教学设计人教A版必修4正切函数的性质与图象

人教A版必修四正切函数的性质与图象作者：尹升教学分析本节课的背景是：之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的性质．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法．通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．三维目标1．通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；教学难点：正切函数性质的理解及其简单应用．课时安排1课时教学过程一：复习引入回顾：(1)怎么画出比较准确的正弦函数的图像？(2)以正弦函数图象为基础,如何通过适当的图像变化得到余弦函数图象？(3)从那些角度研究正弦函数（余弦函数）的性质？（教师先引导学生：正弦、余弦函数的图像，根据图像依次从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性，对称性这几个方面来研究性质．）三角函数中还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，那么我们来研究学习正切函数的性质与图象———板书题目．二：新知探究1．正切函数的定义域是什么？ （教师提示）根据正切函数的定义，显然，当角α的终边落在y轴上任意一点时，都有＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角组成的集合可表示为，所以正切函数的定义域是.（这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．）2．正切函数是不是周期函数？因为tan(x＋π)＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，故是正切函数的一个周期。那么是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。3．利用正切线作，的图象.注：(1)正切函数的最小正周期是；(2)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到在整个定义域上的正切函数，且的图象；(3)正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.正切函数的性质（引导学生观察，共同获得）定义域：；周期性：；（可用计算）；（3）值域：正切函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内可以取任意实数，但没有最大值、最小值；（4）奇偶性：由定义域关于原点对称且由tan(－x)＝－tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z知，正切函数是奇函数；（教师可进一步引导学生通过图象观察判断）（5）单调性：通过多媒体课件演示，观察正切函数图像在内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间内都是增函数，无单调递减区间；（6）对称性：对称中心是(eq\f(kπ,2)，0)k∈Z，无对称轴.三：应用示例例1:求函数的定义域、周期和单调区间．活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，可以直接将作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x应满足，即k∈Z.所以函数的定义域是由题意得原函数的周期为.由,，解得因此，函数的单调递增区间是,无单调递减区间.例2：比较大小．(1)与；(2)tan(eq\f(13π,4))与tan(eq\f(17π,5))．活动：教师可放手让学生自己去探究完成，利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．解：(1)∵y＝tanx在上为增函数，∴由，得<.(2)∵tan(eq\f(13π,4))＝tan(3π＋eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)，tan(eq\f(17π,5))＝tan(3π＋eq\f(2π,5))＝taneq\f(2π,5).又0<eq\f(π,4)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，而y＝tanx在(0，eq\f(π,2))上是增函数，∴taneq\f(π,4)<taneq\f(2π,5).即tan(eq\f(13π,4))<tan(eq\f(17π,5))．例3：求满足下列式子的x的取值范围.（1）(2)(3)解：（1）由题意可得(2)由题意可得(3)由题意可得四：知能训练练习1：求函数单调性.提示：函数的单调递减区间是,无单调递增区间.练习2：比较与的大小.提示：>.练习3：求满足下列式子的x的取值范围.(1)(2)提示：（1）（2）五：课堂小结先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．2．(教师点拨)本节研究的过程是由数及形，数形相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．六：课后作业课本习题B组2.七：设计感想1．本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计主线是始终抓住