2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二

（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）在空间直角坐标系下，点M（-3,6,2）关于y轴对称的点的坐标为（）

A.(3,-6,2)B.(-3,-6,-2)C.(3,6,-2)D.(3,-6,-2)

22

2.（5分）若椭圆“工=1的一个焦点为（0,7）,则p的值为（）

P4

A.5B.4C.3D.2

22

3.（5分）双曲线」一-二—=1的焦距是（）

m2+124-m2

A.4B.2V2C.8D.与机有关

4.(5分)在数列｛z｝中，m=-L,a=1——（M>1）,则“2020的值为（）

4na.

A.B.5C.1D.以上都不对

45

5.（5分）若抛物线/=4x上一点P到x轴的距离为2“，则点P到抛物线的焦点F的距

离为（）

A.4B.5C.6D.7

6.（5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算

法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石,

令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就

是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道

甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算中应该分得（）

A.78石B.76石C.75石D.74石

7.（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线

上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉

线.已知△A3C的顶点A（2,0）,B（1,2）,且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为

()

A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+l=0D.2x-4y+l=0

22

8.（5分）已知椭圆（。>6>0）的左、右焦点分别为尸1、尸2,点A是椭圆短轴

的一个顶点，且85/乃4尸2=3,则椭圆的离心率6=（）

4

A.AB.返C.AD.返

2244

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）已知递减的等差数列伍”｝的前〃项和为S”若S7=Su,则（）

A.«io>OB.当〃=9时，的最大

C.517>0D.Si9>0

（多选）10.（5分）已知双曲线C过点（3,&）且渐近线方程为丫=士返X，则下列结论

3

正确的是（）

2八

A.C的方程为之__y2=l

3y

B.C的离心率为«

C.曲线y=，2-1经过c的一个焦点

D.直线x-V^y-i=o与C有两个公共点

（多选）11.（5分）已知直线/：（a+1）x+ay+a=0（aeR）与圆C：/+/-4x-5=0,则

下列结论正确的是（）

A.存在a,使得/的倾斜角为90°

B.存在〃，使得/的倾斜角为135°

C.存在。，使直线/与圆C相离

D.对任意的a直线/与圆C相交，且。=1时相交弦最短

（多选）12.（5分）如图，点E是正方体A8C0-A1BC1D1的棱。Di的中点，点M在线

段BDi上运动，则下列结论正确的是（）

A.直线A。与直线GM始终是异面直线

B.存在点M,使得BiM_LAE

C.四面体EMAC的体积为定值

D.当DiM=2MB时，平面EACJ_平面MAC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)等轴双曲线的离心率为.

14.(5分)若(-1)n*(2n-1),则数列｛劭｝的前21项和S21=.

15.(5分)将数列｛〃｝按“第〃组有〃个数”的规则分组如下：(1),(2,3),(4,5,6),

则第22组中的第一个数是.

n2nx

16.(5分)数列｛“”｝中，m=l,an+an+\=(―),Sn=ai+4a2+4a3+"-+4an,类比课本

n

中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn-4an=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知各项均为正数的等差数列｛“"｝中，41+42+43=15,且41+2,42+5,<73+13

构成等比数列｛%｝的前三项.

(1)求数列｛〃”｝,｛a｝的通项公式；

(2)求数列｛仍+加｝的前〃项和心.

18.(12分)如图所示，在三棱柱ABC-Ai8i。中，CCi_L平面ABC,ACLBC,AC=BC

=2,CC1=3,点。，E分别在棱44和棱CC1上，且40=1,CE=2,点M为棱4向

的中点.

(1)求证：〃平面OB1E；

(2)求直线AB与平面D81E所成角的正弦值.

19.(12分)已知点P(1,m)是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|尸网

—2,直线/：y—k(x-1)与抛物线C相交于不同的两点A,B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|A8|=8,求人的值.

20.(12分)已知数列｛“"｝的前〃项和为S”已知破=3历=3,且当心2,"CN*时，劭+1+2即

-1+3S/Z-1=3S〃.

(1)证明：数列是等比数列；

a+1

(2)设b=--——,求数列｛加｝的前"项和7k

na1tHan

21.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，PAmABCD,AD//BC,AO_LCD,且A。

=CD=\,BC=2,PA=\.

(1)求证：ABA.PC；

(2)点M在线段P。上，二面角M-AC-。的余弦值为返，求三棱锥M-ACP体积.

22.(12分)已知椭圆C：9/+/=加2(相＞0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与

C有两个交点A，B,线段AB的中点为M.

