2021-2022学年第一学期浙教版九年级数学期末模拟卷三

2021-2022学年第一学期浙教版九年级数学期末模拟卷三

（详解版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共30分）

1.下列是随机事件的是（）

A.汽油滴进水里，最终会浮在水面上B.自然状态下，水会往低处流

C.买一张电影票，座位号是偶数D.投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是

7

【答案】C

【分析】

根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件

称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分

析即可.

【详解】

解：A.汽油滴进水里，最终会浮在水面上，是必然事件，故此选项不合题意；

B.自然状态下，水会往低处流，是必然事件，故此选项不合题意；

C.买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故此选项符合题意；

D.投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是7,是不可能事件，故此选项不合题意；

故选C.

【点睛】

本题主要考查了随机事件，解决本题的关键是要熟练掌握随机事件定义.

2.如图，己知平面直角坐标系中，点4,8坐标分别为A（4,0）,B（-6,0）.点C

是y轴正半轴上的一点，且满足NAC8=45。，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的

外接圆的圆心在0c上；②N4BC=60。；③△A3C的外接圆的半径等于5&；④OC

=12.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③©D.①④

【答案】C

【分析】

如图，作出4ABe的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰Rt^ABE,过点E作J_x

轴于D,连接EC,过点£作EF，y轴于F,由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断①；

再证明E为AA/3c外接圆圆心，求出半径，可判断③；再在户中由勾股定理求出

OC1„

CF,可求得0C和tanNABC=——=-,即可判断②④.

OB2

【详解】

解：如图，作出AA8c的外接圆，以A8为斜边在x轴上方作等腰心AABE,

过点£作七£>_1_》轴于。，连接EC,过点E作所，y轴于尸，

：“ABC的外接圆的圆心必在弦AB的垂直平分线上,

二圆心肯定不在0C上，故①错误：

ZACB=45°,

由圆周角定理得：AB所对的圆心角必为90°,

,：EB=EA,

在弦AB的垂直平分线上，

NAEB=90°,

必为圆心，即AE、BE为半径，

：・AE=5及,故③正确；

・"。=5,08=6,

，0D=1,

,/ZED0=ZD0F=NOPE=90。，

：.OD=EF=\fED=F0=5,

CF=>ICE2-EF2=J(5何一1=7,

OC=OF+FC^U,故④正确；

oc1

tanZABC=——=-,

OB2

AZABC/600,故②错误；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理、勾股定理及圆周角定理，作出AABC的外接圆是解决本题的

关键.

3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十

部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名

称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经

算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代

数学的高峰.《算经十书》这1()部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数

学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期.其中《张丘建算经》、

《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北

朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习,则所选2部专著恰好是《张

丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为()

114II

A.-B.-C.—D.—

351518

【答案】C

【分析】

设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、尸表示，其中《张丘建算经》、

《夏侯阳算经》分别用A、8表示，列树形图表示所有等可能性，根据概率公式即可求解.

【详解】

解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、尸表示，其中《张丘建

算经》、《夏侯阳算经》分别用A、8表示，根据题意列树形图得

ABCDEF

/yiv./ziv.

BCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE

由树形图得共有30种等可能性，其中两部专著恰好是4、8即《张丘建算经》、《夏侯

阳算经》的有两种等可能性，

二所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为尸=《2=看1.

故选：C

【点睛】

本题考查了列树形图求概率，根据题意分别用字母表示六种算经并正确列出树形图是解

题关键.

4.已知抛物线丫=«?+嬴+3在坐标系中的位置如图所示，它与x,)'轴的交点分别为

A,8,尸是其对称轴\=1上的动点,根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是()

3

B.0>tz>—

2

C.周长的最小值是好+3正D.x=3是加+法+3=0的一个根

【答案】C

【分析】

根据对称轴方程求得A。的数量关系即可判断A;根据抛物线的对称性知抛物线与X

轴的另一个交点的横坐标是3,则x=3时，尸0,得到34+3=0,即2a+3=-a>0即可判断

B、D：利用两点间直线最短来求△粗8周长的最小值即可判断C.

