2021-2022学年度强化训练北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明定向测评试题

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明定向测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在等腰中，ZA=9O。，AB^AC,BD平分ZABC,交〃'于点〃，DELBC,若

3c=10cm,贝IJAOEC的周长为（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

2、如图，等腰△中，AB=AC,ZBAC=120°,4）,0。于〃点。是线段上一点，点户

是物延长线上一点，若OP=OC,则下列结论：①ZAPO+NDCO=30°；②ZAPO=ZDC。；③△POC

是等边三角形；④45=04+AP.其中正确的是（）

A.①③④B.①②③C.②③④D.①②③④

3、如图，AABC^DEC,点6在线段四上，4=75。，则ZAC。的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

4、点。在N4/的平分线上（不与点。重合），尸吐力于点C,〃是如边上任意一点，连接阳.若

小3,则下列关于线段如的说法一定正确的是（）

A.PD=POB.PIX3

C.存在无数个点〃使得快/TD.勿23

5、如图，在三角形ABC,AB2+AC2=BC2,ItAB=AC,”是BC上中点，F是射线A”上一点.E

是AB上一点，连接E尸，EC,BF=FE,点G在AC上，连接8G,々:CG=2NGBC,AE=5五，

4G=40,则C尸的长为（）

A.9夜B.842C.7&D,9

6、如图，在等腰。中，AB-BC,/4除108°,点。为46的中点，DELAB交AC于点、E,若

力庐6,则〃1的长为（)

A

E

D

A.4B.6C.8D.10

7、如图，中，NC=90°,利用尺规在外,加上分别截取阳BD,蟆BE=BD；分别以〃，E

为圆心、以大于g鹿的长为半径作弧，两弧在NC切内交于点色作射线跖交力C于点G.若3=

1,P为4B上一动点,则的最小值为（）

A.无法确定B.yC.1D.2

8、已知等腰三角形的两条边长分别为4和9,则它的周长为（）

A.17B.22C.23D.17或22

9、△中，ZA,DB,NC的对边分别为a,b,c,下列条件能判断^是直角三角形的是

)

A.ZA-Z.B—Z.CB.a=6,b=l,c=8

C.ZA:ZB:NC=3:4:5D.a2+b2=c2

10、如图，在“IBC中，AC=BC,ZB=30°,。为AB的中点，P为CD上一点,E为BC延长线上

一点，且PA=P£有下列结论：①NPAO+NPEC=30。；②为等边三角形；③PD=CE-CP；④

S四边形=S.APC•其中正确的结论是（）

E

A.①②③④B.①②C.①②④D.③④

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，=点G分别为4〃与少的中点，若CE=3,EF=5,则40—

2、如图，已知砥是等边三角形，边长为3,G是三角形的重心，那么窈=-----

3、由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻

易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图2,衣架杆。4=08=18cm,若衣架收拢时，2408=60。，

如图1,若衣架打开时，208=120。，则此时A,B两点之间的距离扩大了cm.

4、如图，将一副三板按图所示放置，NDAE=NABC=9Q：=45°,/£30°,点“在〃'上,

EF

过点A作AF//BC交应于点F,则-=.

5、已知△[a'是等腰三角形，若/月=70°,则N8=

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图1,CA=CB,CD=CE,/=/=,AD,应■交于点"连CH.

(1)NAHE=.(用表示)

(2)如图2,连接。/,求证：CH平■分4AHE；

(3)如图3,若=60°,P,。分别是/〃，龙的中点，连接小PQ,6.请判断三角形尸数的形

状，并证明.

2、已知：如图，在中，AB=AC,点〃、后分别在边6GAC1,,AD=AE.

(1)若NBAQ30°,则/融7=°；若NEDC=2G°,贝UN员IP=

(2)设NBAAx,AEDC=y,写出y与x之间的关系式，并给出证明.

3、教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.请根据教材中的分析.

2.线段秉直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形'线段的

线是线段的对称轴.如图135L直线MX是线段即的

垂直平分线，牌比让任一点、连结HP5将线段

月"沿直线对折.我们发现以与P除全重合"-

此即有:

图13.51.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的

点到线段两疆的距离相等.

已知如图1351.町上出垂是为点C.AC=

5C,点尸是直线MT上的任意一点.