(1)证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；

(2)若/过点(皿，川)，延长线段OM与C交于点P,四边形OAP8能否为平行四边形？

3

若能，求此时/的斜率；若不能，说明理由.

2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二

(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)在空间直角坐标系下，点M(-3,6,2)关于y轴对称的点的坐标为()

A.(3,-6,2)B.(-3,-6,-2)C.(3,6,-2)D.(3,-6,-2)

【分析】直接利用点的对称的应用求出结果.

【解答】解：点M(-3,6,2)关于y轴对称的点的坐标为N(3,6,-2)；

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于基础题.

22

2.(5分)若椭圆—2-=1的一个焦点为(0,7),则p的值为()

P4

A.5B.4C.3D.2

【分析】由题意得到关于〃的方程，解方程即可确定p的值.

【解答】解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，

则d=4,h2=p,c2=l,

从而4=p+l,p=3.

故选：C.

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题.

22

3.(5分)双曲线g_的焦距是()

m+124-m

A.4B.2V2C.8D.与机有关

【分析】由双曲线的方程可先根据公式。2=“2+廿求出c的值，进而可求焦距2c

【解答】解：由题意可得，c2=a2+b2=ni2+\2+4-nr=\6

，c=4焦距2c=8

故选：C.

【点评】本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论:。2=/+/,

属于基础试题

4.（5分）在数列中，a\—-a=1-------<«>1）>则“2020的值为（）

411a^i

A.3B.5C.AD.以上都不对

45

【分析】求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可.

【解答】解：数列仅〃｝中，0=-工，a=1一L（〃>1），

411a.

42=1+4=5,«3=1-A=A,a4=1-—=-A,?

5544

所以数列的周期为3,

4202（）=0673x3+1=41=-A.

4

故选：A.

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题.

5.（5分）若抛物线）?=4x上一点P到x轴的距离为2«,则点P到抛物线的焦点F的距

离为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点厂的距

离.

【解答】解：抛物线尸=船的准线方程为x=-1

•.•抛物线f=4x上一点P到x轴的距离为2b，则P（3,±273）>

.♦•P到抛物线的准线的距离为：4,

点P到抛物线的焦点F的距离为4.

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题.

6.（5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算

法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：''今有白米一百八十石,

令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就

是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道

甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）

A.78石B.76石C.75石D.74石

【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=^3=二匹=-18,再由

3-12

s_3a+32£2_x(-18)=180,能求出甲应该分得78石.

312

【解答】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列,

只知道甲比丙多分三十六石,

1—~36—-18,

~2~

S3=3al+^4^X（-18）=180,

01N

解得“1=78（石）.

二甲应该分得78石.

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

7.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线

上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉

线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(1,2),且AC=8C,则△ABC的欧拉线的方程为

（）

A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+l=0D.2x-4y+l=0

【分析】由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△4BC的欧拉线就是线段AB

的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解.

【解答】解：因为AC=2C,所以点C在线段AB的中垂线上，

设该中垂线为直线I,

取BC的中点。，连接AD,则4。与直线/的交点在直线/上，该交点即为△ABC的重

心，

过点4作AEJ_BC于E,则AE与直线/的交点在直线/上，该交点即为AABC的垂心，

因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线/上，

故AABC的欧拉线就是直线I,

由4(2,0),B(1,2),知AB的中点坐标为(3,1),直线A8的斜率为2二&=-2,

21-2

所以直线/的斜率为工，其方程为y-l=2（x-旦），即2x-4y+l=0.

222

故选：D.

【点评】本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和

外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

22

8.（5分）已知椭圆乙J—=l的左、右焦点分别为R、尸2,点A是椭圆短轴

2,2

ab

的一个顶点，且cosNbiA尸2=3,则椭圆的离心率6=（）

_4_

A.AB.返C.AD.返

2244

【分析】由题意可得|AFi|=|AF2|=a,|FIF2|=2C,在三角形中由余弦定理可得a,c之间

的关系，进而求出离心率.

【解答】解：由题意可得|FIF2|=2C,

人IPF,|2+|PF|2-|F,FJ2

在△尸FlF2中，由余弦定理可得：cosZF\AF2=--------：----J9----7—=

2|PF7FIPF71

a2+a2-4c23

2a24

可得/=8°2,即离心率e=£>=Y2（0<e<1）,

a4

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，是基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）已知递减的等差数列｛如｝的前〃项和为品，若S7=Su,则（）

A.4Zio>OB.当〃=9时，S〃最大

C.S17>OD.Si9>0

【分析】由递减的等差数列｛加｝的前"项和为S”57=511,列出方程，求出a,=」1d>

12

0,再逐一判断各选项.