【详解】

对称轴是直线户-(=1,

解:

A、根据图象知,贝!Jh=-2af即2a+b=09故A正确;

B、根据图象知，点A的坐标为对称轴是41,则根据抛物线关于对称轴对称的

性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),

二产3时，y=9a+3/?+3=0,

:.9a-6a+3=0,

；.3a+3=0,

;抛物线开口向下，则。<0，

3

,故B正确；

2

C、点4关于广1对称的点是A'(3,0),即抛物线与x轴的另一个交点,

连接8"与直线x=l的交点即为点P,

则^PAB的周长的最小值是(4T+A8)的长度，

VA(-1,O),8(0,3),“(3,0),

•.AB=0>BA=3''J^'

即△出8周长的最小值为9+3啦，故C错误；

D、根据图象知，点A的坐标为(-1,0),对称轴是k1,则根据抛物线关于对称轴对称的

性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),所以x=3是o^+历•+3=0的个

根，故D正确.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质

及两点之间线段最短.解答该题时，充分利用了抛物线的对称性.

5.如图，在菱形ABC。中，ZABC=12O°,AB=2.动点?从点A出发，以每秒2个

单位的速度沿折线仞-OC运动到点C,同时动点。也从点A出发，以每秒个单

位的速度沿AC运动到点C,当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设AAPQ的

面积为y,运动时间为X秒，则下列图象能大致反映y与X之间函数关系的是()

【答案】A

【分析】

根据P点位置运动不同分类讨论计算即可，分在AD上运动和在CD上运动，结合三角

形的面积得出关系式，再判断即可；

【详解】

ZABC=120。，

ZDAB=60°,则ZDAQ=30°,

当点P在上运动时，如下图，

过点Q作,

由题意得：AP=2t,AQ—y/3t,=30°,

则y=；xAPx”Q=；x2rxAQxsinN/MQ=；x2fxJ^x；=#f2,为开口向上的抛物

线;

当点尸在CD上运动时，同理可得丫=一日/”2）为开口向下的抛物线;

故答案选A.

【点睛】

本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键.

6.如图，M是一个加油站，A,B是两个村庄，现要建一条直线型公路，使加油站M

到公路的距离为1km,且A,8两村到公路的距离相等，那么这条公路的设计方案有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】D

【分析】

由切线的性质，取A8的中点0,过点。与圆相切的直线符合题意，根据平行线间的距

离处处相等，作圆的切线且平行AB即可解题.

【详解】

解:如图，连接43,取48的中点0,作线段A8的中垂线，以M为圆心，1km为半径

作圆，此时，过点。与圆相切的直线0C、0。符合题意，即图中直线4,4;

另与直线A8平行且与圆相切的两直线［，乙也符合题意;

故符合题意的公路设计方案有4条，分别是图中的44,加乙，

故选：D.

【点睛】

本题考查切线的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是

解题关键.

7.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的

方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（）

A.x=l或2,y=3B.x=l或2,y=l或3

C.x=l,y=l或3D.x=2,y=l或3

【答案】A

【分析】

俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的

数字，从而求出x、y的值.

【详解】

解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，

左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列最高叠2个正方体，故x=l

或2；

由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力.注意找

到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数.

8.如图，在正方形A8CD中，AB=2M.E,产分别为BC,CO的中点，连接AE、

BF,AE交BF于点G,将ABCF沿BF翻折得到2BPF，延长叱交创延长线于点Q,

连接QG,则尸的面积是()

QAB

25

A.—B.25C.20D.15

2

【答案】D

【分析】

由已知可求。尸二Q3,在放△BPQ中，由勾股定理求得。3,可求出BQ尸25,再证明

LABE^/XBCF(SAS),ABGEsABCF,由止匕得B尸，GE,BG,过点G作GN_LAB

交AB于M可证明△ANGs/\4BE,再由G4=4E-GE,可求得GM根据

SAQG产SdBQF-SABQG即可求解.

