北京西城2017-2018第二学期高二期末(理科)试题及答案

学习文档仅供参考学习文档仅供参考北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高二数学〔理科〕2018.7高二数学〔理科〕2018.7试卷总分值：150分考试时间：120分钟本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.一,2-i1.复数——1+i〔A〕一〔A〕一42〔B〕\：2〔C〕1〔D〕0〔A〕1-3i〔B〕3-3ir13.〔C〕7-Xi22,、33・〔D〕T--i222.假设函数f(x)-sinx，则f(4)+f'(4)=〔 〕3.设函数f(x)-ax3+bx2+cx+1的导函数为f'(X)，假设f'(X)为奇函数，则有〔〔B〕〔B〕b-0〔C〕a-0,cw0〔D〕a-c-04.射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分.已知某运发动每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是〔 〕〔A〕2.1〔B〕2〔C〕〔A〕2.1〔B〕2〔C〕0.95.已知一个二次函数f(x)的图象如下图，那么f1〔A〕1〔B〕—2〔C〕3〔D〕2〔D〕0.63-1.有5名男医生和3名女医生.现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有〔〔A〕45〔A〕45种〔B〕60种〔C〕90种〔D〕120种x0为f(x)的一个极大值点，则实数a的.已知函数f(x)-(1-a)ex0为f(x)的一个极大值点，则实数a的取值范围是1 〕〔A〕（—g,0） 〔B〕（4,+s）〔C〕（-g,0）（4,+8） 〔口〕前三个答案都不对.某个产品有彳假设干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为A,B,C,D,E,F,G.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.假设加工工序Y必须要在工序X完成后才能开工，则称X为Y的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时〕列表如下:工序ABCDEFG加工时间3422215紧前工序无C无CA,BDA,B现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（ 〕（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.〕〔A〕11个小时〔B〕10个小时〔C〕9个小时〔D〕8个小时第二部分〔非选择题共第二部分〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上..函数f(x)=nx的图象在x=4处的切线的斜率为.2.在(X-)4的展开式中，常数项是.〔用数字作答〕X.已知某随机变量。的分布列如下〔qeR〕：01-1P3q那么匕的数学期望E&)=，匕的方差DG)=..假设4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相，则其中任意2名教师不相邻的站法有 种.〔用数字作答〕ex.设函数f(x)= ，其中a>0.假设对于任意xeR,f(x后0，则实数a的取值范围是—.1+ax214.某电影院共有n(n<3000)个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人〔同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场〕.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n的可能取值有个.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．〔本小题总分值13分〕a在数列｛a｝中，a-1,a=«—，其中n=1,2,3,.n1 n+12a+1n〔I〕计算a,a,a的值； …234〔II〕猜想数列｛a｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明.n16．〔本小题总分值13分〕在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时答复一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是3，甲、乙两人都答复错误的概率是-1，乙、丙两人都答复正确的概率是-.设每4 12 4人答复下列问题正确与否是相互独立的.〔I〕求乙答对这道题的概率；〔I〕求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.17．〔本小题总分值13分〕设a,beR，函数f(x)-3x3+ax2+bx在区间(-1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减.(I)假设a=-2，求b的值；(II)求函数f(x)在区间［1,4］上的最小值〔用b表示〕.18．〔本小题总分值13分〕甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88,91,92,96乙队89,93,9,92乙队记录中有一个数字模糊〔即表中阴影部分〕，无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m表示．〔I〕在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；〔II〕当m=5时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为x，求随机变量X的分布列；〔111〕如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m的取值集合.〔结论不要求证明〕19．〔本小题总分值14分〕设函数f(x)=(x-2)ex一a(x-1)2，其中aeR.〔口〕当a<0时，求函数f(x)的极值；〔。当a>0时，证明：函数f(x)不可能存在两个零点.20．〔本小题总分值14分〕已知函数f(x)=xlnx+2.〔I〕求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；〔II〕假设函数y=f(x)+ax在区间(d+⑹上为单调函数，求实数a的取值范围;2〔111〕设函数g(x)=x-一，其中x>。.证明：g(x)的图象在f(x)图象的下方.x北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1.C2.1.C2.B3.D4.A5.C6.A7.B8.A二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.c1 C4 1 89. 10.24 11.—,—4 3 912.1440 13.(0,1] 14.12注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分..〔本小题总分值13分〕TOC\o"1-5"\h\z111〔1〕解：由题意，得a=-,a=,a=. 3分23 35 471