【解答】解：•••递减的等差数列伍〃｝的前〃项和为S”，57=5II,

（d<0

・d=iw*%'解得力=多>°，

7X6

7a।+■

2

：.a\o=ai+9d=--lLd+gd=_Ld<0,故A错误；

22

22

sn=naid=-.IZA+A-旦产&-9)-

222222

...当〃=9时，S”最大，故8正确;

S17=17G+]''；曲d=17X(-号4)+136d=-8.5d>0,故C正确:

Si9=19m+^H^/=19X(-lLd)+171d=9.5d<0,故。错误.

22

故选：BC.

【点评】本题考查命题真假的判断，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题.

（多选）10.（5分）已知双曲线C过点（3,'历）且渐近线方程为丫=土鱼"X，则下列结论

3

正确的是（）

2°

A.C的方程为L_y2=i

3

B.C的离心率为退

C.曲线y=，2-1经过c的一个焦点

D.直线Xf6y-l=0与C有两个公共点

【分析】由双曲线的渐近线为y=土返X，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出

3

双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断8,C；直线与双曲线的渐近线的关系

判断D.

【解答】解：由双曲线的渐近线方程为y=土亭X，可设双曲线方程为看-y2=人，

把点（3,正）代入，得且-2=入，即入=1.

3

2°

双曲线C的方程为&__丫2=故4正确；

3丫

由。2=3,廿=1,得c=｛a2+b2=2,

...双曲线C的离心率为3=2返，故B错误；

V33

Mxx-2=0,得x=2,y=0,曲线y=，2-］过定点⑵。)，故C正确；

双曲线的渐近线X±J§y=o,直线xrQy-l=0与双曲线的渐近线平行，直线

x《yT=0与C有1个公共点故。不正确.

故选：AC.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单

性质，是中档题

(多选)11.(5分)已知直线/：(a+1)x+ay+a—Q(dz£R)与圆C：-4x-5=0,则

下列结论正确的是()

A.存在“，使得/的倾斜角为90°

B.存在“，使得/的倾斜角为135°

C.存在。，使直线/与圆C相离

D.对任意的a直线/与圆C相交，且”=1时相交弦最短

【分析】对于AB选项，根据倾斜角可判断直线的位置以及斜率，进而可以求出a的值，

而C选项根据直线与圆相离满足的条件可求出〃的值是否存在，而。选项，先求出直线

过的定点，可判断直线与圆的位置，且定点与圆心连线与直线垂直时弦长最短可求出a

的值.

【解答】解：选项A：当a=0时，直线方程为x=0,此时倾斜角为90°,A正确，

选项5：当倾斜角为135。时，直线斜率为-1,即-空1=-1,解得a为空集，3错误,

a

选项C：圆。的圆心为C(2,0),半径r=3,若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为

I(a+1)X2+aI>3,

7(a+l)2+a2

整理得：9/+6a+5V0,不等式无解，C错误，

选项D：经分析直线过定点M(0,-1),此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线

CM与直线/垂直时，直线CM和直线/的斜率之积等于-1,即：上=-

a2~0

1解得4=1,此时弦长最短，。正确，

故选：AD.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系以及直线倾斜角和直线过定点的问题，考查了

学生的运算能力，推理能力，属于基础题.

(多选)12.(5分)如图，点E是正方体ABCZ)-A出lCI。l的棱。。l的中点，点M在线

段BDi上运动，则下列结论正确的是()

A.直线与直线GM始终是异面直线

B.存在点M,使得BiM_LAE

C.四面体EM4c的体积为定值

D.当D\M=2MB时，平面EACJ_平面MAC

【分析】当M为B£>i的中点时可知A错误，证明8£>1〃平面EAC可知C正确；建立空

间坐标系，利用向量判断8。即可.

【解答】解：(1)当M为8功的中点时，直线A。与直线CM是相交直线，交点为A,

故A错误；

(2)以。为原点，以D4,DC,为坐标轴建立空间坐标系。-孙z,

设正方体棱长为1,则A(l,0,0),E(0,0,A),8(1,1,0),Di(0,0,1),B\

2

(L1,I),

.••瓦=(-1.0,*),(0,0,-1),(-1,-1,1).

