矩阵的初等变换及其应用

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矩阵的初等变换及其应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）线性代数第一次讨论课1;要求2;正文3;个人总结丁俊成00101209第一部分：要求线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。第一次讨论课内容矩阵初等变换及其应用请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。两个矩阵的等价两个矩阵的乘积将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型求矩阵的秩求可逆矩阵的逆矩阵求线性方程组的解判断向量组的线性相关性求向量组的秩与极大无关组求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）第二部分：正文矩阵的初等变换及其应用矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。一．两个矩阵的等价矩阵等价的定义为：若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；矩阵等价的实现方式在于矩阵的等价转换，即行变换和列变换及其组合，在后面的运用中相当广泛，主要方面就是求矩阵的逆矩阵，将矩阵化为行阶梯型列阶梯型标准型及求矩阵的秩。上述几个问题后文会专门提到，这里需要强调的是他们的最基本原理就是矩阵的等价，等价转换。下面举一个例子来说明矩阵的等价和等价转换：1显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。矩阵大部分应用中都要用到矩阵的等价，后文大部分例子中都会用到矩阵等价的知识和相关性质，所以不多举例。二．两个矩阵的乘积在研究向量的线性变换时，为了方便，引进了矩阵的乘法的运算，其定义如下：设A=（）是一个m*s的矩阵，B=（）是一个s*n的矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是m*n矩阵C=（），记为C=AB，其中(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。位于左边矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘；其乘积是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积矩阵的第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列的对应元乘积之和。所谓对应元，即第i行的列号与第j列的行号相同的元。矩阵乘法满足如下运算规律：(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+AC;(3)c(AB)=(cA)B=A(cB).其中c是数；(4)矩阵乘法需要注意的是：(1)矩阵乘法一般不满足交换律；特殊的，若AB=BA，则称AB乘法可交换；(2)两个非零矩阵乘积可能是零矩阵；(3)由AB=AC，不能得出B=C；根据定义，矩阵乘积的求解方法十分明显了，需要注意的是分块矩阵也可以进行矩阵的乘法，可以进行矩阵乘法的条件是分块矩阵整块的行列数满足左边列数和右边行数相等，并且对应相乘的小块也满足矩阵可以相乘的条件，可以相乘的矩阵进行释放分块都都是可以进行分块相乘的，分块矩阵相乘可以大大地简化计算。下面是一个矩阵乘法的实际例子，其中包括了矩阵乘法的实际意义及计算方法：一件产品一年上下四个季度的人工人成本和材料成本如下表：一季度二季度三季度四季度每件人工成本12010015090每件材料成本200240180220这个产品两年四个季度产量分别为：第一年第二年一季度10001500二季度12001600三季度900800四季度15001600求每年分别两种成本。解：设这个矩阵的四个元素即为所求答案。注：这样计算起来似乎没有多大实际意义，但是，运用到实际中时，这种问题若化为矩阵，即可利用计算机进行快速运算，其优势就显得十分明显了。三．将矩阵化为行阶梯形、行最简形及标准形将矩阵化为行阶梯形，行最简形及标准形用到的方法就是矩阵的初等变换，矩阵的初等变换三种方式上文都有提到，下面是三种形式的定义：满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵（简称阶梯形）。若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方；每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为0的行阶梯形称为行最简矩阵，简称最简形。