【数学课件】函数的极值 2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值人教A版（2019）选择性必修第二册新知导入问题：

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？新知讲解函数的极值观察图5.3-9，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？新知讲解函数的极值探究如图5.3-11，函数

y=f(x)在

x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系

？

y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？新知讲解函数的极值把

a

叫做函数

y=f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数

y=f(x)的极小值；新知讲解函数的极值把b

叫做函数

y=f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数

y=f(x)的极大值.合作探究极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.函数的极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质思考：极大值一定大于极小值吗？合作探究解：

x-2(-2,2)2+0-0+f(x)单调递增单调递减单调递增因此，合作探究合作探究思考导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示：导数值为0的点不一定是函数的极值点

一般地，函数

y=f(x)在一点的导数值为0是函数

y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.合作探究一般地，可按如下方法求函数

y=f(x)的极值：1判断正误.课堂练习(1)函数的极大值一定比极小值大．(

)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(

)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)单调函数不存在极值．(

)××√√课堂练习2已知定义在R上的函数f(x)恰有3个极值点，则

f(x)的导函数的图象可能为（

）解：对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右两边的导数值异号.故A与C对应的函数

f(x)只有2个极值点；

B对应的函数

f(x)有4个极值点；D对应的函数

f(x)有3个极值点.D课堂练习

A．b>0,c>0B.b<0,c>0C.b>0,c<0D.b<0,c<0解：A由函数

f(x)的图象知

f(x)先递减，再递增，再递减，

f(0)=0，可知d=0，∴f′(x)先为负，再变为正，再变为负，∴a<0∵0在增区间内，课堂练习解：x-1(-1,3)3+0-0+y单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴当x=-1时，函数y=f(x)有极大值，且

f(-1)=10；当x=3时，函数y=f(x)有极小值，且

f(3)=-22.课堂总结函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近