(0W入Wl),则Bji=B[0+BM=(-入，-)，入-1),

若8iM_LAE,则方-jj•标=0,即入+2•(入-1)=0,解得人=工，

23

.•.当M为线段的靠近8的三等分点时，BiMlAE,故B正确；

(3)连接BO,取B。的中点O,连接E0,则。也是AC的中点，

由中位线定理可知BD\//EO,

〃平面ACE,故VE.A/4C=VMACE=VBACE,故C正确；

(4)VAC±B£>,AC±DD\fBDCDDi=D,

・・・4C_L平面BDD\,

J.AC1.0E,ACLOM,故/EOM为二面角E-AC-M的平面角,

当£>1M=2BM时，M(2,2,A),又。(_1,A,0),

33322

.,•0E-0M=----A_+A=0,：.OE±MO,

12126

故平面EAC_L平面MAC,故£>正确.

【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何

问题，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)等轴双曲线的离心率为

【分析】根据等轴双曲线的定义，可得。=4从而可得离心率.

【解答】解：•.•等轴双曲线中

,,Va2+b2=

，e=£=血

a

故答案为：A/5

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.

14.(5分)若如=(-1)1),则数列｛〃”｝的前21项和S21=-21.

【分析】直接利用数列的通项公式和组合法的应用求出结果.

【解答】解：由于an—(-1)”・(2〃-1),

则S21=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+—+(-41)=2X10-4=-21.

故答案为：-21.

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，组合法的应用，主要考查学生的运算

能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

15.(5分)将数列｛〃｝按“第〃组有〃个数”的规则分组如下：(1),(2,3),(4,5,6),

则第22组中的第一个数是232.

【分析】根据已知可得，第〃组中最后一个数即为前”组数的个数和，由此可求得第21

组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数

【解答】解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+…+21=21(1+21)=

2

231,

所以第22组的第1个数为232.

【点评】本题考查了归纳推理，等差数列前"项和公式的应用，找到数字的规律是解题

的关键，属于中档题.

ninx

16.(5分)数列｛〃"｝中，ai=l,an+an+\=(A),Sn=ai+4a2+4a3+'''+4an,类比课本

4

中推导等比数列前H项和公式的方法，可求得5sL4%〃=".

【分析】先对S〃=m+〃2,4+〃3・42+…两边同乘以先再相加，求出其和的表达

式，整理即可求出5sL4%〃的表达式.

【解答】解：由S〃=a1+a2•4+〃3•42+・・・+〃〃•4"r①

得4•即=4•a1+。2•42+〃3•4,+…+即一1•4〃-1+an•4〃②

①+②得：5s〃=m+4(m+〃2)+42*(a2+a3)+…+4"

=ai+4X_14-42*(A)2+…+4〃一1・(工)〃一［+4〃•如

444

—1+1+1+…+1+4”,〃"

=n+4"*an.

n,

所以5sn-4an=n,

故答案为：

【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列

前〃项和公式的方法的理解和掌握.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知各项均为正数的等差数列｛«"｝中，41+42+43=15,且ai+2,42+5,43+13

构成等比数列出"｝的前三项.

(1)求数列｛b｝的通项公式;

(2)求数列｛而+数｝的前"项和7k.

【分析】(1)通过等数列中项的性质求出及=5,等比数列中项性质求出d=2,然后分

别求出数列｛为｝的通项公式；

(2)分组求和即可.

【解答】解：(1)设等差数列的公差为"，

贝!1由已知得，“1+42+43=302=15,

即02=5,

又(5-J+2)(5+4+13)=(4/2+5)2=100,

解得d=2或d=-13(舍去)，

所以41=42-<7=3,

J.an=a\+(〃-1)Xd=2”+1,

又bi=m+2=5,仍=。2+5=10,

'.q=2,二bn=5，2n"L

(2)由(1)知，-"+1+5X2””,

所以乙=n(3+2n+l)+§-5><22.=5><2"+〃2+2”-5.

21-2

【点评】本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题.

18.(12分)如图所示，在三棱柱ABC-4181。中，CCi_L平面ABC,ACVBC,AC=BC

=2,CCi=3,点。，E分别在棱A41和棱CC1上，且AO=1,CE=2,点〃为棱

的中点.

(1)求证：CiM〃平面。8归；

(2)求直线A8与平面O81E所成角的正弦值.

A

【分析】(1)只要证明CiM与平面。8小的法向量数量积为零即可；(2)用向量数量积

计算直线与平面成角正弦值.