对任何m*n矩阵A，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵我们称N为矩阵A的等价标准形。此标准形是有m，n，r完全确定的，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的个数。求解方法就是进行矩阵的行变换或者列变换，满足最终的条件就是最终结果了。具体例子就是第一个问题的转换过程，第一个问题最终的结果就是B为阶梯形，C为最简形。矩阵这些特殊形式的应用主要就是求矩阵的秩，最简形非零行的个数就是矩阵的秩，求矩阵的秩又有各个方面的应用。四．求矩阵的秩矩阵秩的定义：如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)，并规定零矩阵的秩为0.求矩阵秩的方法主要是将矩阵进行初等转换，根据定理初等变换不改变矩阵的秩，可以将矩阵进行初等变换到阶梯形，通过行阶梯形很容易看出矩阵的秩，其秩就是元矩阵的秩。矩阵的秩主要应用在于判断方程是否有解及根据方程是否有解判断的一些结论。关于矩阵秩的例子，还是就第一个说，原矩阵不容易看出矩阵的秩来，经过初等变换后，很容易看出阶梯形矩阵的秩为3，因此有的原矩阵的秩为3.通过矩阵秩判断方程解的问题，后面有关于判断线性方程组的解的专门讨论。五．求可逆矩阵的逆矩阵逆矩阵是矩阵中单独的一个分支，但是其求解等各种方法与矩阵基本方法规律相同。下面是矩阵的逆矩阵的定义：设A为n方阵，若存在你阶方阵B，使AB=BA=E则称A为可逆矩阵或A是可逆的，并且称B为A的逆矩阵。可逆矩阵具有唯一性，即A若可逆，其可逆矩阵是唯一的。关于可逆矩阵的求法，大致三种方法：(1)特殊的矩阵。1）矩阵为对角阵或者分块都为对角阵，可用特殊的方法求解。若矩阵为对角阵，逆矩阵就是每一个元素分别求倒数放到原来位置。若矩阵分块都为对角阵，可将每个小块分别求逆矩阵，然后将逆矩阵放到原来的位置即可。2）矩阵为两阶的矩阵，可运用公式求解（公式根据逆矩阵的定义推出）若ad-bc≠0，则矩阵可逆，且逆矩阵为(2)运用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。其原理如下：若A为n阶可逆矩阵，其逆也是n阶可逆矩阵，故A可表示为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。由逆矩阵定义，有即即有 若摆放方式不同也可以将A，E竖放在经过初等列变换可得逆矩阵与单位矩阵。与第一个问题相关的是，变换前后两个矩阵等价。根据公式，可知A的逆矩阵为.这个公式在使用时十分复杂，但是若用于理论及电脑计算就有较大优势。关于实际应用，下面举一个密码方面的例子：将26个英文字母按顺序逐一与数字对应后，“sendmoney”编码为19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接发出编码，很容易被人破译，显然这是不可取的，如何进行加密呢，可将式子表示为一个三阶方阵，乘以一个三阶方阵后密码的破译难度就大多了，问题是如何解密呢？根据式子AB=C，知B=A（-1）C.可知破译方式，即将得到的信息乘以逆矩阵就可以了。明文SENDMONEY对应的9个数值按3列被排成以下矩阵:矩阵乘积：对应密文编码为：81,77,93,62,73,79,38,32,44。合法用户用密钥乘上述矩阵即可解密得到明文最后得到的序列对应写出明文即可。这是实际问题的简化模型，只是阐述了其原理，具体实际上运用需要用到的工具和理论远多于这个。六．求线性方程组的解线性方程组可分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组，齐次线性方程组为非齐次线性方程组的一般性情况。判断线性方程组的解可用的工具目前有矩阵和行列式，下面分别阐述：利用行列式求线性方程组的解用行列式求解属于十分方便的方法，缺点是计算量大。是用的方法是克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式D=|A|≠0，则线性方程组有唯一解且，j=1,2,3,…,n;其中替换系数矩阵D中的第j列所称的行列式。显然，判断一个方程组是否有解即使要看系数行列式是否为0,。对于齐次线性方程组，显然有一组全为零的解，判断齐次线性方程组是否有非零解方法为如下定理：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式|A|=0.这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。利用矩阵判断线性方程组的解利用矩阵判断线性方程组的解必须要用到矩阵的秩的概念，上面专门讨论过，就开始讨论如何使用秩的求解。