第一讲方程思想在解三角形中的应用

方程思想在解三角形中的应用方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。在解三角形的学习中,尤其注重对方程思想的考查,例如方程思想在已知周长、面积等几何信息解三角形，在已知周长、面积等几何信息求长度、周长、面积等最值，在“双正弦”及“双余弦”类解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就方程思想思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。【应用一】方程思想在已知周长、面积等几何信息解三角形中的应用我们在学习解三角形时，会遇到已知边角关系、周长面积关系来解三角形，求出其他对应元素或对应值，此时我们常常借助正余弦定理来综合解题，在使用正余弦定理解题时，我们经常说：“由正弦定理可得”，得到一个方程，“由余弦定理可得”，再得到一个方程，或者说：“由周长或面积关系”，得到一个方程，而此时我们需要把一个方程或多个方程联立求解，这就是数学中常见的方程思想，也是解三角形中常见的重要数学思想，接下来我们会分类学习方程思想在解三角形中的应用，首先学习方程思想在已知周长、面积等几何信息解三角形中的应用，例如下面这道例题：【例1】（2023·辽宁·校联考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为、、，已知（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求，.本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于运用已知条件列式求解，第一问由正弦定理的边角互化可求得；第二问已知三角形面积为，此时我们利用面积公式来把面积关系表示出来，面积公式有关于三边高及三个角的，我们该如何选择求解公式呢？其实题目中已知或求解出哪个角，我们便可以选择使用关于这个角的面积公式，即，可解到，我们记为方程①；通过观察发现第二问题干还已知了，结合，这类已知对边对角且要求解另外两边的问题，我们选择余弦定理求解，即，解得，我们记为方程②，此时联立方程组便可求解【答案】（1）；（2），或，【解析】（1）由正弦定理和题设条件，化简整理得，得到，即可求解角的大小；（2）由三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，得到，进而求得，联立方程组，即可求得的值.【详解】（1）在中，因为，由正弦定理得，即，因为，所以，即，又因为，可得，所以，又由，所以.（2）由三角形的面积公式，可得，解得，因为，可得，所以，即，由，解得或，故，或，.【思维提升】通过本题我们不难发现，对于已知周长、面积等几何信息解三角形时，我们都可以使用方程思想，列式联立方程求解即可，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他形式的求值问题【变式1.1】（2023·广东·高三联考）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则（

）A． B．4 C． D．5【答案】B【解析】由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】因为，则，所以，又因为，即，解得，又由，根据正弦定理，可得，由余弦定理，可得，整理得，即.故选：B.【变式1.2】（2023·黑龙江·高三统考）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．（1）求的值；（2）若的面积为，，求、的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）将题干中的等式变形为，利用余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于、的方程组，解出即可.【详解】（1）将等式变形为，由余弦定理得，，故；（2）由题意有：，整理得，解得或．【变式1.3】（2023·湖北武汉高三模拟预测）设的内角、、的对边长分别为、、，，.(1)求；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦的和差角公式，结合正弦定理即可求解，（2）由余弦定理即可求解.【详解】（1）由得,由余弦和差角化简得，由正弦定理可得，由于，所以，因此或，若则,则由得不符合题意，舍去，故，（2）由余弦定理可得，所以，将代入可得，由于，所以，故周长为.【应用二】方程思想在已知周长、面积等几何信息求长度、周长、面积等最值中的应用我们在学习解三角形时，经常会遇到关于角度、三角函数值、边长、周长和面积的最值求解，若能转换成三角函数，我们可以求出值域从而得到最值范围，但有些题不能转换成三角函数或转换后不易求解，那么此时我们又该怎样求解最值及范围呢？其实我们可以借助基本不等式来求解最值，首先补充下基本不等式的相关公式及应用，，当且仅当时取等号，或写成，当且仅当时取等号；有时我们也会使用到重要不等式，，当且仅当时取等号。其实在使用基本（重要）不等式求解最值时，就是方程思想在数学中的应用，例如下面这道例题：【例2】（2023·全国·高三模拟预测改编）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为．周长的最大值为．本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于运用已知条件列式求解得到关于“、或”的表达式，由结合三角形内角和关系及倍角公式可解得，利用余弦定理于是我们得到，即，再结合重要不等式，即解得，进而可求得面积最大值。那么周长的最大值又该如何求解呢？