北师大版九年级数学上册 （认识一元二次方程）一元二次方程教育教学课件

第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程

情景导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？解：如果设所求的宽为x

m

,那么地毯中央长方形图案的长为

m,宽为

m,根据题意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化简：2x2-

13x+11=0①该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？xx(8–2x)xx(5–2x)探究2：观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：

,

,

,

.

根据题意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化简得，x2-8x

-20＝0.②该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙

m.如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙

m,根据题意，可得方程：探究3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化简得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？活动总结观察上述方程①、②、③，它们有什么共同特点呢？2x2－13x＋11＝0

①x2－8x－20＝0②x2＋12x－15＝0③特点：1.只含有一个未知数；

2.未知数的最高次数是2；

3.整式方程．归纳总结

方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次项，

a是二次项的系数，bx是一次项，

b是一次项系数，c是常数项．应用举例例1

下列方程哪些是一元二次方程？为什么？7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－

－1＝0;(4)＝0；(5)x2＋2x－3＝1＋x2.【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项．

关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k_______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程．【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程．例2≠±1＝－1例3a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.

用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．点拨将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.例41．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为

(

)A．x2＋

x＋

＝0

B．x2－6x－3＝0C．x2－

x－

＝0

D．x2－

x＋

＝02．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________随堂练习2x2－x－7＝0

C3.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2.4.(1)如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π

取3）.解：由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2

cm2.整理，得根据题意有，200cm150cm(2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率

x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，整理，得

25x2＋50x－11＝0②根据题意有，

75(1＋x)2＝108一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；未知数的最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；课堂小结与作业2.1.1认识一元二次方程第1课时北师大版八年级上册

教学目标1.理解一元二次方程的概念.2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.情景导入1.什么叫方程？我们学过的方程有哪些？一元一次方程二元一次方程分式方程含有未知数的等式叫做方程.2.什么叫一元一次方程？

含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.新知讲解1.幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2

的地毯

,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？(8–2x)(5–2x)xxxx解：如果设所求的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为

m,宽为

m,根据题意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化简：2x2-

13x+11=0

.①该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？新知讲解2.观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：

,

,

,

.根据题意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化简得，x2-8x-20＝0.②该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？去括号、移项、合并同类项新知讲解解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙

m.如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙

m,根据题意，可得方程：3.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？6x+672+(x+6)2=102.化简得，x2+12

x-

15=0.③该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？新知讲解

(8－2x)(5－2x)

=182x2-13x+11=0x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2x2-8x-20=072＋(x＋6)2

＝102x2＋12x－15＝0由上面三个问题，我们可以得到三个方程：上述三个方程有什么共同特点？只含有1个未知数未知数的最高次数是2都是整式方程新知讲解一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0(1)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2判定条件：新知讲解ax2+bx+c=0二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a≠0一元二次方程的一般形式：新知讲解特殊形式特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax2+bx=0(a≠0，b≠0)ab0ax2+c=0(a≠0，c≠0)a0cax2=0(a≠0)a00练一练二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．3x2－8x－10＝0解：化为一般形式为其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.课堂练习1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是(

)A．a≠0B．a＝1C．a≠1D．a为任意实数C2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为(

)A．±3B．3C．－3D．以上都不对C课堂练习3．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________．4．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_________时，它是一元一次方程；当m满足__________时，它是一元二次方程．a≠1m＝－2m≠－2课堂练习5．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．9x2＋12x＋4＝4x2－24x＋369x2－4x2＋

12x＋24x＋4－36＝0

二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为－325x2

＋36x

－32＝0解：将原方程化简为：

9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)课堂练习6.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手1