2021-2022学年广东省江门市恩平第一中学高二数学理联考试卷含解析

2021-2022学年广东省江门市恩平第一中学高二数学理

联考试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.当K2>6.635时，认为事件A与事件B()

A.有95%的把握有关B.有99%的把握有关

C.没有理由说它们有关D.不确定

参考答案:

B

【考点】独立性检验的应用.

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计.

【分析】根据所给的观测值同临界值的比较，得到有1-0.01=99%的把握认为事件A与事

件B有关系，得到结果.

【解答】解：；心>6.635,

...有1-0.01=99%的把握认为两个事件有关系，

故选：B.

【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的作用，本题解题的关键是理解临界值对应的

概率的意义，本题是一个基础题.

2.如图,在直三棱柱ABC-ABC中,平面ABC_L侧面ABBA,且AAFAB=BC=2,则AC与平

面ABC所成角为()

冗冗冗冗

A.VB.4C.3D.2

参考答案：

A

【考点】直线与平面所成的角.

【分析】证明AD，平面ABC,得出NACD即为直线AC与平面ABC所成的角，求出

返

AC=V2,AD=2,即可得出结论.

【解答】解：如图，ABiCAB=D,连结CD,

：AAi=AB,AADIA.B,

•.•平面AIBCJJ则面A.ABBL且平面ABCCl侧面A.ABBFA.B,

AD_L平面ABC,

则CD是AC在平面AiBC内的射影，

...ZACD即为直线AC与平面A,BC所成的角，

又BC?平面A.BC,

所以ADLBC,

因为三棱柱ABC----ABG是直三棱柱，

则AA」底面ABC,

所以AAnBC.

又AA,nAD=A,从而BC_L侧面A,ABB,,

又AB?侧面AJABBI,故ABLBC

返

；AAi=AB=BC=2,/.AC=V2,AD=2

171

/.sinZACD=2,二NACD=6,

故选A.

3.等比数列W的各项均为正数，且生4=9,则

10§3%+log3a2+…+%40的值

为

A.12B.10C.8

D.2+log35

参考答案:

B

略

4.已知直线x+2y=2与x轴，y轴分别交于A,B两点，若动点P(a,b)在线段

AB上，则ab的最大值为

11

A.2B.2C.3D.3

参考答案:

A

5.曲线y二e"y=e，和直线x=l围成的图形面积是()

1_111_

A.e+e-2B.e-e+2C.e+eD.e-e-2

参考答案：

A

【考点】6G：定积分在求面积中的应用.

【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，用定积分计算公式加以运算即可得到本

题答案.

1_

【解答】解：•.•曲线y=e*,y=e-“和直线x=l的交点为(1,e),(1,7),

r11

xxx1

...曲线丫=1y=e*和直线x=l围成的图形面积S=」0(e-e')dx=(e+e)0=e+e

-1-l=e+e-2,

故选：A.

【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计

算公式等知识，属于基础题.

6.某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样的方

法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为()

A.70B.20C.48D.2

参考答案：

B

7若(3x+l)5=。5*$+即；？++的尤+劭，则点2的值为()

A.270B.27。/C.90D.9。/

参考答案：

C

略

8.设函数y=f(x),x£R,"y=|f(x)|是偶函数"是"y=f(x)的图象关于原点对称”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

B

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】“y=f(x)的图象关于原点对称”，xER,可得y=If(x)是偶函数.反之不成

立，例如f（x）=x2.

【解答】解："y=f（X）的图象关于原点对称”，XSR,可得y=|f（x）|是偶函数.

反之不成立，例如f（x）=/,满足y=|f（x）|是偶函数，xSR.

因此，"y=|f（x）|是偶函数”是“y=f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件.

故选：B.

x+y-7<0

x-j+3>0>

9.已知圆（尸”=1jr>0

设平面区域-“若圆心

0€£2,且圆0与£轴相切，则@2+廿的最大值为（）

A.5B.29C.37D.49

参考答案:

C

10.若函数=有两个不同的零点巧，且1＜。＜巧＜3,那么在

fCV（3）两个函数值中（）

A.至多有一个小于1B.至少有一个小于1C.都小于1D.都大

于1

参考答案：

B

试题分析：％）=（工一看h一巧），f（i）=Q一区Xi一巧），芥）=（3-。）（3-巧）所以

,（1）/（3）=（1-力（1-巧）（3—03-巧）=（不一叫一3）（1-巧）（3-根据基本不等式

卜一城3-6产-。；6-叫=1

L'J同理

&T）（3-6p^^T=l

L2」，即

/（1）/（3）41,所以在fOVG）两个函数值中至少有一个小于1.

考点：1.函数的零点；2.基本不等式.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将4ADE沿直线DE翻转成△AQE,

若M为线段AC的中点，则在4ADE翻转过程中，对于下列说法：

①ICAI2ICA".