【详解】

解：将ABCF沿BF翻折得到ABPF,

PF=FC,NPFB=NCFB,

•••四边形ABC。是正方形

:.NFPB=90°,CD//AB,AB=BC,NABE=NBCF=90。

：.NCFB=NABF,

：.NABF=NPFB,

：.QF=QB,

PF=FC-CD=AB=,PB-AB=2yf\0,

在/?/△BPQ中，QB2=BP2+PQ2,

QB2=(QB->/lO)2+(2>/10)2,

.・・

2

•••5ABQF=—xx2VTo=25,

22

VAB=BC,BE=CF,NABE=NBCF=90。,

:•△ABEQXBCF(SAS),

，NAEB=/BFC,

义♦:NEBG=/CBF,

：・4BGEs丛BCF,

.GEBGBE

,:CF=M,BC=2M,

:・BF=5近,

GE=y/2，BG=25/2,

过点G作GN1.AB交AB于N,

•:/GAN:/EAB,NANG=NABE=9Q。,

：.XANGs2ABE,

・GNGA

''~BE~~EA

VGA=AE-GE=4V2

:・GN=^^-

5

.c1“we，15M4Min

・・SABQG=—xQBxGN=—x------x--------=10,

2225

••SAQGF-S^BQF-SKB^G=25-10=15,

故选：D.

【点睛】

本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是

解题的关键.

9.在平面直角坐标系中，对图形尸给出如下定义：若图形厂上的所有点都在以原点为

顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角

度，例如，如图中的矩形ABCO的坐标角度是90。.现将二次函数丫=62(14〃43)的图

象在直线y=l下方的部分沿直线y=l向上：翻折，则所得图形的坐标角度a的取值范

围是()

A.30°<a<60°B.120°<«<150°

C.90°<«<120°D.60°<a<90°

【答案】D

【分析】

分a=l和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题.

【详解】

解：当a=l时，如图1所示，

图1

•••角两边分别过点A(-1,1),B(1,1),

作BE±x轴于点E,

：.BE=OE,

二/BOE=45。，

根据对称性可知：ZAOB=90°,

此时坐标角度a=90°；

角两边分别过点A(-立」)，B(3,1),

33

作BE±x轴于点E,

n

,/tanZBOE=—,

3

NBOE=60。，

根据对称性可知：/AOB=60。，

,此时坐标角度a=90。，

.,.600<a<90°,

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会

画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题.

10.拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空

闲时间，经常研究平面几何.他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外

侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形.如图所示，以AABC的三条边为

边，分别向外作三个正三角形，顺次连结它们的中心£,F,G,得到“拿破仑AEFG”.已

知三个等边三角形的面积比为1:3:4,贝心拿破仑与AABC的面积比为（）

A.7:6B.6:5C.5:4D.4:3

【答案】A

【分析】

连接。G,并延长交BC于点。，连接8E,BG,先根据等边三角形的性质可得

S叩邛8cIS,=曰AB'LCN泻AC\S.G邛的,NOBG=ZABE=30。,

BG=—BC,BE=—AB,再根据面积之比可得AC-AB?:BC?=1:3:4,从而可得

33

“iBC是直角三角形，然后解直角三角形可得NABC=30。，由此可得ABEG是直角三角

形，利用勾股定理可得EG?的值，最后利用三角形的面积公式即可得.

【详解】

解：如图，连接。G,并延长交8c于点。，连接8E,8G,

D

•・,点G是等边三角形△BCD的中心,

ZCBD=60°,ZOBG=30。,OB=工BCQDLBC,

2

在肋△03〃中，OD=OB-tanZCBD=—BC,

2

-BC

在R〃。8G中,8G=_2___

=BC，

cosZ.OBGcos30°T

2

■.SJ1CD=^BCOD=^-BC,

同理可得：S,ABM=¥AB2,S,S=^AC2,SQC=4EG2,NABE=30°,BE=*4B,

不妨设AC<A8<8C,

则Lew：Sa:Sq=1:3:4,2gg曰Bd=1:3:4,

AC2:AB2:BC2=1:3:4,

设AC2=a\a>0),则AB2=3a2,BC2=4a2,

AC2+AB2=BC2，AC=a,AB=6a,BC=2a,

.1△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

S=—AB-AC=—xy/3a-a=——>

J"。222

4ri

在中，sinAABC=—7=~,

BC2

.\ZABC=30°,

/.ZEBG=ZABE+ZABC+ZOBG=90°,

又BG=与BC=^a,BE=与AB=a

7

:.EG2=BG2-i-BE2=-a2

3f

；£EFGqEG。

43当

固cc_7"^'2^32_-7Z

S^EFGS^BC=~^a~a=7:6,

即“拿破仑AEFG”与^ABC的面积比为7:6,

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点,

熟练掌握等边三角形的性质是解题关键.

