2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级下学期期末数学试卷-(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．3的平方根是（）A．3或﹣3 B．3 C． D．或﹣2．下列方程是二元一次方程的是（）A．+＝5 B．xy＝2 C．+y＝1 D．x2+x﹣2＝03．若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n4．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形5．已知三角形三边长为2，3，x，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜5 C．1＜x＜5 D．﹣1＜x＜56．如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF8．已知且3x﹣2y＝0，则a的值为（）A．2 B．0 C．﹣4 D．59．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（）A． B． C． D．10．如图，一副直角三角板图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°11．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（）A．11 B．8 C．12 D．312．对于任意△ABC（见示意图）．若AD是△ABC的边BC上的中线，∠ADB、∠ADC的角平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF，那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF二、填空题（每小题3分，共18分）13．在实数，，3.14159，﹣π，，中，无理数有个．14．已知方程4x+3y＝12，用x的代数式表示y为．15．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是．16．若不等式组无解，则a的取值范围是．17．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠α的度数是．18．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中正确的是．（填序号）①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB三、解答题（共66分）19．解二元一次方程组：（1）（2）20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）；（2）．21．如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE∥DF，CE∥BF，AE＝FD．求证：AB＝CD．下面是推理过程，请将下列过程填写完整：证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，（）．∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，又∵AE＝DF，∴△AEC≌△DFB（），∴AC＝DB，∴AC﹣＝DB﹣，（）∴AB＝CD．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．23．某校七年级（6）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元．（1）求甲、乙两种的单价各是多少元；（2）因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额只能在280元到320元之间，请问有几种购买方案？哪种方案最省钱？最省钱为多少？24．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．25．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求证：△AFD≌△AMD；（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若，△AED的面积为28cm2，求△BDF的面积．26．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，∠EAB＝∠EBA，若四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：△ABD≌△BAC；（2）如图2，在（1）的条件下，若∠ABD＝∠BAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）如图3，在非等腰△ABE中（AE≠BE），若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，求证∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．3的平方根是（）A．3或﹣3 B．3 C． D．或﹣【分析】利用平方根定义计算即可．解：3的平方根是±．故选：D．2．下列方程是二元一次方程的是（）A．+＝5 B．xy＝2 C．+y＝1 D．x2+x﹣2＝0【分析】根据二元一次方程的定义求解可得答案．解：A、该方程属于二元一次方程，故本选项符合题意．B、该方程的最高次数是2，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．C、该方程是分式方程，故本选项不符合题意．D、该方程是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：A．3．若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；故选：B．4．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．5．已知三角形三边长为2，3，x，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜5 C．1＜x＜5 D．﹣1＜x＜5【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边列出不等式，得到答案．解：由三角形三边关系可知，3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，故选：C．6．如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】由平行可得∠5的度数，利用三角形的内角和与∠2的对顶角，求出∠3．解：∵l1∥l2，∴∠1＝∠4＝35°．∵∠2＝∠5＝80°，又∵∠3+∠5+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠4＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故选：C．7．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题．解：已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠ABC＝∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是EB＝CF，可得得到BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；故选：A．8．已知且3x﹣2y＝0，则a的值为（）A．2 B．0 C．﹣4 D．5【分析】利用加减消元法解方程组，得到关于a的x和y的值，代入方程3x﹣2y＝0，得到关于a的一元一次方程，解之即可．解：原方程组可整理得：，①﹣②得：5y＝5a，解得：y＝a，把y＝a代入①得：x+a＝a，解得：x＝0，即方程组的解为：，把代入3x﹣2y＝0得：﹣2a＝0，解得：a＝0，故选：B．9．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：依题意，得：．故选：A．10．如图，一副直角三角板图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根据∠AFD＝∠CAF+∠ACF＝45°求解即可．解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∵∠AFD＝∠CAF+∠ACF＝45°，∴∠CAF＝45°﹣30°＝15°，故选：B．11．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（）A．11 B．8 C．12 D．3【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF＝DE＝3，根据三角形的面积公式求出即可．解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，∴EF＝DE＝3，∴△BCE的面积S＝＝，故选：C．12．对于任意△ABC（见示意图）．若AD是△ABC的边BC上的中线，∠ADB、∠ADC的角平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF，那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF【分析】延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，证△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．【解答】证明：延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）13．