②若点Ai在平面ABCD的射影为0,则点0在NBAD的平分线上.

③一定存在某个位置，使DE_LAG

④若|CAi|=如，则平面AJ)E,平面ABCD

其中正确的说法是.

参考答案:

①②④

【考点】棱锥的结构特征.

【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论.

【解答】解：①由将aADE沿直线DE翻转成△ADE,可得|CA|2CA,,正确.

②若点儿在平面ABCD的射影为0,作AFLDE,连接AF,0F,则AF_LDE,0FLDE,则点0

在DE的高线上，点0在NBAD的平分线上，正确.

③在平面ABCD中的射影为0C,0C与DE不垂直，

存在某个位置，使DE_LA£不正确，故③不正确；

④若|CA/=我，则；|AF|=孚，Ie"吟-2X2X率噜熊,

...|A1F|2+|CF|2=|CA1|2,

，AF_LCF,；AF_LDE,...AF_L平面ABCD,；.平面ADE_L平面ABCD,正确.

故答案为①②④.

AI

J

AEB

2222

J+匕=i（w>o）^-2L=i（„>o）

12.已知椭圆步16和双曲线/9有相同的焦点叫、F2,点

P为椭圆和双曲线的一个交点，则PFi|•IPF2I的值是

参考答案：

25

13.设aWR,若函数y=e"+ax,xWR有大于零的极值点，则（）

A.a<—1B.a>一1"

C.a>--D.a<-

ee

参考答案：

A

略

14.下列命题中正确的序号是

①平面向量l与石的夹角为60。，1（2,0）,b|=l,则赢E上的投影为

②有一底面积半径为1,高为2的圆柱，点0为这个圆柱底面的圆心，在这个圆柱内随机

2

抽取一点P,则点P到0点的距离大于1的概率为豆

1

③命题：“？x£（0,+8）,不等式cosx>l-2x“恒成立”是真命题.

X41

《2ab

④在约束条件x+y>l下，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,贝！j2a+b的最

2

大值等于至

参考答案：

②③

考点：命题的真假判断与应用.

专题：综合题.

分析：①根据投影公式代入求出即可判断；②根据球和圆柱的体积公式求出即可；③构造

函数，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而得到结论；④画出平面区域，结合基本

不等式的性质从而求出代数式的最大值.

___1

解答：解：①则W在Eh的投影为：a|cos600=2X2=1,故①错误；

②•••到点0的距离等于1的点构成一个球面，如图，

则点P到点0的距离大于1的概率为:

271

半球外的体积圆柱的体积-半球的体积2

p=圆柱的体积=圆柱的体积=一g一=百,

故②正确;

1

③构造函数h(x)=cosx-l+2x\h'(x)=-sinx+x,h"(x)-cosx+120,Ah7

(x)在(0,+8)上单调增

.,.h,(x)>h'(0)=0,.•.函数h(x)在(0,+8)上单调增,Ah(x)>0,

工

.".cosx>l-2x",即不等式恒成立，

故③正确；

④：约束条件对应的平面区域如图

3个顶点是(1,0),(1,2),(-1,2),

由图易得目标函数在(1，2)取最大值6,

此时a+2b=6,

Va>0,b>0,.•.由不等式知识可得：a+2b=6^2Va«2b,

93

，abW2,当且仅当：a=2b即：a=3,b=2时成立，

ab2a+b

要求2a+b的最大值转化为求ab的最小值即可,

2a+b2121294

而ab=b+a>2Vba=2Vab^212=3,

ab4

...五瓦的最大值等于百，

故④错误，

故答案为：②③.

点评：本题考查了向量的运算，考查概率问题，考查函数恒成立问题，基本不等式性质的

应用以及线性规划问题，是一道综合题.

15,已知而卜2,|5卜4,Q+5)J_2,则历-2b|=

参考答案：

2M

略

16.命题：若a>2,则a2>4的逆否命题

为。

参考答案：

若a+4,则a«2

略

17.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为(-1,2),则a+b的值是

参考答案：

1

【考点】一元二次不等式的解法.

【分析】根据一元二次方程与不等式的关系，利用根与系数的关系建立等式，解之即可.

【解答】解：不等式(x-a)(x-b)<0的解集为(-1,2),

可得(x-a)(x-b)=0的解Xi=-1,X2=2,

即a=-l,b=2,或者a=2,b=-1,

a+b的值等于1.

故答案为1.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD_L底面

ABCD,PD=DC,E是PC的中点，过E点作EF_LPB交PB于点F.求证：

(1)PA〃平面EDB；

(2)PB_L平面EFD.

(3)求三棱锥E-BCD的体积.

参考答案：

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；皿：直线与平面垂

直的判定.