判断线性方程组的解有如下定理：n元线性方程组Ax=b，有解的充要条件是R（A）=R（B）；有唯一解的充要条件是R（A）=R（B）=n；有无穷多解的充要条件是R（A）=R（B）<n.（其中B为A的增广矩阵）注意：（1）的你否命题为：线性方程组Ax=b误解的充要条件是R（A）<R（B）.关于齐次线性方程组，判断其解有定理：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.这个定理有如下推论，对判断解十分有用：n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.通过以上讨论，线性方程组的判断已经很容易了，下一步就是要使用向量这个工具讨论线性方程组通解性质。下面就是求线性方程组通解的方法：关于基础解系的定义:齐次线性方程组Ax=0的解空间V的基称为该方程组的基础解系。基础解系的特解线性无关，且方程组任一解都基础解系解的线性组合。首先讨论线性方程组通解的性质：性质1：:性质2：性质3：性质4：有了以上性质加上有关定理就可以很简单的求出通解了，关于齐次非其次线性方程组通解的定理分别如下：定理1：定理2：根据以上性质及定理，加上前部分讨论的判断线性方程组是否有解的方法，现在已经可以很简单地判断并解出一个线性方程组的通解。下面举一个简单的例子来说明解线性方程组的方法：求非其次线性方程组的通解，并且由对应的齐次线性方程组的基础解系表示。解：对增广矩阵做初等行变换因而以上例子是有一个很简单而又不失普遍性的线性方程组求解过程，即：先判断方程组是否有解，在根据定理一判断对应齐次线性方程组的解空间维数，然后求出齐次线性方程组通解，根据定理二加上一组特解即可求出对应非其次线性方程组的通解。七．判断向量组的线性相关性线性相关的定义如下：设为n维向量，若存在一组不全为零的,使则称向量组线性相关；否则线性无关。线性表示的定义如下：设有两个向量组：;：;若向量组的每一个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示。又若向量组与向量组可以相互线性表示，则称向量组与向量组等价。向量组的线性相关有如下的性质：如果一个向量组的某个部分组线性相关，那么该向量组必线性相关。当m>n时，m个n维向量组成的向量组一定线性相关。设有两个向量组：若向量组线性无关，则向量组也线性无关；反之，若向量组线性相关，则向量组也线性相关。判断向量组线性相关性判断方法的定理有下面几个：向量组线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（)的秩小于向量的个数m；向量组线性无关的充要条件是R（A）=m。结合矩阵，上定理有如下两个推论：m个m维向量组线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（）的行列式|A|=0；线性无关的充要条件是|A|≠0；设A为m*n矩阵，则矩阵A的列向量线性相关（无关）的充要条件是R（A）<n(R(A)=n).矩阵A行向量线性相关（无关）的充要条件是R（A）<m(R(A)=m).向量组（m>=2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以有其余几m-1个向量表示。向量组线性无关，而向量组,b线性相关，则b可由线性表示，而且表示式是唯一的。若向量组：可由向量组：线性表示，且m>n,则向量组线性相关。该定理有如下两个推论：若向量组：可由向量组：线性表示，且向量组：线性无关，则m<=n.若两个线性无关组等价，则它们所含的向量个数相等。矩阵A经过初等行变换化为B，则矩阵A与B对应的列向量构成的列向量具有相同的线性组合关系；矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。线性相关作为向量间的关系与向量组的内在性质在向量领域应用广泛，是作为基础存在的。其应用与矩阵类似，可用来求解线性方程组等。八．求向量组的秩与极大无关组向量组的T的一个部分组满足：线性无关；向量组T的每一个向量都可由线性表示。则称是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。关于向量组秩的定义：向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩，记作R（）规定只含零向量的向量组的秩为0。极大线性无关组具有的性质为：极大性：向量组的极大线性无关组是所有与该向量等价的部分组中韩向量最多的向量组。极小性：向量组的极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向量最少的向量组。关于秩的性质有如下几条：矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。若向量组可由向量组表示，则向量组的秩不超过向量组的秩。该性质有如下推论：等价向量组的秩相等。