北师大版九年级数学上册 （认识一元二次方程）一元二次方程教学课件

2.1认识一元二次方程

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.2.理解一元二次方程及其相关概念.3.经历估计一元二次方程解的过程,增进对方程解的认识,进一步培养估算意识和能力，发展数感.学习目标重点难点重点问题二观察下面等式:102+112+122

=132

+142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果将这五个连续整数中的第一个数设为x.那么怎样用含x

的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？分析：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：

,

,

,

.

x+1x+2x+3x+4x+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2问题三如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程?分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙

m.6x+6(x+6)2+72=102.由上面三个问题，我们可以得到三个方程：新知学习(8-2x)(5-2x)=18，x+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72=102.这三个方程有什么共同特点？上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成

ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程(quadraticequationwithoneunknown).我们把ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，

a，b分别称为二次项系数和一次项系数.针对训练1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.2.把方程(3x+2)2=4(x-3)2

化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.x2+(x+1)2=(x+2)2解：9x2+12x+4=4(x2-6x+9)9x2+12x+4=4x2-24x+365x2+36x-32=0二次项系数：5一次项系数：36常数项：-32还有其他方法吗？你能设法估计问题一中四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗？我们知道，x

满足方程(8-2x)(5-2x)=18.(1)x

可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.(2)你能确定x

的大致范围吗？思考x

小于0时，(8-2x)>8，(5-2x)>5，(8-2x)(5-2x)>40.故不可能.x

大于4时，(8-2x)小于0，不符合实际，x

大于2.5时，(5-2x)小于0，不符合实际.0<x<2.5.(3)填写下表：(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流.x0.511.52.5(8-2x)(5-2x)

2818100x=1问题三中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，也就是x2+12x-15=0.(1)小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？不正确，1+12-15=-2.距离是2m不可能，4+24-15=13.距离是3m不满足方程，不是方程的解小亮把他的求解过程整理如下:x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以1<x<1.5，进一步计算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1<x<1.2

.针对训练五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和.你能求出五个整数分别是多少吗？解：设第一个数为

x，则可列出方程

x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化简可得x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，即x2-8x-20=0.列表：x-4-2024681012x2-8x-20280-20-32-36-32-20028解出x=-2或10，这五个数分别是-2,-1,0,1,2或者10,11,12,13,14.课堂小结一元二次方程概念是整式方程；只含一个未知数；最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

解一元二次方程（“两边夹”方法）确定其解的大致范围列表、计算进行两边“夹逼”……求得近似解估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间．第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程

情景导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？解：如果设所求的宽为x

m

,那么地毯中央长方形图案的长为

m,宽为

m,根据题意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化简：2x2-

13x+11=0①该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？xx(8–2x)xx(5–2x)探究2：观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：

,

,

,

.

根据题意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化简得，x2-8x

-20＝0.②该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙

m.如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙

m,根据题意，可得方程：探究3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化简得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？活动总结观察上述方程①、②、③，它们有什么共同特点呢？2x2－13x＋11＝0

①x2－8x－20＝0②x2＋12x－15＝0③特点：1.只含有一个未知数；

2.未知数的最高次数是2；

3.整式方程．归纳总结

方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次项，

a是二次项的系数，bx是一次项，

b是一次项系数，c是常数项．应用举例例1

下列方程哪些是一元二次方程？为什么？7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－

－1＝0;(4)＝0；(5)x2＋2x－3＝1＋x2.【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项．

关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k_______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程．【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程．例2≠±1＝－1例3a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.

用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．点拨将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.例41．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为

(

)A．x2＋

x＋

＝0

B．x2－6x－3＝0C．x2－

x－

＝0

D．x2－

x＋

＝02．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________随堂练习2x2－x－7＝0