新教材高中人教B版数学选择性学案第4章概率与统计章末综合提升

类型1条件概率、乘法公式及全概率公式阐述：高中教材引进条件概率的概念是为了定义事件的相互独立性，高考试题中很少出现单独考查条件概率的试题．事件的相互独立性是进一步研究独立重复试验和二项分布的基础．而乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式是新增加的内容，在今后的高考中会有所体现．主要考查逻辑推理素养及数学运算素养．【例1】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．[解]记事件A1：“该产品是甲厂生产的”，事件A2:“该产品为乙厂生产的”，事件A3：“该产品为丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”．由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%．(1)由全概率公式得P(B)＝eq\o(∑,\s\up7(3),\s\do7(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%．(2)由贝叶斯公式得P(A1|B)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)＝eq\f(18,35)．无论条件概率公式PA|B＝，乘法公式PAB＝PBPA|B，还是贝叶斯公式PA|B＝＝都反映了PA，PB|A，PAB三者之间的转化关系，灵活应用即可.eq\o([跟进训练])1．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，、、、，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．0.5275[设B＝{该小组在比赛中射中目标}，Ai＝{选i级射手参加比赛}，(i＝1,2,3,4)．由全概率公式，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do7(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(2,20)×0.85＋eq\f(6,20)×0.64＋eq\f(9,20)×0.45＋eq\f(3,20)×0.32＝0.5275．]类型2独立重复试验与二项分布阐述：独立重复试验、二项分布是一种常见的、应用广泛的概率模型，是高考重点考查的内容之一，要求有较高的逻辑推理、阅读理解能力、重在培养数学建模和数学运算的核心素养．【例2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)按比赛规则求甲获胜的概率．[解](1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,2)．记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜，∴甲打完3局取胜的概率为P(A)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)．②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,16)．③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,16)．(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，又∵事件A，B，C彼此互斥，故P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,8)＋eq\f(3,16)＋eq\f(3,16)＝eq\f(1,2)，∴按比赛规则甲获胜的概率为eq\f(1,2)．1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．2．根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．eq\o([跟进训练])2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．[解]记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6．(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A1∩eq\x\to(A)2∩A3)＋P(eq\x\to(A)1∩A2∩A3)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)××××0.6＝0.228．(2)这名同学至少得300分的概率为：P2＝P1＋P(A1∩A2∩A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564．类型3离散型随机变量的分布列、均值和方差阐述：随机变量的数字特征在高考中常以分布列为载体进行考查，注重考查分类讨论、转化与化归的数学思想方法，培养应用意识和分析、解决实际问题的能力．二项分布、超几何分布、离散型随机变量均值与方差的性质都是历年高考的常考内容．【例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，、、eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p＜1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，、、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．(1)求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)<E(X2)时，求p的取值范围．[解](1)由题意得X1的分布列为X1Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)∴E(X1×eq\f(1,6)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝1.18．由题设得X～B(2，p)，即X的分布列为X012P(1－p)22p(1－p)p2所以X2的分布列为X2P(1－p)22p(1－p)p2∴E(X2×(1－p)2×2p(1－p×p2×(1－2p＋p2×(p－p2×p2＝－p2p＋1.3．(2)由E(X1)＜E(X2)，得－p2p＋1.3＞1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)＜0，解得－0.4＜p＜0.3．因为0＜p＜1，所以0＜p＜0.3．即当E(X1)＜E(X2)时，p的取值范围是(0,0.3)．1．对于特殊分布列的均值：(1)若X～B(n，p)，则E(X)＝np；(2)若X～H(N，n，M)，则E(X)＝eq\f(nM,N)；(3)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b．2．对于一般分布列的均值，求解的关键依然是随机变量的取值范围及相应概率的计算．eq\o([跟进训练])3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35)．所以，事件A发生的概率为eq\f(6,35)．(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4．P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)随机变量X的数学期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2)．类型4正态分布及其应用阐述：高考对正态分布的考查以正态曲线及其特征为主，重点考察利用正态曲线的对称性求解简单的概率问题，在解答题中多强调对3σ原则的应用．虽近几年考查正态分布的试题较少出现在全国卷中，但在各地区重量级模拟考试中仍较常见．对数学运算及逻辑推理素养要求比较高．【例4】已知Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，在某项测量结果中，测量结果ξ服从正态分布(μ，σ2)，且E(ξ)＝2，D(ξ)＝9，则概率P(－1＜ξ＜5)等于()A．Φ(1)－Φ(－1) B．2Φ(1)－1C．1－2Φ(－1) D．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－Φ(－2)A[∵E(ξ)＝2，D(ξ)＝9，总体服从正态分布，∴x～B(2,32)，∵Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，P(ξ＞x)＝Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3)))，∴P(－1＜ξ＜5)＝Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－2,3)))－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－2,3)))＝Φ(1)－Φ(－1)，故选A．]求解正态分布问题的三个关注点1．标准正态分布ξ～N(0,1)与非标准正态分布Y～N(μ，σ2)之间可通过Z＝eq\f(Y－μ,σ)～N(0,1)实现转化．2．若ξ～N(0,1)，则Φ(x)＝P(ξ＜x)．3．正态曲线是轴对称图形，要会利用其对称性解题．eq\o([跟进训练])4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()A．997B．954C．819D．683D[由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈68.3%，从而属于正常情况的人数是1000×68.3%＝683．]类型5统计模型阐述：回归直线和独立性检验在高考试题中时有出现，对数据分析、数学运算素养要求较高．