其实要求周长最大值，等价于求解的最大值，我们需要去建立关于“”的式子，由，即，即，，故，进而可求得周长最值【答案】、【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理、重要不等式与基本不等式求解面积及周长最大值即可.【详解】由正弦定理，即，又，故，即.由二倍角公式有，因为，故，所以，所以，即.由余弦定理，即，结合重要不等式有，解得，所以面积最大值为结合基本不等式有，即，，故，当且仅当时取等号.故△ABC周长的最大值为的最大值为.故答案为：、【思维提升】通过本题我们不难发现，对于周长及面积类最值，我们都可以使用方程思想，列式得到关于“、或”的表达式，进而通过基本不等式及重要不等式可求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他形式的最值问题【变式2.1】（2023·陕西·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积为，则的最小值为．【答案】【分析】利用正弦定理结三角函数恒等变换公式对已知的式子化简可求出，然后由的面积为，可求出，再利用基本不等式可求出的最小值【详解】由正弦定理，得．，，因为，所以，，所以，因为所以所以，即．因为的面积为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为．故答案为：【变式2.2】（2023·全国·高三模拟）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理边化角以及余弦定理求解；(2)利用基本不等式和面积公式求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.（2）由余弦定理，，所以，∵，∴，所以，当且仅当时取“”.所以三角形的面积.所以三角形面积的最大值为.【变式2.3】（2023·湖南·高三模拟）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，．(1)若，求的面积；(2)求周长的最大值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）法一：由正弦定理得出，再由余弦定理得出，进而求出面积；法二：由余弦定理求出，，进而求出面积；（2）法一：由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质得出周长的最大值；法二：由余弦定理结合基本不等式得出周长的最大值.【详解】（1）法一：∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．由余弦定理得：，，，∴或4，∴或．综上，的面积为或.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，．由余弦定理得：，，，∴或4，∴或．综上，的面积为或.（2）法一：由正弦定理得：，,其中，所以当时，；法二：由余弦定理得：∵，∴，∵，∴，当且仅当时取到最大值．【应用三】方程思想在“双正弦”及“双余弦”类解三角形中的应用我们在学习解三角形时，经常会遇到有公共边或互补角的直观的图形类或文字类的三角形求解，我们经常在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通过两个三角形的边角关系可联立方程求解，其实这类思想就是数学中的方程思想，例如下面这两道例题：【例】（2023·江苏·高三模拟）已知四边形是由和拼接而成的，且在中，.（1）求角的大小；（2）若，，，，求的长.本题第一问由题干条件和余弦定理解得；第二问中由四边形ABCD内角和可求得，可设，则，所以，在中和在中分别由正弦定理列方程得①，②，联立方程即可求解【答案】（1）；（2）.【分析】（1）题设中的边的关系可化为，从而可用余弦定理求得角的大小.（2）设，则在和中分别利用正弦定理构建关于的方程组，解方程后可得的长.【详解】（1）因为，故，故，而，故.（2）因为，，，故.设，则，所以.在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，所以，整理得到，因为锐角，故，故.【例】（2023·重庆·高三重庆一中校考）如图，在中，若，D为边上一点，，，，则．

本题第由题干条件和正弦定理解得，可设，则，在中和在中分别由余弦定理列方程得①，②，再结合，即（），解方程即可求解【答案】6【分析】利用正弦定理解出，再利用，结合余弦定理即可求出结果.【详解】中，由正弦定理得，，则，设，则，又中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，又因为，即：，则，故．故答案为：6.【思维提升】通过本题我们不难发现，对于有公共边或互补角的直观的图形类或文字类的三角形求解，我们可以在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通过两个三角形的边角关系可联立方程求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他较复杂的双正余弦问题【变式3.1】（2023·上海·高三模拟预测）如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：，即故，则有，又，故有，或（舍去），或（舍去），则，又，所以；（2）设，在和中，由正弦定理可得于是，又，则，，；综上，，.【变式3.2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．