〔II〕解：由a,a,a,a猜想a=-~~-. 5分1 2 3 4n2n-1以下用数学归纳法证明：对任何的neN*,an1证明：①当n=1时，由已知，得左边a=1,右边 =1,1 2x1—17分所以n=17分18分②假设当n=k(keN*)时，a= 8分k2k-1贝Un贝Un-k+1时，a=-a-=——k+1 2a+1k2x12k-1,1+1 2k+1 2(k+1)-12k-11212分所以当n=k+1时，等式也成立.根据①和②，可知对于任何neN*,an—成立.2n-113分.〔本小题总分值13分〕TOC\o"1-5"\h\z〔I〕解：记甲、乙、丙3人单独答对这道题分别为事件A,B,C, 1分设乙答对这道题的概率P(B)=x,由于每人答复下列问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(A-B)=P(A)-P(B)=(1-3)x(1-x)=— 4分4 12解得x=2,3所以，乙对这道题的概率为P(B)=2. 6分3〔II〕解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件X,丙答对这道题的概率P(C)=y, 7分由〔I〕，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(B-C)=P(B)-P(C)=2xy=4, 9分解得y=3. 10分甲、乙、丙三人都答复错误的概率为p(a-B-C)=p(a)-p(B)-p(C)323=(1——)(1——)(1--)43812分12分96因为事件“甲、乙、丙三人都答复错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，13分13分所以，所求事件概率为P(M)=1--=—.969617.〔本小题总分值13分〕TOC\o"1-5"\h\z〔I〕解：求导，得f'(%)=％2+2ax+b. 1分因为函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，所以f'(1)=1+2a+b=0. 3分又因为a=-2,所以b=3，验证知其符合题意. 4分〔II〕解：由〔I〕，得1+2a+b=0，即2a=-b-1.所以f(x)=-x3-b-iix2+bx,f(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1). 5分32当bW1时，得当xG(1,+8)时，f(x)=(x-b)(x-1)>0,此时，函数f(x)在(1,+8)上单调递增.这与题意不符. 7分当b>1时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(-8,1)1(1,b)b(b,+8)f'(x)+00+f(x)极大值极小值TOC\o"1-5"\h\z所以函数f(x)在(-8,1),(b,+8)上单调递增，在(1,b)上单调递减.由题意，得bN3. 9分40所以当b三4时，函数f(x)在［1,4］上的最小值为f(4)=~3°-4b； 11分11当3Wb<4，函数f(x)在［1,4］上的最小值为f(b)=--b3+—b2,6 240-12b综上，当b三4时，f(x)在［1,4］上的最小值为4012b；当3Wb<4,f(x)在［1,4］上的最311TOC\o"1-5"\h\z小值为一一b3+b2. 13分62-1b3+1b2,3<b<4,(或写成：函数f(x)在［1,4］上的最小值为g(b)=］」 2 〕."-4b, b2i3.〔本小题总分值13分〕〔I〕解：设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件A, 1分依题意m=0,1,2,,9，共有10种可能. …………2分由乙队平均得分超过甲队平均得分，得1[89+93+(90+m)+92]>1(88+91+92+96),44解得m>3，所以当m=4,5,6,,9时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能.……4分所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率P(A)=-=3. 5分105〔II〕解：当m=5时，记甲队的4次比赛得分88,91,92,96分别为A1,A2,A3,A4,乙队的4次比赛得分89,93,95,92分别为B,B,B,B,1234则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4x4=16种，它们是：(A,B),(A,B), (A,B),(A,B), (A,B),(A,B) ,(A,B), (A,B) ,(A,B),(A,B),TOC\o"1-5"\h\z11 12 13 14 21 22 23 24 31 32(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，………6分33 34 41 42 43 44则这2个比赛得分之差的绝对值为X的所有取值为0,1,2,3,4,5,7. 7分因此P(X=0)=—，P(X=1)=—=1，P(X=2)=—=1，P(X=3)=—，P(X=4)=—，16 164 168 16 16P(X=5)=—，P(X=7)=—=—1 9分16 168所以随机变量X的分布列为：X0123457P11648136161168TOC\o"1-5"\h\z…………10分〔山〕解：mg{7,8,9}. 13分.〔本小题总分值14分〕〔I〕解：求导，得f(x)=(x-1)ex-2a(x-1)=(x-1)(ex-2a), 2分因为aW0，所以ex-2a>0,所以当xg(-巩1)时，f(x)<0，函数f(x)为减函数；当xg(1,+s)时，f(x)>0，函数f(x)为增函数.故当x=1时，f(x)存在极小值f(1)=-e；f(x)不存在极大值. 5分〔口〕证明：解方程f'(x)=(x-1)(ex-2a)=0，得x1=1,x2=In2a.e当In2a>1,即a>—时，2随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：%(-8,1)1(1,ln2a)ln2a(ln2a,+8)f'(%)+00+f(%)极大值极小值…………7分所以函数f(%)在(-8,1),(ln2a,+8)上单调递增，在(1,ln2a)上单调递减.又因为f(1)=一e<0,所以函数f(%)至多在区间(ln2a,+8)存在一个零点； 9分e当ln2a=1，即a=时，2因为f(%)=(%—1)(e%-2a后0〔当且仅当％=1时等号成立〕,所以f(%)在R上单调递增，所以函数f(%)至多存在一个零点； 11分e当ln2a<1,即a〈一时，2随着%的变化，f'(%)与f(%)的变化情况如下表：%(-8,ln2a)ln2a(ln2a,1)1(1,+8)f'(%)+00+f(%)极大值极小值…………12分所以函数f(%)在(-8,ln2a),(1,+8)上单调递增，在(ln2a,1)上单调递减.又因为a〉0,所以当％W1时，f(%)=(%一2)e%一a(%-1)2<0,所以函数f(%)至多在区间(1,+8)存在一个零点.TOC\o"1-5"\h\z综上，当a〉0时函数f(%)不可能存在两个零点. 14分.〔本小题总分值14分〕〔I〕解：求导，得f'(%)=ln%+1, 1分又因为f(1)=2,f'(1)=1,所以曲线>=f(%)在点(1,f(1))处的切线方程为%一丁+1=0. 3分〔II〕解：设函数F(%)=f(%)+a%=%ln%+a%+2,求导，得F'(x)=lnx+a+1,因为函数F(x)=f(x)+ax在区间(e,+s)上为单调函数，所以在区间(e，+s)上，F'(x)20恒成立，或者F'(x)W。恒成立， 4分又因为eia।+1e(e,+s)，且F'(eia1+1)=|a|+1+a+1>0,所以在区间(e，+s)上，只能是F'