求向量组的秩方法根据性质（1）可知，即把向量组看作以及矩阵求矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。还可以根据性质等价向量组的秩相等，将向量组做等价变换求秩，这个方法实质上和利用矩阵求的方法一样，因此，求向量组的秩的方法归根结底就是将像向量组看作熟悉的矩阵求解。向量组的秩的应用与矩阵的秩在矩阵中间的运用大致相同，是向量组的特征量，可以解决很多向量组的问题。九．求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）对角矩阵的定义：如果n阶方阵的主对角线以外的元全为零，即则称它为对角矩阵，记作.对角线上全为1的矩阵称为单位矩阵。对角矩阵特征如下：1.对角矩阵都是对称矩阵；2.对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；3.零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵；4.对角矩阵的行列式为的乘积。对角矩阵的运算：矩阵加法可用下式表示：矩阵乘法可用下式表示：求对角矩阵的逆表示如下：均不为零，若上述条件成立，则.求对角矩阵的n次方计算也十分简便，有定义有下面公式：对角矩阵的计算十分简单，因此运用也十分的广泛，实际中遇到问题应尽量转化为对角矩阵进行求解，可节省较多的计算工作。下面的问题就是如何将一个矩阵对角化以便利用对角矩阵相应的性质简化计算。所用到的工具有特征值和相似矩阵相关性质。先讨论方阵的特征值的概念：设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x使Ax=λx则称数λ为矩阵A的一个特征值，非零列向量x称为矩阵A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。求解方法就是利用特征多项式|λE-A|令值为零得到对应的特征方程求解。然后将对应的值代入方程|λE-A|x=0求出特征值对应的特征向量。线性组合每一个特征向量可得到全部特征向量。矩阵的特征值有如下有关性质及推论：定理1：设n阶方阵A=（）的n个特征值为则有：推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数0为矩阵A的特征值。定理2：设λ是方阵A的一个特征值，x是A的对应的特征值λ的特征向量。则有：当A可逆时，的特征值；当A可逆时，；f(x)是x的一元多项式，则f(λ)是f(A)的一个特征值，并且x是对应矩阵的特征向量。定理3：设是方阵A的n个互不相同的特征值，依次为与之对应的特征向量，线性无关。定理4：把A的m个互不相同的特征值所对应的m组各自线性无关的特征向量并在一起任是线性无关的。定理5：特征值λ的代数重数（对应特征方程解的重数）不小于其几何重数（对应特征向量个数）。再讨论相似矩阵：相似矩阵概念：设A,B为n阶矩阵，若存在n阶可逆方阵P，使则称A相似于B，记作A~B。对A进行上述运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变到B的相似变换矩阵。相似矩阵有如下性质：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。若n阶矩阵A~B，有：R(A)=R(B);|A|=|B|;tr(A)=tr(B);~;kA~kB,k为任意常数;~，m为任意非负整数;若f(x)是任意多项式，则f(A)~f(B).利用以上工具就可以讨论矩阵对角化的问题了。下面是矩阵可对角化的定义：如果n阶方阵A相似于对角矩阵Д,则称A可对角化。判断对角化有如下定理及推论：n阶方阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。如果n阶矩阵有n个互不相同的特征值，则A必可对角化。n阶方阵可对角化的充要条件是A的每个r重特征值恰有r个线性无关的特征向量。根据以上知识，判断一个矩阵是否可对角化就十分容易了。下面就是具体步骤：首先求出一个方阵的特征向量和特征值，根据判断是否可对角化的充要条件判断是否可对角化，若可对角化，对应的B即为几个特征值为对角线上元素的对角矩阵，P为对应每个特征值得特征向量，这样就解出了对角化问题。一个简单的例子利用性质求可对角化矩阵的n次方。方法如下:由于B为对角阵，很简单就可求出A的n次方了。利用矩阵可对角性质，可以大大简化很多计算，实际中应用十分广泛。第三部分：我的总结我对矩阵初等变换的理解矩阵是线性代数最基本的概念，而初等变换在矩阵这个领域里面又是最重要的工具，因此我认为矩阵的初等变换的重要性是不言而喻的，在学习线性代数的过程中也是贯穿始末的。书本第一章介绍了矩阵及其应用，求矩阵的逆这是离不开矩阵的初等变换的，在推导求逆矩阵的过程中，若没有初等变换就这种没有一般的求矩阵逆的方法，这是初等变换主要的作用之一。