在实数，，3.14159，﹣π，，中，无理数有2个．【分析】先计算＝2，＝2，然后根据无理数的定义得到在所给数中无理数有、﹣π．解：∵＝2，＝2，∴在实数，，3.14159，﹣π，，中，无理数有、﹣π．无理数有2个，故答案为：2．14．已知方程4x+3y＝12，用x的代数式表示y为y＝．【分析】把x看做已知数求出y即可．解：4x+3y＝12，解得：y＝．故答案为：y＝．15．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是50°．【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠B的度数，由BE⊥AF可得出∠AEB＝90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED＝40°．∵BE⊥AF，∴∠AEB＝90°，∴∠A＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．故答案为：50°．16．若不等式组无解，则a的取值范围是a≥1．【分析】根据不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分解答．解：∵不等式组无解，∴a的取值范围是a≥1．故答案为：a≥1．17．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠α的度数是48°．【分析】利用正多边形的性质求出∠1，∠2，再根据三角形内角和为180°，求出∠α即可解决问题．解：如图，由题意得：∠1＝360°÷6＝60°，∠2＝360°÷5＝72°，则∠α＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故答案为：48°．18．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中正确的是①②③．（填序号）①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB【分析】①根据直角三角形全等的判定定理HL即可；②由角平分线的性质得到CE＝EF，根据三角形的外角性质能求出∠CHE＝∠CEA，推出CH＝CE即可得到答案；③由CD是斜边AB上的高，∠ACB＝90°，得到∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，即可得到答案；④根据边得关系即可判断．解：①∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，EF⊥AB，∴CE＝FE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），∴AC＝AF，∴①正确；③∵CD是斜边AB上的高，∠ACB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴③正确；②∵∠CHE＝∠CAE+ACD，∠CEA＝∠BAE+∠B，∠ACD＝∠B，∴∠CHE＝∠CEA，∴CH＝CE，∴②正确；④在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF＝CE，∴④错误；故答案为：①②③．三、解答题（共66分）19．解二元一次方程组：（1）（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．解：（1），①+②得：3x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入②得：y＝4，则方程组的解为：；（2）方程②两边同时乘以12得：3（x﹣3）﹣4（y﹣3）＝1，化简，得：3x﹣4y＝﹣2③，①+③，得：4x＝12，解得：x＝3，将x＝3代入①，得：3+4y＝14，解得：y＝，则原方程组的解为．20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）；（2）．【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴表示出来即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴表示出来即可．解：（1），∵解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集是3≤x＜4，在数轴上表示为：；（2），∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集是﹣3＜x≤2，在数轴上表示为：．21．如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE∥DF，CE∥BF，AE＝FD．求证：AB＝CD．下面是推理过程，请将下列过程填写完整：证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，（两直线平行，内错角相等）．∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，又∵AE＝DF，∴△AEC≌△DFB（AAS），∴AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，（等式的性质）∴AB＝CD．【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBD，根据全等三角形的判定定理得出△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质得出AC＝DB，再求出答案即可．【解答】证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等），∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，在△AEC和△DFB中∴△AEC≌△DFB（AAS），∴AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC（等式的性质），∴AB＝CD，故答案为：两直线平行，内错角相等，AAS，BC，BC，等式的性质．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．23．某校七年级（6）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元．（1）求甲、乙两种的单价各是多少元；（2）因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额只能在280元到320元之间，请问有几种购买方案？哪种方案最省钱？最省钱为多少？【分析】（1）设甲种奖品的单价是x元，一种奖品的单价是y元，然后依据买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元列方程组求解即可；（2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为（2a﹣10）个，然后依据总费用在280元到320元之间列不等式组求解即可．解：（1）设甲种奖品的单价是x元，一种奖品的单价是y元．根据题意得：解得：x＝3，y＝5．答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价是5元．（2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为（2a﹣10）个．根据题意得解得：≤a≤31．∵a只能取正整数，∴a＝29，30，31．∴有3中购买方案．方案①：购买乙种奖品29个，购买甲种奖品48个；方案②：购买乙种奖品30个，购买甲种奖品50个；方案③：购买乙种奖品31个，购买甲种奖品52个．方案①最省钱．∵3×48+5×29＝289元；3×50+5×30＝3009元；3×52+5×31＝311元，∴方案①最省钱．24．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．【分析】（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD＝BE、对应角相等∠BEC＝∠ADC；加上已知条件来求∠AFE＝90°即可；（2）可得出EC+AC＝8，AC﹣EC＝2，则可得出答案．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．25．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求证：△AFD≌△AMD；（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若，△AED的面积为28cm2，求△BDF的面积．【分析】（1）由角平分线的性质可知DF＝DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4＜t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF＝GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM，在Rt△AFD和Rt△AMD中，∵，∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t，∴t＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝；综上，t＝．综上所述当t＝时，△DFE与△DMG全等．（3）解：∵t＝，∴AE＝2t＝（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝（cm），∴BF＝AB﹣AF＝﹣10＝（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝（