人教版初二上数学培优精编讲义教师版

未来艺术学校八年级数学培优班假期讲义姓名学校班级第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△和口 A'B'C'是全等的三角形，记作“△口△A'B'C'其中，“口”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。①翻折如图（1），Δ0Δ,Δ可以看成是由180。得到的；Δ沿直线翻折②旋转如图（2），ΔOΔ,Δ可以看成是由。旋转180。得到的；Δ绕着点③平移如图（3），ΔOΔ,Δ可以看成是由Δ口方向平行移动而得到的。判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是， a:三个角对应相等，即；和其中一角对应相等，即。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。b:有两边【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等【例1】如图，已知.求证：分析：由已知条件可证出Δ口Δ,而和分别位于Δ和Δ中，因此先证明Δ口Δ,再证明Δ口Δ,既可以得到证明：在Δ和Δ中，AAE=ADy∠A=∠AIAB=AC.OΔOΔ()O∠∠Coooooooooooo又O.O－－即在δ和δ中∠B=OC∠BFD=OCfeoooooooLBD=CEOΔOΔOOOOOOOOO对应边相等)O2O证明线段平行【例2】已知：如图,⊥,⊥,垂足分别为E、F,,.求证：口D CDDODOOODOODDODODOOOOoddddddodooODOOdodO00090D在Δ口Δ中0cooaoddoo90DODDDO.ODODcooa,odoodoODDOODDDDOOcooaoddoOOO.DDOOOddddoodddAF=CEODDO∠DEC00BFAODOODE=BFODDOOOOOOOoocooa(dddddooddd )ooododddoododdoo3OododdddododdddddddddddddooodoododoOD3odoododoododdododdddeoodd.doo2(o)dddodddfoododoooo.oddddddoddoODDDOododddfoodo,do odddddoddooooo 2(ododddoddd )DOOO3002在Δ口Δ口,.-BF=BE口3002CB=CBOOOO()oOdddddoooddo[2OOODDDODODOD FODOO1CADE∣23BIF在O与O10,AE=BE01002OOODDDOICE=FEOOOO()O,O4003(DDDDDOOO□OODDDo 口 (dodddododd )口 OO180o,00180o,口000oooodddodddo在o与O10LCB=CBJ0CBF=0CBDBF=BD0OOO()O[2OdoodddddodddoddddddoddddddddodDDODDDDODO DDDDDDDODDOOODO)DDDFOO(D0)(B为中点是利用这个办法的重要前提)(4)证明线段相互垂直，然后证角形，【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上,口、口、的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。为等腰三分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：证明：延长交于 E,□Δ和Δ中，AD=DCY∠ADO=∠CDB=90o,-OD=DBOΔOΔ()O, ∠∠口全等三角形对应边、对应角相等)O∠0∠ 0000000O∠∠90oO⊥5、中考点拨：【例1】如图，在△中W, E是的中点，以点,⊥E为圆心，为半径口弧，交于点D,连结，并延长到点求证：∠ F□∠AOF,口□,连结口分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中口A、∠F不在全等的两个三角形中，00000000,因此把∠ADodddododdooddooooddo0D0000oooobooooooooooooooooaooooooo□oooooooooooooofooofooaoOdooddodododddddoddodododddddddDddododddddoodddododoododdddoododddoddooddoddddododddddodoOD21dooddoododddododdododeodddoododooddodddddoddodododdoddddddoddooddfdoodoooddoodoodddoddFDooododddooododddooooOODodododoDDDΓEF=AC（已证）NEAC=NEDF（两直线平行，同位角相等）〔AE=FD（已证）OOOOOO0OdddddoooddoODDDOODIodooodooco2∠boo1002odoooooDdoddddoooddddddooooodooddoooodDDDDOododdddooooo0ooo10020000OOOO000000CO0000 B0000C020BOo20boobooo即0booo000D000OOOddoodddodddodododddddddddooododdododdooddddddddoddoddddododdddddDODDDODO；ddodddddddodddododddodddoododddoddoddodddodddoodododdoddddodddodddo Odddddododdddodoododdddooooodddoddddddoooododdddddddoddddodddoodddooodoo1.dddddoddoOoAodooddddododoodddodddddd(B)有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等(C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等2.已知：如图，□于点D,□于点□□□□：口□E,、交于点平分3.如图，已知C为线段上的一点，和交于E点。求证： Δ口等边三角形。Δ0Δ都是等边三角形，和相交于FO,.如图，在△中，为边上的中线。求证：<().如图，在等腰△中,∠O,口于E,⊥交的延长线于求证：□□CO90°,DOOOOF,口于HO,交于G．上任一OOODDO1.D2.0D0ODDOODDDDODDDEOODDDO,0000000DGD ,OOOOOOOOOOOOODD由ZZ6Go0DZ6Go,D0 ΔDDODDDODDOD ΔDDDDDDODO ΔOΔODZ1=Z2.DOΔOΔODDDD ΔDDODDDDOOOODOD ΔDΔOOOONN12G°OΔOΔDOZDΔDOOZZ60o,Z1=Z2OOΔOΔO0ODOZ60o0ΔDDODDD .DDOOdoddddooodddddddddddddoodd000DDOODDDDDDDDO OODDODDODODDDDDDDDdoddddoddddodododdddddddddddddddodddodddoodod EodooddddooooODODODeodooooDδ1δD"AB=ED（作法）√<Zadc=Zedb（对顶角相等）CD=BD（已知）口城仙OOodddddoooddo在δdoooodddooddddddooOOO20DDD00即AI)<B(AB+AC)Ododddddddddoodododododdddddoddoddddododddddododddoodooooodddddddddoddooooododododoooodd eodcdddoodFo∠o∠o90°D009GDOOO90DOOOOO△皿OOdododoofooo9G°oooDOO90DOOO90DOOOOOOOOOOODDDD皿称知识点一：轴对称及有关IK急^^*/i.ddddodddddddoodooddodddddddododdoododooododo OddoddododdodooDodoododododdoodooodo2.dddodddddddoddodo ddddododdodddddoDodooododdoodooddoddodooododdooddddddddddddoododddoddoDDOddoododdododddddddoOdoddooddoododdddoddddoodddodo