请写出完求证:PA=PB

整的证明过程

图中有两个直角三角形/PC^IBPC,只要

证明这两个三角形全等、便可证得网=P8

(1)结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程.

(2)定理应用:

如图②，在A中，=,48的垂直平分线交火8于M交4C于机连接,如若

J5=8cm,△的周长是14cm.

①求比的长；

②点。是直线,眼上一动点，在运动的过程中，由RB,C构成的△的周长是否存在最小值?若

存在，标出点尸的位置，并求△的周长最小值；若不存在，说明理由.

图②

4、如图，在平面直角坐标系xoy中，△的顶点。是坐标原点，点力在第一象限，点6在x轴

的正半轴上，/=90°且=,=6,点C是直线"上一点，且在第一象限，

1满足关系式+y[Td=26-

(1)请直接写出点/的坐标；

(2)点。是线段仍上的一个动点(点夕不与点。重合)，过点尸的直线/与x轴垂直，直线/交边

或边46于点。，交%于点设点厂的横坐标为力，线段”的长度为加当=60寸，直线/

恰好过点C.

①求直线3的函数表达式;

②当机=:时，请直接写出点尸的坐标;

③当直线能与直线"所组成的角被射线创平分时，请直接写出t的值.

5、如图，已知△/回是等边三角形，物是4C上的高线.作力反于点儿交劭的延长线于点

E.取应■的中点机连结

(1)求证：△/日/是等边三角形;

(2)若力£=1,求△/!笈的面积.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得上/〃，利用“HL”证明应△力如和欣△加全等，根

据全等三角形对应边相等可得4庐应；然后求出的周长=6C,再根据aMOcm,即可得出答案.

【详解】

解：•.•劭是乙仍C的平分线，DELBC,Z/f=90°,

,DE=AD,

在应和RtAEBD中,

BD=BD

AD=DE

：.AB=BE,

・•・△/r的周长二的办"

二ARC拼CE,

;AC+CE,

=AB+CE,

=BE+CE,

二BC,

BC=10cm,

・・・△庞。的周长是lOc/77.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△〃比的周长二回是解

题的关键.

2、A

【分析】

①利用等边对等角得：/APO=/ABO,ZDCO=ZDBOf则NAP。N%0=NA盼/施0=/加,据此

即可求解；②因为点。是线段49上一点，所以如不一定是乙4劭的角平分线，可作判断；③证明

NPOC=60°&OP=OC,即可证得△倒是等边三角形；④证明△如g△"£；则力行/得〃=

AE+CE=AO^AP.

【详解】

解：①如图1,连接。6,

A

D

图1

*：AB=AaADL.BC,

：.BD=CD,ABAD=yZBAC=1X120°=60。,

：.OB=OQZABC=90°-N为。=30°

•：OP=OC,

：.OB=OC=OP,

：.ZAPO=ZABO,/DCO=/DB0,

：.AAPO^ADCO=ZAB（AZDBO=AABD=3Q°,故①正确;

②由①知：NAPO=NABO,ZDCO=ZDBOf

•••点。是线段四上一点，

・・・NA5O与/〃/切不一定相等，

则N/1%与N〃GO不一定相等，故②不正确；

③•：/APC+/DC丹/PBC=18G0,

：.ZAPaZDCP=150°,

•:/AP侪/DCO=3b0,

：.ZOPO-ZOCP=120°,

・・・/〃％=180°-CZOPOZOCP）=60°,

9：op=oa

是等边三角形，故③正确;

④如图2,在4C上截取力£=必,

VZ^=180°-N劭。=60°,

，△加万是等边三角形，

:・/PEA=/APE=6。。,PE=PA,

:・NAP伊/OPE=6G0,

ZOPE+ZCPE=ZCPO=60°,

：.ZAPO=ZCPEf

YOP=CP,

在△〃阳和△d%中，

PA=PE

<NAPO=/CPE,

OP=CP

：./\OPA^/\CPE(.SAS'),

：.AO=CE,

：.AC=AE^CE=AOvAP,

：.AB=AO^AP,故④正确；

正确的结论有：①③④,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知

识，正确作出辅助线是解决问题的关键.