第二章主要内容是行列式，是另外一个系统的内容，初等但是在求行列式或者证明相关行列式的性质过程中，或者直接将行列式化为对应矩阵通过初等变换求解，或者运用初等变换对应的思想将行列式的行列进行“初等变换”，以归纳行列式的相应性质。初等变换也没有在这一章中淡出去。第三章是矩阵的秩与线性方程组，这一章内容是运用初等变换最多的地方，求矩阵的秩方法就是将矩阵初等行变换，写成行最简形，然后看非零行个数来判断矩阵的秩，可以说解决求矩阵的秩核心方法就是将矩阵初等变换（求矩阵所对应的行列式的值也可以，但是在手算时一般不会采用，因为矩阵阶数高于四阶时手算就过于复杂）。判断线性方程组的解在这里就是判断对应系数矩阵或者增广矩阵的秩，落实到计算过程中还是运用了矩阵的初等变换，因此，初等变换也贯穿了整个章节。第四章是向量空间，似乎又是一个不同的系统，但是仔细看完可以发现其核心思想不变。判断向量组的线性相关性就是判断向量组对应的矩阵所对应的齐次线性方程是否有非零解，进一步就是要判断其对应行列式是否为零或者秩是否小于阶数n，后者仍然要用到矩阵的初等行变换以求得非零行数在一步步转化判断最终结果。判断向量组的秩，就是判断极大无关组的向量个数，进一步可转化为判断对应齐次方程是否有非零解，这又回到第二章的问题上，还是可以通过初等变换解决问题。后面分析线性方程组解的结构问题，其中涉及判断对应解空间维数，这个要知道阶数和对应系数矩阵的秩，还是牵涉到矩阵的初等变换，最后求通解时一般用到的方法是先将系数矩阵化为行最简形然后确定自由量，最后写出线性无关的通解。第五章在讨论相似矩阵时，其求特征向量中运用到了求方程基础解系的方法，这是和初等变换直接相关的部分，后面应用中也时有用到初等变换知识。观察每一章都可以发现矩阵初等变换的影子，也印证了初等变换的重要性，在学习中可以以初等变换为一条主线来窜起相关知识点，个人认为能够熟练的运用初等变换加上对线性代数中相关性质定理的掌握，线性代数这门课程才算学好了。有关分块矩阵的初等变换与应用莆田学院数本042杨晔摘要：基于矩阵分块运算在高等代数学中的重要性，本文讨论了广义初等矩阵给出的分块矩阵初等变换及在矩阵中求矩阵的行列式，秩，特征值，以及求逆等方面的应用。关键词：广义初等矩阵，分块矩阵，初等变换.引言矩阵的分块是处理较高阶数的矩阵时常用的方法，使用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得较高阶数的矩阵化为较低阶数的分块矩阵，在矩阵运算中，我们有时把这些子块当作数一样来处理，从而简化了表示，便于计算，分块矩阵有加法，乘法，数乘，转置等运算的定义，也可进行初等变换。分块矩阵的初等变换是高等代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵的行列式，特征值，秩等各种性质及求矩阵的逆，解线性代数中有着广泛的应用。为此，如何直接对分块矩阵施行初等变换显得非常重要，本文的目的，就是讨论分块矩阵的初等变换及应用。广义初等矩阵和分块矩阵的初等变换先以常用的的分块矩阵为例，来对广义初等矩阵作定义：定义1形如的五类分块方阵称为广义初等矩阵。注1：上述各类广义初等矩阵中的每一个都是若干初等矩阵的乘积。定理广义初等矩阵都是可逆的，并且=；==右乘的情况以及其他广义矩阵都可类似证得相应结果，这里不再赘述。注2．在使用广义初等矩阵时，要注意所作的分块矩阵必须使分块乘法等运算能够进行。二．分块矩阵初等变换的应用用广义初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换，是矩阵运算中极为重要的方式，也是常用的手段。它能够使一些困难的问题简单化。下面我们分别给出它在行列式，矩阵的秩，矩阵求逆和矩阵的特征值等方面的应用。命题设都是阶方阵，可逆且，则证明：由分块矩阵乘法易知=两边取行列式，即得=====命题分别是和矩阵，证明=证明：由于=，所以==又由，得=即==命题设分别是和矩阵，则证明1）因为=故=但=所以即2）记，由于=，故又由于=故综合1），2）命题得证。命题4设分块矩阵，其中都是级可逆矩阵，试求。解：因为两边求逆得，故=例1求下列的逆矩阵解：记，则，易求得=故即===命题5设分别是矩阵，证明：。证明：由=，得====又由=，得====于是=故=以上我们只讨论了分块方式的矩阵初等变换，其实我们可以将分块初等变换进行延拓，将分块初等变换定义到更高阶的分块矩阵上，下面仅举一例加以说明。命题6设是阶方阵，=0，是阶单位矩阵，数满足，，则证明:由命题条件及分块矩阵的初等变换可得从而上式易知命题成立.上面我们虽然仅讨论了广义初等矩阵及相应的分块矩阵初等变换的几种常见应用,但足以看出分块矩阵的初等变换在矩阵运算中是很重要的.它的应用也是非常广泛的,而且也是需要更深入研究的.参考文献:[1]樊恽,钱吉林等,代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出版