可知在线框进入磁场的过程中有11mv2+mgl=mv2+Q2 1 2 2解得产生的热量Q为：Q=mgH]&如图所示,两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为e斜角上，导轨的左端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽路不计。斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m，电阻可不计的金属棒ab,在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑,并上升h高度,如图所示。在这过程中（ ）作用于金属捧上的各个力的合力所作的功等于零作用于金属捧上的各个力的合力所作的功等于mgh与电阻R上发出的焦耳热之和恒力F与安培力的合力所作的功等于零恒力F与重力的合力所作的功等于电阻R上发出的焦耳热AD两根金属导轨平行放置在倾角为8=30°的斜面上，导轨左端接有电阻R=10Q，导轨自身电阻忽略不计。匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B=0.5T。质量为m=0.1kg，电阻可不计的金属棒ab静止释放，沿导轨下滑。如图所示，设导轨足够长，导轨宽度L=2m，金属棒ab下滑过程中始终与导轨接触良好,当金属棒下滑h=3m时，速度恰好达到最大速度2m/s,求此过程中电阻中产生的热量？

．解：当金属棒速度恰好达到最大速度时，受力分析，则mgsin0=F宀+f 3分 据法拉第电磁感应定律：E=BLv安TOC\o"1-5"\h\zE B2L2v据闭合电路欧姆定律：I芯2分 AF安=ILB=-^=0.2NR 安 Rf=mgsin0—F宀=0.3N 2分安h1下滑过程据动能定理得：mgh—f 一W=^v2解得W=1J,.•・此过程中电阻中产生的热量Q=W=1J如图所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽l=0.5m,框的电阻不计，匀强磁场磁感应强度B=1T,方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100g电阻为1Q.现让MN无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量为2C，求此过程中回路产生的电能.（空气阻力不计,g=10m/s2）解：.金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得B2l2v mmg— R ①口在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E,由能量守恒定律得口1②口2②口mgh— mv2＋Em通过导体某一横截面的电量为口q—Bhlq—③口由①②③解得口

1mgRqm3g2R2 0.1x10x1x2 0.13xIO2xI2E=mgh—2mv2=B2B414= 1x0.5J—2x1x°・54J=3.2Jm如图所示，在与水平面成0角的矩形框范围内有垂直于框架的匀强磁场，磁感应强度为B,框架的ad边和be边电阻不计，而ab边和ed边电阻均为R，长度均为L，有一质量为m、电阻为2R的金棒MN,无摩擦地冲上框架，上升最大高度为h,在此过程中ab边产生的热量为Q,求在金属棒运动过程中整个电路的最大热功率Po解：4.棒MN沿框架向上运动产生感应电动势，相当于电源；ab和ed相当于两个外电阻并联。根据题意可知，ab和ed中的电流相同，MN中的电流是ab中电流的2倍。由焦耳定律知，当ab边产生的热量为Q时，ed边产生的热量也为Q，MN产生的热量则为8Q。金属棒MN沿框架向上运动过程中，能量转化情况是：MN的动能转化为MN的势能和电流通过MN、ab、ed时产生的热量。imvg=mgh+10Q 咗=2gh+竺2设MN的初速度为，由能量守恒得 ，即而MN在以速度v上滑时，产生的瞬时感应电动势忙=P= -所以，整个电路的瞬时热功率为2B2L2v2P= -所以，整个电路的瞬时热功率为5R可见，当MN的运动速度v为最大速度弘时，整个电路的瞬时热功率P为最大值吒朕，即2B2L2B2L2v§2B2L2(2gh+^5) m5E.4B2L2(mgh+10Q)例：如图所示，在倾角为e的光滑斜面上存在着两个磁感强度相等的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上,另一个垂直斜面向下，宽度均为L.一个质量为m、边长也为L的正方形线框（设电阻为R）以速度v进入磁场时，恰好作匀速直线运动。若当ab边到达ggi与ff]中间位置时，线框又恰好作匀速直线运动，则：（1）当ab边刚越过ff1时，线框加速度的值为多少？（2）求线框从开始进入磁场到ab边到达gg]和ff]中点的过程中产生的热量是多少?[解析：（l）ab边刚越过eel即作匀速直线运动，表明线框此时受到的合外力为零，即：BLvmgsm9二B- -L在ab边刚越过ffl时，ab、cd边都切割磁感线产生电势，但线框R的运动速度不能突变，则此时回路中的总感应电动势为£]=2BLv.故此时线框加速度为：a=2BE】L/mR-gsin9=3gsin9方向沿斜面向上.（2）设线框再作匀速直线运动的速度为VI，则：mgsin9=B-2BLv-L/Rx2即v=v/4从线框越过eel到线框再作匀速11直线运动过程中，设产生的热量为Q,则由能量守恒定律得：3 1 1 3 15Q=mg•—Lsin9+—mv2一mv2=mgLsin9+mv22 2 21 2 32图16—7—2]3.如图]6-7-2所示，正方形线圈abcd边长L=0.20m，质量m=0.10kg,电阻R=0.1Q,砝码质量M=0.14kg,匀强磁场B=0.50T.当M从某一位置下降，线圈上升到ab边进入匀强磁场时开始匀速运动,直到线圈全部进入磁场.问线圈运动过程中产生的热量多大？（g=10m/s2）