二、填空题（共24分）

2

11.如图，在RsABO中，2480=90。，反比例函数了=――的图象与斜边。4相交于

X

点C,且与边A8相交于点。.已知OC=2AC,则△AOD的面积为

【答案】|

4

【分析】

过点C作CE10B于点E,设出C,D的坐标，求出△OBD和4OCE的面积，利用平

行线的性质得出^OEC〜4OAB,利用相似三角形的性质求出△OAB的面积，用^OAB

的面积减去△。8。的面积，结论可得.

【详解】

/?>0,加<0,H>0.

OB--a,BD=b,0E=-m,CE-n.

2

VC,。在反比例函数产--的图象上，

x

.*•ab=mn=-2.

•*-SXOBD=g（-a）b=1,SMCE=-（~m）n=1.

"：CELOB,ABA,OB,

：.CE//AB.

：•l\OCE~&OAB.

・SROCE二（。。）2

,,二一OA-

♦：OC=2AC,

.OC2

••=~~•

OA3

.S'OCE_4

.95

•,^SOAD=S^OAB-SAOBD=W—1=1.

故答案为：Y.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上的坐标的特征,

利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键.

12.抛物线卜=0^+析+。（4片0）与x轴交于点（一2,0）、（4,0）,其中Tv%<。，c<0,

下列四个结论：①a%c>0；②-c<0；③（a-6）（3a-〃）>0；④若"?，n（，〃<”）

为关于x的方程。（犬+2乂工-不）+1=0的两个根，则-3<〃7+“<-2.其中正确的结论

是（填写序号）.

【答案】②④

【分析】

由题意可知，a<0,c<0,由对称轴可知得出6<0,故判断①；由当x=-2时，y=0

»Q

和当x=—1B寸，y>0可以判断②；由当x=-1时，6+c>0和--->—,可以判断

2a2

③；y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-xl）向上平移1个单位得到，对称轴不变，可以判断

④.

【详解】

解：：抛物线^=加+桁+4。工0）与x轴交于点（-2,0）、（占0）,

其中一c<0,

:.abc<0,故①错误；

•・•当x=—2时，y=0,即4a-2Z?+c=0①，

当x=-l时，y>O,即。一人+(?>0②，

由①得：2b=4a+cf

把2/?=4。+c代入②x2得：2”(4a+c)+2c>0,

整理得：24/-C<0,故②正确；

当x=-l时，a—h+c>0,

•••CL-/?>—。>0,

又

2a2

・・・3a—b<0,

A(a-b)(3a-b)<0f故③错误；

r

Vd(x+2)(x-xl)+l=0,

即y'为y="2+6x+c=a(“+2)(x-xj向上平移1个单位得到，

/.m<-2,n>x],

22

，—3Vzzz+〃V—2,故④正确；

故答案为：②④.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=or2+bx+c(@0),二次项

系数”决定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线向上开口；当“VO时，抛物线向下

开口：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当。与b同号时(即ab

>0）,对称轴在y轴左；当a与6异号时（即abVO）,对称轴在y轴右；常数项c决定

抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）：△决定抛物线与x轴交点个数:A=62-4ac

>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=〃-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=

62-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

13.如图，在半径为我的圆形纸片中，剪一个圆心角为90。的最大扇形（阴影部分），

则这个扇形的面积为;若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面

半径为.

【答案】兀y

【分析】

由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求

得底面半径即可.

【详解】

解：连接BC,

由NBAC=90。得BC为。。的直径，

:.BC=2q,

在RtAABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2,

.。90万’4

・S版BL三而

90^-x2

...扇形的弧长为：=兀，

设底面半径为r,则2"=兀，

解得：r=g，

故答案为：71,g.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的

周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

14.如图，在矩形ABC。中，AB=\,AD=43,E为AO边上的一动点，M、N为BC

边上的两个动点，且满足/MEN=45。，则线段MN长度的最小值为

【答案】272-2

【分析】

作AEMN的外接圆0,连接。E,OM,ON,过点。作8c于点”，设。。的半

径为r,判断出△0MN是等腰直角三角形,得到MN,结合垂径定理得到0E+0〃=与&r,

可得0E+0H的最小值为1,即可求出r的最小值，从而得到MN的最小值.