【分析】(1)连接AC交BD于点0,连接0E,利用中位线定理得出0E〃PA,故PA〃平面

EDB；

(2)由PD_L平面ABCD得PD1,BC,结合BC_LCD得BC_L平面PCD,于是BCJ_DE,结合

DE_LPC得DE_L平面PBC,故而DEJ_PB,结合PB_LEF即可得出PB_L平面DEF；

11

(3)依题意，可得V|i-BCD=2V|,.BCD=6SABCD?PD.

【解答】证明：(1)连接AC交BD于点0,连接0E.

♦.•底面ABCD是正方形,

点0是AC的中点.又E为PC的中点,

，0E〃PA.

又E0?平面BDE,PA?平面BDE

••.PA〃平面BDE.

(2)：PD_L底面ABCD,BC?平面ABCD,

APD1BC.

:底面ABCD是正方形，.-.BC1CD.

又PDC1DC=D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,

平面PCD.又DE?平面PCD,

.\BC±DE.

VPD=DC,E是PC的中点，ADE±PC.

又PC?平面PBC,BC?平面PBC,PCABC=C,

.•.DEJ_平面PBC.而PB?平面PBC,

ADEIPB.又EF_LPB,且PDADC=D,

，PB_L平面DEF.

(3)YE是PC的中点,

x=4cos6

19.在平面直角坐标系xO.y中，圆C的参数方程为Iy('为参数)

直线/经过

点式Z2),倾斜角a一亏.

(1)写出圆C的标准方程和直线/的参数方程；

(2)设直线/与圆C相交于A,8两点，求I叫-|口1的值.

参考答案：

x=2+—/

⑴<+/=16,"一2+了晨£为参数）⑵&

（1）方程消去参数3得圆的标准方程为V+V=16,由直线方程的意义可直接写出直线I的

参数；（2）把直线？的参数方程代入=16,由直线？的参数方程中£

的几何意义得幽-明的值.

解：（1）圆的标准方程为^+丁=16……2分

yrI

x=2+/txjs—工=24•不上

{2•:（2君

jr=2+Zsn—JF=2+—/

直线r的参数方程为3,即2（工为参数）5分

（2）把直线的方程,一2・5’代入3+丁=16,

得（2+抄+（2+堂厅=16户+贴+巾-8=0&分

所以他=-8,即I叫叫=«……io分.

/（x）=x+-/（2）=2+卫

20.已知函数x的定义域为（。,丑@,且'2,设点P是函数图

象上的任意一点，过点P分别作直线卜=》和7轴的垂线，垂足分别为M,N。

（1）求《的值；

（2）判断忸加1」尸M是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理

（3）设。为坐标原点，求四边形OWN面积的最小值。

参考答案:

f(2)=2+-=2+—,:.a=、历

解析：(1)22

也

(2)设点P的坐标为(a,b),则有b=a+a,a>0

I(Ik一司1

由点到直线的距离公式可知：尸初一年一％“|=”,故有画•网=1

(3)设M(t,t)可知N(0,b)又PM垂直直线y=x，所以爪加=一1，

T=-l/=^(«+A)

即解得2又

a+旦

2a

142a2^212之内

g、।=SxQPM+区底)PM-(a+4)+&1+

所以，212222

仅当a=l时取等.此时四边形面积最小值为1+、回.

21.(14分)已知函数f(x)=x3-ax在x=l处取得极小值，其中a是实数.

(1)求实数a的值;

空3

(2)用反证法证明：当x>0时，x2^一中至少有一个不小于君.

参考答案:

【考点】利用导数研究函数的极值；反证法与放缩法.

【分析】(1)求出函数的导数，根据F(1)=0,求出a的值即可；

-2,G)—(x)

(2)假设x2,一x—都小于得到关于x的不等式组，得出矛盾，证出结论

即可.

【解答】解：(1)Vf(x)=x3.ax,

f(x)=3x2-a,...(2分)

:函数f(x)=x3-ax在x=l处取得极小值,

Af(1)=0,...

叩3-a=0,

a=3....(7

分)

-2,(X)F(x)

证明：(2)假设x2,一x—都小于

即(9分)

-2x+y<V3

3X-7<V3

...(一2X+9+(3XY)<班⑴分)

即x—〈姐，

X+2

当x>0时，7>2^X-=-V3；当且仅当xq,即时等号成立，

假设不成立，

-2,G)F(x)

/.X2,—x―中至少有一个不小于遮…(14分)

【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及反证法的应用，是一

道中档题.

22.已知矩形ABCD中，AB=2&,BC=1.以AB的中点0为原点建立如图所示的平面直角坐

标系xoy.

(1)求以A,B为焦点，且过C,D两点的椭圆的标准方程;

(2)过点P(0,2)的直线1与(1)中的椭圆交于M,N两点，是否存在直线1,使得以

线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由.

参考答案：

【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的

综合问题.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】（1）由题意可得点A,B,C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知

2a=AC+BC,求得a,进而根据b,a和c的关系求得b,则