图16—7—2解析：解法一线圈产生的热量图16—7—3Q=I2Rt图16—7—3I=ERE=BLV分别取线圈、砝码为研究对象，它们的受力图分别为的甲、乙所示，匀速运动时受力平衡，则有T-mg-BIL=0T-Mg=0Lt二联立以上方程且代入数值得Q=0.08J解法二只有在线圈进入磁场的过程中，线圈有感应电流，所以产生热量，当线圈全部进入磁场后无磁通量的变化，没有感应电流。根据能量转化与守恒，系统损失的重力势能等于感应电流产生的热量。所以Q=MgL—mgL=(0.14—0.10)X10X0.2J=0.08J拓展在电磁感应现象的综合题目中，既可以以力学为主线，找出力与电两部分之间的联系，从而列出方程组，逐一解决，如解法一，也可以从能量角度来分析，什么力做功？什么能转化为什么能？什么能从什么物体转移到什么物体？从而根据能量转化和守恒定律立出方程求解，如解法二。如图2所示，abed为静置于水平面上的宽度为L而长度足够长的U型金属滑轨，be边接有电阻R,其它部分电阻不计.ef为一可在滑轨平面上滑动、质量为m的均匀金属棒.一均匀磁场B垂直滑轨面。金属棒以一水平细绳跨过定滑轮，连接一质量为M的重物.今重物M自静止开始下落，假定滑轮无质量，且金属棒在运动中均保持与be边平行.忽略所有摩擦力，求金属棒作匀速运动时的速率v(忽略be边对金属棒的作用力)。若重物从静止开始至匀速运动之后的某一时刻下落的总高度为h,求这一过程中电阻R上产生的热量Q.分析与解视重物M与金属棒m为一系统,使系统运动状态改变的力只有重物受到重力与金属棒受到的安培力．系统在开始一段时间里处于加速运动状态，后一段时间里处于匀速运动状态,其安培力做功的过程相应地也从变力做功变为恒力做功．但不管运动情况如何复杂做功的过程如何繁琐，题设情况涉及到的能量转化过程可用简图表示如下；M的重力勢能動柞%「►系统匀速运动的动能*5减少的机械能丈培力作负功.电能电丽S體的由能的转化和守恒定律，有：Mgh=(m+M)v2/2+Q只需求得系统匀速运动速度即可．据平衡条件；Mg=F&，得v=MgR/B2L2。将v代入上式得安Q=Mg[h-(m+M)MgR2/2B4L4]例：两金属杆ab和cd长均为1,电阻均为R,质量分别为M和m,M>m,用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置如图,整个装置处在一与回路平面垂直的匀强磁场中磁感应强度为B,若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动的速度。i:aMbCmd分析与解：两棒运动时，因电磁感应，回路中出现感应电流使两棒发热，而ab向下、cd向上匀速运动时动能不变而总重力势能减少。所以此过程中机械能转化为内能(有能量转化)，且参与转化的能量数值可用未知量。及已知量表示(见下面解答过程)，所以可用能量守恒求解。在运动过程中取一段时间由能量守恒：(M-m)gvt=l2Rt ⑴又由电磁感应规律：I=2Blv/(2R) (2)解(1)、(2)得v=(M-m)gR/2B2L2综上所述，从能量的角度求解电磁感应问题具有一定的优越性。在解题方法上，根据能的转化与守恒定律及功能关系，间接地求出待求量，不必去过问具体细节，特别是变力做功的细节，这样就可以避繁就简，收到事半功倍的效果。11。如图，光滑斜面的倾角a=30°，在斜面上放置一矩形线框abed,ab边的边长l=1m，be边的边打=0.6m,线框的