【详解】

解：作△EMN的外接圆0,连接OE,OM,ON,过点。作于点”，如图，

设。。的半径为r,则0E=0M=0N=r,

A

B

；NMEN=45°,

：.NMON=2NMEN=90°,

...△OWN是等腰直角三角形，

...NOMN=45。，根据勾股定理得：MNEOM'ON?=5，

,：OHA.BC,

：.OH二MN=®r,

22

OE+OH=^^-r,

2

;在矩形ABC。中，AD//BC,

二点E到直线8c的距离为A8的长，即为1,

又•••点”在BC上，OHLBC,

...OE+O”的最小值为1,此时空也r=l,

2

即r的最小值为r=2->/2,

取最小值为&（2-应）=2应-2,

故答案为：20-2.

【点睛】

本题考查矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性

质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题属于中考填空题中的压轴

题.

15.如图，在R〃ABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，过点C作CR_L尸G

于点R,再过点C作PQ^CR分别交边。£,BH于点P,Q.若QH=3PE,CR=26,

则?Q=.

____80

【答案】y

【分析】

连接EC,HC,设CR与AB交于点M,根据直角三角形的性质和正方形的性质证明出

△PECs^QHC,然后根据相似三角形的性质得到/ABC的三角函数值，然后根据正方

^AFGB的性质和CR的长度列方程求出BC的长度，进一步根据/BC。的三角函数值

求出CQ的长度，最后根据相似三角形的性质求出PC的长度，即可求出P。的长度.

【详解】

如图所示，连接EC,HC,设CR与AB交于点

,/四边形4a»E和四边形CBHI都是正方形,

ZACE=ZBCH=45°,

又：/4CB=90。，

NEC”=180。，

.•.点E,C,，三点共线，

NPCE=NQCH,

又,»•NPEC=NQHC=45°,

APECs/\QHC.

.ECPEPC\

,*wc-e/7-2C-3,

四边形ACDE和四边形CBHI都是正方形,

AACE和ABCH都是等腰直角三角形，

/.AC^—EC,BC=—HC,

22

；AA/3c是直角三角形，ZAC8=90°,

—EC

AC]_

tanZ.ABC2

'BC3

—HC

2

3M

cosZABC=----

AB"io-

•.•四边形4FG8是正方形，CRA.FG,

:.CR工AB,

・・・由题意可知四边形AFRM是矩形,

；・AF=RM=AB.

・,•设CM=x,AB=AF=MR=26-x,

在RmCMB中，tanZABC=1,

「・BM=3xfBC=y/iOx,

・・BC3M

•cosZ.ABC==----,

AB10

・Mx3M

••---=-----,

26-x10

解得：x=6.

・・・CM=6,BC=6M,

•:PQLCR,AB1.CR,

J.PQ//AB,

：./QCB=ZABC,

:.cos/QCB=cosZABC=,

.BC3M

**ec-io'

,6M3M

"QC~10J

，解得：QC=20.

又••空」

乂・QC3，

.PC1

>•---=一

203

20

解得：PC=y

Of)QA

I.PC=PC+C2=y+20=y.

QA

故答案为：y.

【点睛】

此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，三角函数的运用等知识，根据题

意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

16.如图，已知点A（3,3上）,点8（0,上）,点A在二次函数y=Gx2+Qx-

96的图象上，作射线AB,再将射线A3绕点A按逆时针方向旋转30。，交二次函数

图象于点C,则点C的坐标为.

【答案】（-1，-94）

【分析】

过点8作8E〃x轴，过点A作于点E,8E交AC于点。，过。点作OELABF

点、F,根据勾股定理求出AB的长度，设8D=x,则QE=3—x,则AD=々-6x+21,

根据三角函数得出AO=2OF=若，则&J6x+21=的,解之可得8。=：,求得直

线AC的详解式，与抛物线详解式联立可得点C的坐标.