3、C

【分析】

根据全等三角形的性质可证得比/ACB=NDCE我/ACD=NBCE,根据等腰三角形的性质和三角形

的内角和定理求解/斤/座1C和/腔即可.

【详解】

解：:△AB8ADEC,

：.BC=CE,NACB=NDCE,

：./序NBEC,/ACF4BCE,

'：N3=75。，

：.ZACD=ZBCE=i80°—2X75°=30°,

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质

和等腰三角形的性质是解答的关键.

4、D

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点产到加的距离为3,再根据垂线段最短解答即可.

【详解】

解：•.•点。在/月防的平分线上，户6工以于点C,PO3,

•••点一到阳的距离为3,

•.•点〃是如边上的任意一点，根据垂线段最短，

...昨3.

故选：D.

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关

键.

5、D

【分析】

延长必到4,是的/后/&连接（X先由勾股定理的逆定理可以得到是等腰直角三角形，

ZS40900,ZACB=ZABO450,由B六FE,得到NFB斤NFEB,,设4BF2x,则

ZEBF=1（1800-ZBFE）=90°-^x,然后证明小叱能得到/阳仁/心，NZ除/力先则

ZFCA=90°"尸=；（180。-/8/芭）=90。一3》即可证明/EFC=NAFE+/AFC=90。，推出

CF力CE；设NECG=2NG3C=2），，证明得到

2

NK=NAGB=NACB+NGBC=45。+y,ZACK=ZABG^ZABC-ZGBC=45°-y,即可推出

NECkNK,得到止EC,则EK=AE+AK=4E+AG=9四，由此即可得到答案.

【详解】

解：延长切到4,是的力信“，连接（X

,在三角形ABC,AB2+AC2=BC2,SLAB=AC,

...△A9C是等腰直角三角形，/的小90°,

：.ZACB=ZAB（=A5O,

'：BF=FE,

：.Z.FBE^AFEB,

设/BF夕x,则/破歹二；(180。一/5?£：)=90。一；工，

・・・〃是用上中点，夕是射线力〃上一点，

：.AHLBC

・・・力〃是线段回的垂直平分线，ZFAC=45°,

・•・CFFOFE,

：./FBO/FCA,ZAFB=ZAFC

：.ZFCA=90°-1x,EBF=^(180°-ZBFE)=90°-^x

：.ZAFB=ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=450+-x

2f

.・・ZAFE=ZAFB-ZBFE=45°--x,

2

・・・ZEFC=ZAFE+ZAFC=90°,

EF2+CF2=CE2,

^ZECG=2ZGBC=2yf

*：AG-AK,A加AC,NKAO-NGA庐90°,

：./\ABG^/\ACK(S4S),

ZK=ZAGB=ZACB+ZGBC=45°+,ZACK=ZABG=ZABC-ZGBC=45°-y,

NECK=NACE+NACK=45。+a,

：.ZEC/^ZK,

:・E器EC,

*.*EK=AE+AK=AE+AG=9>/2,

EF=EK=972,

：.CF=9,

故选D.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与

判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键.

6、B

【分析】

由等腰三角形的等边对等角性质即可得出N0I庐/宓4=36°,再由垂直平分线定理可知

NCAB=NAB斤36°,再由三角形内角和为180°即可推出/侬=/后％,故C界BOAB=6.

【详解】

'：AB=BC,/4除108°

：.ZCAS=ZBCA=36°

又•.•点，为48的中点，DELAB交AC于点、E

:.A芹BE

：.ZCAB=ZABE=36°

：.ZAEB=180°-ZABE-ZCAB=180°-36°-36°=108°

NCEB=180°-ZAEfi=180°-108°=72°

，ZEBC=180°-ZCEB-ZBCA=180°-72°-36°=72°

，ZCEB=ZEBC

：.BOCE

：.旧AB=6

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和的性质，熟悉使用有关性质是解题

的关键.

7、C

【分析】

如图，过点G作。小/6于"根据角平分线的性质定理证明G〃=GC=1,利用垂线段最短即可解决问

题.

【详解】

解：如图，过点G作67AL48于"

由作图可知，GB平分NABC,

'JGHLBA,GCVBC,

:.GH=GC=\,

根据垂线段最短可知，GP的最小值为1,

故选：C.