【例5】“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20162017201820192020销量(万台)810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30(1)求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；(2)请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．参考公式：r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))yi－\o(y,\s\up7(－)),\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))2)\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up7(－))2))，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．eq\r(635)≈25，若r＞，则可判断y与x线性相关．附表：P(χ2≥k)k[解](1)依题意，eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(2016＋2017＋2018＋2019＋2020,5)＝2018，eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16，故eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2＝4＋1＋1＋4＝10，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，则r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))yi－\o(y,\s\up7(－)),\r(\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))2)\r(\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up7(－))2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.94＞0.9，故y与x线性相关．(2)依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计201030χ2＝eq\f(30×18×4－2×62,20×10×24×6)＝eq\f(15,4)＝3.75＞2.706，故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．1．利用相关系数r较准确的刻画了两个变量间的相关程度，为建立线性回归模型，对实际问题做出预测奠定了基础．2．根据随机变量χ2的含义，借助P(χ2＞k)＝α这个可信度，较客观地分析两个变量的相关性．eq\o([跟进训练])5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．eq\o(x,\s\up7(－))eq\o(y,\s\up7(－))eq\o(w,\s\up7(－))eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up7(－)))2eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up7(－)))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))5631469表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))wi．(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为zy－x．根据(2)的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1、v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝eq\o(α,\s\up7(^))＋eq\o(β,\s\up7(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))ui－\o(u,\s\up7(－))vi－\o(v,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))ui－\o(u,\s\up7(－))2)，eq\o(α,\s\up7(^))＝eq\o(v,\s\up7(－))－eq\o(β,\s\up7(^))eq\o(u,\s\up7(－))．[解](1)由散点图可以判断，y＝c＋deq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．由于eq\o(d,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))wi－\o(w,\s\up7(－))yi－\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(8),\s\do7(i＝1))wi－\o(w,\s\up7(－))2)＝eq\,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(d,\s\up7(^))eq\o(w,\s\up7(－))＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝100.6＋68eq\r(x)．(3)(ⅰ)由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值eq\o(y,\s\up7(^))＝100.6＋68×eq\r(49)＝576.6，年利润z的预报值eq\o(z,\s\up7(^))×0.2－49＝66.32．(ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z的预报值eq\o(z,\s\up7(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－xeq\r(x)＋20.12．所以当eq\r(x)＝eq\,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq\o(z,\s\up7(^))取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝Pi>0(i＝1,2，…，n)，＝1，定义X的信息熵H(X)＝－log2pi．A．若n＝1，则H(X)＝0B．若n＝2，则H(X)随着Pi的增大而增大C．若Pi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝Pj＋P2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(AC[对于选项A，若n＝1，则p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A正确．对于选项B，当p1＝eq\f(1,4)时，H(X)＝－log2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(3,4)log2\f(3,4)))，当p1＝eq\f(3,4)时，H(X)＝－log2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)log2\f(3,4)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))，由此可得，当p1＝eq\f(1,4)与p1＝eq\f(3,4)时，信息熵相等，∴B不正确．对于选项C，若pi＝eq\f(1,n)，则H(X)＝－log2pi＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)log2\f(1,n)＋…＋\f(1,n)log2\f(1,n)))＝n×eq\f(log2n,n)＝log2n，∴H(X)随着n的增大而增大，C正确．对于选项D，若n＝2m，随机变量Y的可能取值为1,2，…，m，由P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m；P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋1．H(X)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1·log2eq\f(p1,p1＋p2m)＋…＋p2m·log2eq\f(p2m,p1＋p2m)．易知0<eq\f(p1,p1＋p2m)<1，…，0<eq\f(p2m,p1＋p2m)<1，∴log2eq\f(p1,p1＋p2m)<0，…，log2eq\f(p2m,p1＋p2m)<0，∴H(Y)<H(X)，故D错误．]2．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3)．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．eq\f(1,6)eq\f(2,3)[依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，甲、乙两球都不落入盒子的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．]3．(2020·浙江高考)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．eq\f(1,3)1[ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)．随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝1)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，所以E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1．]4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“，且SO2浓度不