【详解】

解：过点8作3E//X轴，过点A作跖于点E,

8E交AC于点。，过。点作DFLAB于点F,

根据题意可得8E=3,AE=3^-6=2b,

.，•AB=出+Q币f=721,

设比>=x,则DE=3—x,

AD=7（3-X）2+（2^）2=VX2-6X+21，

sinZABE=—=^=-^=,

ABV21V7

DF=BDsinZABE=芸，

V7

ZFAD=30°,

4Y

AD=2DF=w

.，・>/x2-f）X+21—^y—,

两边平方得：x2-6x+2\=—x2

7

7

解得：5=一7（舍）,

.R八74x4"

3"3

72

・・.DE=3——=一，

33

AE=^AD2-DE2=273，

，点。的坐标为：g,我,

设直线AC的详解式为：），=履+"

，3&=3k+b

工=3百

则

仆了解得b=-6y/3

；♦AC表达式为y=3>/3x—65/3，

将其代入抛物线方程）=退/+由x-96,

解得玉=-1或X?=3,

x=3即为点4,

将x=T代入直线AC得y=-9后,

二点C坐标为：（-1,-96），

故答案为：（-1,-96）.

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数详解式，根据题意求得一次函

数详解式与二次函数详解式联立是解题的关键.

17.如图，图1是某滑动模具示意图，转动飞轮。A时，圆上固定点8随之在连杆0。

上的滑道滑动，并带动连杆绕端点。左右摆动.图2是某平台侧面示意图，平

Q

台高。E=§dm,上底宽EF=1.5dm,下底宽。”=8dm,GHLOH,以图2所示方式

建立平面直角坐标系M万，点〃的坐标为(-8,0),侧曲面AG恰好完全落在反比例函数

y=A(Z<0)的图象上.

X

(1)则A的值为.

(2)若飞轮半径为0.5dm,转动飞轮从顶端尸经侧曲面向地面x轴无滑动滚动，为保

证模具在平台上顺利滑动，滑道MN的长度至少为dm.

【答案】-4(运

26

【分析】

QQQRk

⑴根据所=；,OE=♦可确定点尸的坐标为(-7，(，代入函数y=<0)中求解即可；

(2)根据圆在尸处，计算最短的OM长，根据圆在水平面OH上，计算最长的。乂其差即为

MN的最短长度.

【详解】

3X

(1)点F在第二象限，

3Q

点尸的坐标为(看，|),

k

•・•点尸在函数y=—(k<0)的图像上，

x

Q3

故答案为：-4；

(2)如图，当。4恰好在尸处，作轴，垂足为8,EF_Ly轴，OEJ_x轴,

故四边形BOEF是矩形，

：.BF=OE,

Q11O

・•・BA=BF+FA=OE+FA=—+：=一,

326

作GM的切线0M,连接AM,则

则0M==^OA2-AM2=J(2^1)2+(g)；=呼1,

当。4恰好在最低端时，根据题意，得点4-券，I),

•,Q=J(岁+口，

作。A的切线ON,连接AM则ANJ_ON,

则ON==slOA2-AN2=^(y)2+(gy-(I)2=y,

MN=ON-OM=--,

26

,.“17J433

故答案为：二-三L

26

【点睛】

本题考查了坐标的确定，两点间的距离公式，矩形的判定与性质，圆的切线性质，勾股

定理，熟练掌握点的坐标确定方法，灵活运用切线的性质和勾股定理是解题的关键.

18.如图，点。是AA3C的内心，40的延长线交A45c的外接圆于点。，交BC于

点E,设空手=a,则要=一.(用含”的代数式表示)

BCDE

A

D

【答案】a—\

【分析】

过点。作。尸〃8。交A8于点F,连接8D,通过三角形内心的性质可得出

AR4-AC

然后证明△/8。g/\石80,然后根据成比例线段的性质，根据丝著上=小得出

BC

BF+AFcl八厂人厂.【IH/RZN0E<

------------=a,BF=BEy——=a-\,从而得到——=a-\.

BEBEDE

【详解】

解：过点。作0F〃3Q交4?于点F,连接5Q,

JNAOF=NADB=/ACE,

•・,点。是^ABC的内心,

:.ZFAO=ZEAC9

：.ZAFO=\SO°-ZFAO-ZAOF=\SO°-ZEAC-ZACE^ZAEC9

：.NBFO=NBEO,

在AFBO和AEBO中，

ZBFO=ZBEO

</FBO=/EBO,

BO=BO

：./\FBO^/\EBO(A4S),

：・OF=OE,BF=BE,

*.<NOBD=/OBE+/CBD=NABO+NCAD,

ZOBD=ZABO+ZBAO=ZBOD,

・•・OD=OB,

.OEOFAF

・历一瓦一茄’

,QEAF

*OD-OE~AB-AF

.QEAFAF

：NBAE=NOAE,

.AB__AC_

•茄一茄’

.AB+ACABAC

"BE+EC~^E~^EC

.AB+AC

・------------=m

BC

,AB

・——=a，

BE

.BF+AF

・-----------=a,

BE

:BF=BE,

・AF.