【点睛】

本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理，尺规作图作角平分线，掌握角平分线的性质是解题的

关键.

8、B

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应

用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】

解：（1）如果腰长为4,则三边是：4,4,9；不满足三角形两边之和大于第三边的性质，不成立；

（2）如果腰长为9,则三边是：4,9,9；满足三角形两边之和大于第三边的性质，成立；周长

=9+9+4=22.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的

关键.

9、D

【分析】

利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可.

【详解】

解：4、VZA=ZB=ZC,且N/+N8+NC=180°,ZA=ZB=ZC=60°,故△力■不是直角三

角形；

B、：a=6,b=7,c=8,/.a2+Z）Vc2,故花1不是直角三角形；

aVZJ：NB：NC=3：4：5,且N4+N8+NC=180°,

最大角/C=75°W90°,故△力a'不是直角三角形；

A'：a2+b2=c2,故△力a1是直角三角形；

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足才+。2=/,那么这个三角形就是

直角三角形.也考查了三角形内角和定理.

10、C

【分析】

连接即，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求

ZPEA+ZPAE=120°,可得？APE60?,可判断②；过点力作/心比；在a'上截取3=8，由

“弘S”可证△〃AC^AZEAC,延长夕£＞至〃，使尸。=网0,则点尸关于48的对称点〃，连接

PA,根据对称性质即可判断③；过点/作1RL6G在欧上截取CG=CR由三角形的面积的和差关

系可判断④.

【详解】

解：如图，连接8R

"：AC=BC,N4%'=30°，点〃是46的中点，

：.ZCAB=ZABC=30Q,AD=BD,CDLAB,/ACD=/BCD=6G,

...切是四的中垂线，

：.AP=BP,而AP=PE,

：.AP=PB=PE

:.NPAB=/PBA,4PEB=4PBE,

...ZPBA+ZPBE=ZPAmZPEB,

:.NABC=NPAANPEC=3G,

故①正确；

'：PA=PE,

：.(PAE=NPEA,

ZABC=ZPAD^ZPEC=30°,

处4N阳=180?60?120?,

\?APE60?而PA=PE,

△必£是等边三角形，

故②正确；

如图，延长PD至P,使尸。=「办，则点尸关于46的对称点为〃，连接〃A,

：.AP=AP',NPAD=/P'AD,

•.•△必£是等边三角形,

：.AE=AP,

：.AE=AP',

片/。a/B4g30°,

.•.2/。42/力片60°，

：.ACAP^APAD^ZP'AD=&^-NPAC,

\?EAC60??PAC,

:."AC=ZEAC,

'：AC^AC,

...△P'4隹4c(胡S),

：.CP'=CE,

:.CE=CF=CKPaDP'=CPr2PD,

故③错误；

过点A作AFLBC,在上截取CG=CP,

"：CG=CP,NBCD=60°,

...△a%是等边三角形，

：.ZCGP^ZPCG^6Q°,

:"ECP=NPGB='2Q°,且EP=PB,NPEB=NPBE,

：.[\PCE^l\PGB(/MS),

:.CE=GB,

：.AC=BC=BG^CG=EC+CP,

,：ZABC=30°,AFLBE,

：.AF=3AB=AD,

'：S^CB=\CBXAF=^QEC+CP)XAF=^ECKAF+^CPXAD=SHi4®ABCP,

.♦.S四边道ABCP=Sl\ABC.故④正确.

所以其中正确的结论是①②④.

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含3伊的直角三角形的性质，垂直平分线

的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键.

二、填空题

1、4

【分析】

根据SIS证明AACG=A£>FG,由全等三角形的性质得AC=QF,ZA=ZFDG,由ZEDG=N3DE,

ZB=^ZBDE^ZB=ZFDG=ZA,推出ABQE,AA3C都是等腰三角形，故得AC=BC=OF,设

BE=x,则£>E=x,DF=EF-DE=5-x,BC=CE+BE=?>+x,列出等量关系式解出x,即可得出

AC=BC=3+x.