【答案】(1)详见解析；(2)【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得【详解】（1）在中，，则整理得，则又，则在中，由正弦定理得，则在中，由正弦定理得，则则则（2）由，可得，又则由可得，解之得又，则，由，可得则【变式3.3】（2023春·高三模拟）已知的内角的对边分别为，满足，(1)求；(2)是线段边上的点，若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦函数的倍角公式与诱导公式将条件转化为关于的一元二次方程，解之即可求得；（2）在、与中，利用余弦定理及诱导公式得到关于的方程组，从而求得，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为，，，所以，即，又，所以，又，所以，则，故，又，所以.（2）设，，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，所以，，整理得①，在中，由余弦定理得，则②，由①－②得，故，将代入①式得，所以的面积..【变式3.4】（2023·湖北武汉·统考一模）在中，，D为中点，.(1)若，求的长；(2)若，求的长.【答案】(1)2(2)【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；（2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案.【详解】（1）在中，，则，在中，，所以.（2）设，在和中，由正弦定理得，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又由，整理得：，②联立①②得，，即.，解得或，又，故，所以.巩固练习1．（2022·内蒙古·赤峰二中校考一模）中，分别是角的对边，成等差数列，，的面积为，那么=．【答案】【详解】试题分析：由，的面积为可知,即,又成等差数列,即,两边同时平方得即,又由余弦定理可知即,将两式相减得即,所以答案为.考点：等差数列的性质与三角形面积公式和余弦定理2．（2023·广东·高三校考）已知中，，若，则周长的最大值为.【答案】/【分析】先对已知式子利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角，再利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求出的最大值，从而可求出三角形周长的最大值【详解】由正弦定理可得：，∴，∵，∴.由余弦定理得：，即.∵（当且仅当时取等号），∴，解得：（当且仅当时取等号），∴周长，∴周长的最大值为.故答案为：3．（2023辽宁大连·高二校考开学考试）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）证明：；（2）记线段上靠近点的三等分点为，若，，求.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【分析】（1）由正弦定理得，整理得，可得证.（2）设，则，由余弦定理和，可得，可求得c.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，整理得.因为，所以，即.（2）设，则，由余弦定理可得，.因为，所以，解得，所以.4．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)6【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得.（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，，则得到周长.【详解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，△ABC中，，∴，∴.（2），的面积为，∴，解得.由余弦定理可得：化为.联立，解得∴，所以周长为6.5．（2023·山东枣庄·统考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值；（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【详解】（1）由余弦定理知，则所以，所以，则又因为，所以，整理得，在中，，所以．（2）由（1）知，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．6．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）在中，角的对边分别是，点是边上的一点，且.(1)求证：；(2)若求面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由余弦定理先化简得，再由正弦定理边角互化计算即可；（2）在和中用余弦定理结合（1）的结论先化简得，再由与余弦定理可得，联立解方程可得可得，由面积公式计算即可.【详解】（1）在中，，则，整理得，则，又，则，则，，则.（2）由，可得，又，则，易知，可得，解之得，又，则，由，可得，则.7．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若为边的中点，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合正弦和角公式得，进而可得答案；（2）根据余弦定理，结合得，进而根据余弦定理得，再计算面积即可.【详解】（1）解：因为，所以，即，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以.（2）解：如图，因为为边的中点，且，所以，，因为，所以，即，整理得，因为，即，解得，所以，的面积为．8．（2023春·全国·高三专题练习）如图，中，若角所对的边分别是.(1)证明：；(2)若，求的面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分