,=a—\

BE1

故答案为

【点睛】

本题考查了三角形的内心的性质，成比例线段的性质，全等三角形的判定与性质，圆周

角定理.关键是成比例线段的性质的应用.

三、解答题（共46分）

19.（本题8分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客

人数三月份为4万人，五月份为5・76万人.

（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有AB两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：

购票方式甲乙丙

可游玩景点ABA和8

门票价格100元/人80元/人160元/人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万,并且当

甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门

票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多

少万元？

【答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门

票总收人有最大值，为817.6万元

【分析】

（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x,则四月份的游

客为4（l+x）人，五月份的游客为4（l+x『人，再列方程，解方程可得答案；

（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设

丙种门票价格降低加元，景区六月份的门票总收人为W万元，再列出W与加的二次函

数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案.

【详解】

解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为X,

由题意,得4（l+x>=5.76

.-.（1+X）2=1.44,

解这个方程，得玉=0.2,%=-2.2（舍去）

答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%.

（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：

购买丙种门票的人数增加：0.6+04=1（万人），

购买甲种门票的人数为：2-0.6=14（万人），

购买乙种门票的人数为：3-0.4=2.6（万人），

所以：门票收入问；

100x1.4+80x2.6+（160-10）x（2+1）=798（万元）

答：景区六月份的门票总收入为798万元.

②设丙种门票价格降低机元，景区六月份的门票总收人为W万元，

由题意，得

W=100（2-0.06/77）+80（3-0.04/77）+（160-/n）（2+0.06nz+0.04m）

化简，得W=-0.1（〃―24）2+817.6,

,/-0.1<0,

当加=24时，W取最大值，为817.6万元.

答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求

解利润的最大值是解题的关键.

20.（本题8分）电子政务、数字经济、智慧社会……一场数字革命正在神州大地激荡.在

第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息

技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完

整）：

“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表

组别成绩X（分）人数

A60<x<701()

B70<x<80m

C80<x<9016

D90<x<1004

“掌握新技术，走进新时代”信息

技术应用大赛成绩扇形统计图

请观察上面的图表，解答下列问题：

（D统计表中加=；统计图中〃=,O组的圆心角是

度.

（2）。组的4名学生中，有2名男生和2名女生.从。组随机抽取2名学生参加5G体

验活动，请你画出树状图或用列表法求恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活

动的概率.

2

【答案】（1）20,32,28.8：（2）-

【分析】

（1）由A组的人数除以所占百分比求出该校八年级参加竞赛的学生人数，即可解决问

题;

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体

验活动的结果有8种，再由概率公式求解即可.

【详解】

解：(1)该校八年级参加竞赛的学生人数为：10+20%=50(人)，

4

A/n=50-l0-16-4=20,〃％=16+50xl00%=32%,。组的圆心角为：360°x—=28.8°,

n=32,

故答案为：20,32,28.8；

(2)画树状图如下：

男男女女

/I\/T\/T\

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的结果有8

种，

恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为%g.

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步完成的事件：树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.也考查了频数分布统计表和扇形统计图.

21.(本题10分)定义：在平面直角坐标系中，点(〃?,〃)是某函数图象上的一点，作该函

数图象中自变量大于m的部分关于直线E”的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于

或等于胆的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点(见，。的

“派生函数”.

例如：图①是函数y=x+i的图象，则它关于点(0,1)的“派生函数”的图象如图②所示，

x+l(x>0)

且它的“派生函数”的详解式为y=

-x+l(x<0)

y

图③

(1)直接写出函数y=x+i关于点(1,2)的，，派生函数，，的详解式.

(2)请在图③的平面坐标系(单位长度为1)中画出函数y=3关于点(-1,-3)的“派生

X

函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标.

(3)点M是函数G:y=-/+4x_3的图象上的一点，设点M的横坐标为如G'是函

数G关于点M的“派生函数”.

①当，"=1时，若函数值了'的范围是-14y