【详解】

•・,点G分别为股与CF的中点，

AG=DGfZAGC=ZDGFfCG=FG,

.・・AACG-DFG(SAS),

：.AC=DF,ZA=NFDG,

•：/FDG=/BDE,NB=NBDE,

：.ZB=ZFDG=ZAf

:.ABDE,△ABC都是等腰三角形，

・,.AC=BC=DF,

设=贝ljDE=x,DF=EF-DE=5-x,BC=CE+BE=3+x,

・・5—x=3+x,

解得：X=1,

，AC=3C=3+x=3+l=4.

故答案为：4.

【点晴】

本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意找出关系式是解题的关键.

2、乖)

【分析】

延长4G交火于〃，根据重心的概念得到［区L6GBD=D*B*,根据勾股定理求出4。，根据重心

的概念计算即可.

【详解】

解：延长4G交比1于〃,

是三角形的重心,

2

J.ADLBC,BD=D(=^BO-,

22

由勾股定理得，AD=ylAB-DB2=巫,

2

2

：.GA=-AD=43,

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且

重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

3、18A/3-18##

【分析】

分别求出ZAOB=60。时与4。8=120。时四的长，故可求解.

【详解】

如图，当NAO3=60。时，连接力6

OA=O3=18cm

...△勿6是等边三角形

，AB=OA=OB=18cm

应

如图，当NAOB=120°时，连接46,过。点作OCLAB

'：04=05=18cm

.•./4=/庐：（180。-/4。8）=30。，AOBC

：.0<=-AO=9c/n

2

'-AOyjAOr-OC-=9gcm

AB=2AC=18后cm

：.A,B两点之间的距离扩大了(18g-18)cm

故答案为：186-18.

【点睛】

此题主要考查等腰三角形、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、等腰三角形及含

30°的直角三角形的性质.

4、且

3

【分析】

过点?作同于点必由题意易得NAfM=NC4F=NC=30。，则有“尸=64%4尸=24M，然后

可得=AD=(\+^)AM,进而可得。片=04。=(0+后)411,最后问题可求解.

【详解】

解：过点尸作同小4〃于点M如图所示:

'：ZDAE=ZABC=90°,

：.FM//AC,

：.ZAFM=ZCAF,

：NC=30°,AF//BC,

：.ZAFM=ZC4F=ZC=30°,

AF=2AM,

MF=y/AF2-AM2=6AM，

VZZ?=45O,

/.都是等腰直角三角形，

,DM=MF=6AM,DF=^2DM=在AM,

AD=AM+DM,

AO=（1+@AM,

OE=0AO=（夜+"）AM,

EF=DE-DF=yf2AM,

.EF-JlAM_V3

DF~底AM-3，

故答案为且.

3

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形及

含30度直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键.

5、40°或55°或70°

【分析】

分①ZA是顶角，08是底角，②ZA是底角，是底角，③ZA是底角，03是顶角三种情况，再根据

等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得.

【详解】

解：由题意，分以下三种情况：

①当NA是顶角，是底角时，

贝I」=g(1800-ZA)=1x(180°-70°)=55°；

②当ZA是底角，是底角时，

则Z8=ZA=70°；

③当NA是底角，B8是顶角时，

则NB=180°-2ZA=180°-2x70°=40°；

综上，E>8的度数为40。或55。或70。，

故答案为：40。或55。或70。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键.

三、解答题

1、(1)18()。-。；(2)证明见详解；(3)ACPQ为等边三角形,证明见详解.

【分析】

(1)由题意及全等三角形的判定定理可得=,再根据全等三角形的性质及三角形

内角和外角的性质即可得出结果；

(2)过点，作CMLAZ),CN1BE,由全等三角形的判定和性质可得：S,

CM=CN,利用角平分线的判定即可证明；

(3)根据全等三角形的判定和性质可得：=，4PC4=NQC3,根据图形及角之

间的关系可得NPCQ=NACB,即可证明结论.