dodddddododooddododdoddodddoddddddooodd:oododdddooo【例1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图

案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是()①④o®®®UUAOOOO B0000□③④① DOOOO分析：图形沿一条直线折叠相互重合轴对称图形判断C举一反三：1、下列图形中，不是轴对称图形的是AO角形 CO线段2、下列图形中，不是轴对称图形的是（两条相交直线C.有公共端点的两条相等线段3、下列英文字母属于轴对称图形的是（A、N B、S（ ）BO等边三角DO不等边三角形）线段D.1公共端点的两条不相等线段）C、L D、E4、下列说法中，正确的是 （ ）AO1个全等三角形组成一个轴对称图形Booooooooooooooco轴对称图形是由两个图形组成的Dooooooooooooooooooo题型二：找轴对称图形的对称轴【例2】等腰oooooooo举一反三：1、下列说法中，正确的个数是（ ）（1）ooooo只有一条对称轴,(21000000000000线段，(3100000000,0000000000,(410000000000000,（5）000000指一000,而0000指0000而言。（A110 （B120 （C130 （D1402、0000000000条数（ 1（Aooooo（B）2条（C）3条（D1至少一条3、正五角星的对称轴的条数是 ( )A．1条 B．2条 C．5条 DO10条4、下列图形中有4条对称轴的是( )AO平行四边形 BO矩形 CO正方形 DO菱形常见图形及其对称轴：名称OOOOOO图形OOOOO条OOOOOO≡OO垂直平分线或线段所在的直线TOODooooooooToOO对口中线所在的直线TOOO对口中线所在的直线和odooooooTO无数条ooooooo平行四边形π小结：OOOOOOOO别①指两个图形而言;②指两个图形的一种形状与位置关系。①对一个图形而言;②指一个图形的特殊形状。系口都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合；②把两个成OOO的图形看成一个整体，就是一个OOO图形；反过来，把OOO图形沿OOOO成两部分, 这两部分关于这条直线成OOO。知识点二：线段的垂直平分缎1、线段垂直平分线的概念：000垂直于一条线段， 并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线;OOO线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意(皿“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：口明两条线段相等；(2“到段两个端点距离相等的点，判定一点在线段的垂直平分线上；(3)“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等，线是该线段的垂直平分线。”的作用是：垂直平分线的判定。在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：那么，这两点所在直题型一:线段垂直平分线的性质【例3】如图1,在△中，已知的周长等于50，求的长.27，的垂直平分线交于点E,1-1点评：此题是△中一边的垂直平分线相交图2),对应的是△的周长，它的周长也等于-2举一反三：1、如图1,在△中,口垂直平分线交于点点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理也能得出相应的结论:∠ 2∠B.【例4】如图 3,在△中，平分线交边于点 N.(1)求△的周长 .(2)求口的度数 .(3)判断△的形状.D,交于点;那么当的垂直平分线与相交时，.图形变化，但结论不变图(如图Dj于点 E,0∠70°,则∠?.按照同样的方法,图2中E,的垂直举一反三：1.如图4,在△中，交边于点N.(1)求△的周长(2)求口的度数(3)判断△的形状12,∠=130°的垂直平分线交边于点E,的垂直平分线C图-42.如图，己知，垂直平分交、于∠49°，求△的周长和∠的度数D、E两点，口12，10,BC【例5000,D是线段、的垂直平分线的交点,[∠[50]口口举一反三：1.如图，△中，垂直平分交于E,∠30°,∠80°,口∠2.如图，△内有一点 D,且口∠20°,∠30°,口∠的大小是口A．100° B．80°D为直线、垂直平分线的交点，)C．70°题型二:线段垂直平分线的判定【例6】如图所示，△中， D是上一点，求证：垂直平分。 （用定义法和判定定理法两种方法，过D作的垂线交于点 E,交于点F。【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？【例7】如图，在△中， D为边上的一点，平分∠,口⊥于点OOOOOG,求证：垂直平分。举一反三：0000, >,/A的平分线与的垂直平分线相交于DF1AC□F，求证： 。抻识点三:轴对林与轴对称BI形的性黄“锣妻*r∖、轴对称的性质：口口口关于某条直线对称的图形是全等形；口口）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平