【解答】(1)证明：建系如图，C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),Ci(0,0,

3),

Ai(2,0,3),Bi(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3),

彳=(1,1,0),B]D=(2,-2,-2>ED=(2,0，-1)，

令W=(l,-1,2)，

因为"n=0,EDwn=0>

所以]=(1,-i,2)为平面。BIE的法向量，

因为・7=°，CiM<t平面DB\E,

所以GM〃平面DBiE.

(2)解:由(1)知族=(-2,2,0),n=(l,-1,2)为平面。BiE的一个法向量，

设AS与平面DB\E所成角为0,

所以sin8=|cos<Ig,一场可斗,

|AB|-|n|3

所以直线AB与平面D81E所成角的正弦值为返.

3

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题.

19.(12分)已知点P(1,/«)是抛物线C：f=2px上的点，尸为抛物线的焦点，且|PF|

=2,直线/：y=k(x-1)与抛物线C相交于不同的两点A,B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|A8|=8,求左的值.

【分析】(1)利用已知条件求出p,即可得到抛物线方程.

(2)设出A8坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可.

【解答】解：(1)抛物线C丁=2*的准线为上，

2

由|产网=2得：1当二2，得〃=2.

所以抛物线的方程为尸=4尤

、nIfy=k(x-l)

(2)设A(xi,y\),B(A?,”)，由《,

.y=4x

可得F/一(2F+4)R+F=O,△=16Ar+16>0,

.2k2+4

••Xi+X2=T>

k

•・•直线/经过抛物线。的焦点F,

2

k+

|ABI=xt+x2+p=^2^~^~,

k

解得：k=±l,

所以女的值为1或-1.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本

知识的考查，中档题.

20.(12分)已知数列｛。"｝的前”项和为S,“已知。2=3。1=3,且当"N2,"6N*时，an+\+2an

-]+3S〃-1=3S〃.

(1)证明：数列｛的+1-0〃｝是等比数列；

a+1

(2)设b=——，求数列｛阮｝的前〃项和7k

nard-lan

【分析】(1)将条件中的递推式整理为曲+1-加=2«”-2曲一1=2Can-an-i),从而可证

数列｛“”+1-珈｝是等比数列；

(2)化简数列｛历｝的通项公式，利用裂项相消法求和.

【解答】(1)证明：因为当〃》2,“6N*时,an+\+2ar..i+3Sn-\=3Sn,

所以。"+1+2〃"I=3Sn3S"I=3a«,

所以〃"+1-a”=2a”-2“"-1=2(a”--1),

即Mlan=2,(“22,nSN*),

an-an-l

又。2-m=3-1=2,

所以数列｛斯+1-板｝是首项为2,公比为2的等比数列;

解：(2)由(1)知，a-=9.9n-1=9n.

an+lanZZN

n-1,

则ajl,a2-ai=2、a3-a2=2M……an-an_1=2

各项相加，可得

12n1：=2，!L

an=l+2+2+-+2-=^^-

所以b=a『l_----__22------=_l-------1——，

11ain-lan(2n+1-l)(2n-l)2n-l2m1-1

故T〃=bi+b2+…+b〃

-_--1-----1----11_1------1-•••+---1------1---_----1-------1---

21-122-122-123-12n-l2.1-121-12nH-1

12n+1-l

【点评】本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题.

21.(12分)如图，在四棱锥P-A8CD中，平面A8C£>,AD//BC,AD1CD,且

=CO=1,BC=2,PA=\.

(1)求证：AB_LPC；

(2)点M在线段尸。上，二面角AC-。的余弦值为返，求三棱锥M-ACP体积.

【分析】(1)可证△ABC是等腰直角三角形，即AB_LAC,可得以，AB,进而48_1_平

面PAC,可证结论；

(2)过点M作MN_LA£＞于N,则MN〃m，过点“作MG_LAC于G,连接NG,贝UAC

_LNG,cosNMGN=®,财/亦G=MN,又AN=J^G=MN,设MN=x,△MN。是

3

等腰直角三角形，可解得X,从而可求体积.

【解答】(1)证明：；四边形ABCO是直角梯形，AD=CD=\,BC=2,

:.AC=®ABf(BC-AD)2YD2=如，

...△ABC是等腰直角三角形，BPAB1AC,

平面ABCQ,A8u平面ABC。，J.PALAB,

又抬ClAC=A,PAC,

又PCu平面E4C,：.ABA.PC,

(2)解：过点M作MMLA