【详解】

解：(1)如图所示：设%与4?相交于点人

ZACB=ZDCE=a,

：.ZACB+ABCD=ZDCE+NBCD,BPZACD=NBCE,

在AAC£>与ABC£中，

CA=CB

"ZACD=ZBCE,

CD=CE

•••〜=，

：.ZCAD=ZCBE,

ZAFC=NBFD,

：.ZAHB=ZACB=a,

：.ZAHE=\80°-a,

故答案为：180。-a；

(2)如图所示：过点。作。加，49,CN1BE,

：./CAM=4CBN,

在与中，

/CAM=/CBN

<NAMC=NBNC=90。，

AC=BC

/•=9

:・CM=CN,

:・CH①分UHE・,

(3)ACPQ为等边三角形，理由如下:

••〜

：.AD=BE,NPAC=NQBC,

■:P、Q为AD、跖中点，

AP=BQ,

在AAPC与中，

AP^BQ

，NPAC=NQBC,

AC=BC

/.CP=CQ,NPCA=NQCB,

：.NPCQ=NACB=60°,

.•.△CP。为等边三角形.

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理等，理解题意，

熟练掌握，综合运用这些知识点是解题关键.

2、(1)15,40；(2)y=\x,见解析

【分析】

(1)设NEDC=m,则N8=NU〃，根据乙4应=/力成=研〃，班/加。即可列出方程，从

而求解.

(2)设NBAAx,/EDC=y,根据等腰三角形的性质可得N6=NC,NADE=NAEgN*NEDC=

N班y,由N4〃C=N阴/区侬/砒'即可得Nax=Na片y,从而求解.

【详解】

解：(1)设4EDC=m,NB=NC=n,

'：NAED=NEDC+NC=i^n,

又,：AD=AE,

AADE—NAED=mn,

则ZADC=NADE+NEDC=2/n,

又•：NADC=N&^NBAD,

NBAD=2nb

.♦.2研〃="30,解得加=15。，

.•.N£Z《的度数是15°；

若/切C=20°,则/用19=2/=2义20°=40°.

故答案是：15；40；

(2)y与才之间的关系式为

证明：设4BAD=x,/EDC=y,

•：AB=AC,AD=AE,

:./B=/C,4ADE=4AED,

・・・ZAED=ZO/EDC=/吩y,

・・・AADC=/B+/BAD=4ADE+4EDC,

ZB+x=ZB+y^-y,

，2y=x,

・一1

・・尸5人

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角

形的性质成为解答本题的关键.

3、(1)见解析；(2)①6cm；②存在，图见解析，14cm

【分析】

(1)根据可得44cp=N3CP=90。，从而证得即可求证；

(2)①根据线段垂直平分线的性质定理，可得，侬，必，再由△，监C的周长是14cm,可得

AC+BC=\^cm,即可求解；

②根据线段垂直平分线的性质定理，可得小必，从而得到P6+CR必+心力G进而得到当点。与点

"重合时，P8+CP的值最小，即可求解.

【详解】

(1)证明：'：MN1AB,

：.ZACP=ZBCP=90°,

在与△仇乃中,

AC=BC

，ZACP=/BCP,

PC=PC

:.△ACP^XBCP,

:・PA=PB；

(2)①:磔垂直平分力反

又丁△，珈。的周长是14cm,

・・・4?■船44cm,

定8cm,

・••船^cm.

②如图，

当点。与点财重合时，PB+CP的值最小,

•，加垂直平分AB.

：.PB^PA,

:.PB+Cf^PA+PC^AC,

，当点尸与点〃重合时，PB+CP的值最小，为4C的长

，△阳，的周长最小值是8+6=14cm.

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线上

的点到线段两端距离相等是解题的关键.

4、(1)(3,3)；(2)①直线%的函数表达式为y=(x；②点。坐标为(2，0)或(宗0)；③t

31616

的值为,或3+gVi^i

【分析】

(1)过力作轴于点。，根据等腰直角三角形的性质得出除力=3,即可得到4坐标为(3,

3),；

(2)①由。5=6,且0B+Ji60C=26,可得0C=2ji3,在R/ABOC中，利用勾股定理求得比'的值，

即可得到点C坐标，设出直线0c的函数表达式为片4x,把(6,2)代入求出力的值，即可得到直

线%的函数表达式；②先求出直线4?的解析式，由题意点得。(30),Q5力或(3

1o3

T+6),R(3?),列出方程，即可求得点尸坐标；③先求出点〃的坐标为I1,；),再根据面

积法求出AN=±但,最后分两种情况讨论即可.

【详解】

(1)过力作轴于点〃,

,：0斤6,(M=AB,/如庐90°，

・・・4〃平分/总员且冲法3,

：.ZOAD=ZAOD=45°