分线；（□）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交,那么

交点在对称轴上；口口）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形

关于这条直线对称。2、轴对称作（画）图：0000000000口口）如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线

就是该图形的对称轴。010画某点关于某直线的对称点的方法010画已知图形关于某直线00000注意：E,⊥OOF,AEBDCD,自D作DEIAB于 E,口口口口等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。（□□□□□□□的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。【例8】如图,Δ和ΔA’OΔOΔA‘B'C'；④直线和B'CooooooooA．4个个 D．1举一反三：1、如图,δ与δ关于直线B'C'关于直线对称，下列结论中：0∠'0∠ B'； ③ll上，正确的有B．3个个l对称,□∠BOOOOOA．50°B．30°C．100°D．90°l2、如图六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，口∠∠150°，则∠∠O大小是O）．00150°00300°00210°00330°．【例9】如图，点口口的周长为P0∠1,015，求的长M、等腰三角形专题讲解【知识精读】O□）等腰三角形的性质有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等O简写成“等边对等角口）推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等写成“等角对等边”。 ）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、 底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时（简需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】【例1】如图，已知在等边三角形O,D是的中点，E为延长线上一点，00,⊥,垂足为M。求证：M00000分析：欲证M是的中点，已知⊥,所以想到连结，证0。因为△是等边三角形,∠01∠,而由0,又可证∠2EO1∠,00∠210∠E,从而问题得证。证明：因为三角形是等边三角形，DOOOO所以∠ 101∠2又因为0,所以∠0∠E所以∠02∠E口口10∠E所以0,1⊥,垂足为M所以MOOOO（等腰三角形三线合一定理）【例2】如图,已知：AABC中，AB=AC，D是上一点，且AD=DB，DC=CA,求ZBACO度数。分析：题中所要求的ZBAC在AABC中，但仅靠AB=AC是无法求出来的。因此需要考虑AD=DB和DC=CA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。DODOAB=AC，所以ZB=ZCDOAD=DB1口以 ZB=ZDAB=ZC;DOCA=CD口口以 ZCAD=ZCDA(□□□□□)口 ZADC=ZB+ZDAB口以 ZADC=2ZB,ZDAC=2ZB口以 ZBAC