2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 　 第一章　2-2　第1课时　等差数列前n项和的推导及初步应用 课件（33张）

激趣诱思高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目,1+2+…+100的和是多少?”过了两分钟,正当大家按“1+2=3,3+3=6,4+6=10……”的方法算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5050.”老师问:“你是如何算出答案的?”高斯回答说:“因为1+100=101,2+99=101,……,50+51=101,所以101×50=5050.”这个故事告诉我们:要像数学王子高斯一样善于观察,敢于思考,从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.这个小故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法——“倒序相加”法.知识梳理一、等差数列的前n项和对首项为a1,公差为d的等差数列{an},设Sn是等差数列{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.注意等式两端角标“n”的一致性

微判断(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.(

)(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.(

)√×二、等差数列的前n项和公式

微判断(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.(

)(3)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(

)√√√微练习等差数列{an}中a1=2,a2=3,则其前10项的和S10=

.

答案

65解析

由a1=2,a2=3得d=1,故S10=10a1+×10×9d=10×2+45=65.三、数列中an与Sn的关系对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有an=名师点析(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式.微练习已知数列{an}的前n项和Sn=3n,则an=

.

解析

当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,当n=1时,代入an=2×3n-1得a1=2≠3.课堂篇探究学习探究一等差数列前n项和公式的基本运算例1在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.反思感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时,要注意方程思想和整体代换思想的运用.(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二.变式训练1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2018,S6-2S3=18,则S2020=(

)A.-2018 B.2018C.2019 D.2020(2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),当首项a1和公差d变化时,若a1+a8+a15是定值,则下列各项中为定值的是(

)A.a7 B.a8

C.S15 D.S16答案

(1)D

(2)BC探究二由数列{an}的前n项和Sn求an例2已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解

根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2,n∈N+),反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an的表达式,最后验证a1是否符合an的表达式,若符合则统一用一个式子表示,不符合则分段表示.延伸探究若将本例中前n项和改为Sn=n2+n+1,求数列{an}的通项公式.探究三等差数列在实际生活中的应用例3在我国古代,9是数字之极,是尊贵的象征,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?解

(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.反思感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.变式训练2现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为

.

答案

10解析

钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1根.当n=19时,S19=190;当n=20时,S20=210>200.∴当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.素养形成一题多解——探求等差数列前n项和中的比值问题

答案

A当堂检测1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=(

)A.18 B.20 C.22 D.24答案

B2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于(

)A.9 B.8 C.7 D.6答案

A解析

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以a