第05讲椭圆精讲

第05讲椭圆目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：椭圆定义辨析 5高频考点二：利用椭圆定义求椭圆标准方程 7高频考点三：椭圆中焦点三角形问题 10高频考点四：椭圆中最值问题 14高频考点五：椭圆的标准方程 18高频考点六：椭圆中长轴、短轴、焦距 21高频考点七：椭圆的离心率问题 23高频考点八：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 28第四部分：数学文化题 32第一部分：知识点必背知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形定义的集合语言表述集合.知识点二：椭圆的标准方程和几何性质1、椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，知识点三：常用结论1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2），，；（3）,，；（4）椭圆通经长=第二部分：高考真题回归1．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.2．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．3．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A第三部分：高频考点一遍过高频考点一：椭圆定义辨析典型例题例题1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【详解】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.例题2．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在【答案】B【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即，∴点的轨迹为椭圆.故选：B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点、在上，若，则的最大值为（

）A．9 B．20 C．25 D．30【答案】C【详解】根据椭圆定义可得：，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，则的最大值为25，故选：C.例题4．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考期中）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则【答案】4【详解】由椭圆的方程，可知，又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，，又，则.故答案为：4.练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（

）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】A【详解】，故，又，根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线【答案】C【详解】解：因为（当且仅当时，等号成立，所以，当且时，，此时动点的轨迹是椭圆；当时，，此时动点的轨迹是线段．故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】C【详解】由椭圆的定义可得，所以由基本不等式可得，当且仅当时取得等号，故选:C.4．（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于.【答案】14【详解】设左、右焦点为,设，由题得因为，所以.所以点P与另一个焦点的距离等于14.故答案为：14高频考点二：利用椭圆定义求椭圆标准方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图，由题意得：，，其中，所以，由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，则，解得：，故动圆圆心M的轨迹方程为.故选：D例题2．（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，即，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，则，，所以，，故方程为.故选：B.例题3．（2023秋·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期末）方程化简后为．【答案】【详解】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，即，，，∴方程为.故答案为：.练透核心考点1．（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】错解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：D.错因：忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.正解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B.2．（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是．【答案】【详解】因为M到顶点和的距离的和为，所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（），则，，所以，，M的轨迹方程为.故答案为：.3．（2023·高二课时练习）已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程．【答案】【详解】因为△ABC的周长为16，所以，设，因此顶点C的轨迹是以A（－3，0），B（3，0）为焦点不与横轴相交的椭圆，设，所以，所以顶点C的轨迹方程为.高频考点三：椭圆中焦点三角形问题典型例题例题1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【详解】据题意，四边形是矩形，设，，则有，，由此可得，所以的面积是，又的面积与的面积相等，所以的面积等于9.故选：C．例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆上有一点，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】C【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点，所以符合条件为直角三角形的点有6个，故选：C.例题3．（2023春·西藏林芝·高二校考期末）短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于、两点，则的周长为【答案】20【详解】由椭圆的短轴长为8，可得，所以，又由离心率为，即，结合，可得，如图所示，由椭圆的定义，可得，则的周长为.故答案为：.

例题4．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求(1)(2)的面积【答案】(1)48(2)24【详解】（1）因为椭圆方程为，则，即，可得，因为，则即，所以.（2）由（1）得，因为，所以.

练透核心考点1．（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】椭圆化成标准形式为,是椭圆左、右焦点，,设是椭圆上一点,则解得，的面积.故选：B.2．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】已知椭圆的离心率为，则，即.，则，，设，则，因为,所以，解得所以，所以，则直线的斜率为.故选：B.3．（2023秋·高二课时练习）一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为．【答案】12【详解】因为椭圆的短半轴长是，所以.离心率是，所以.由可得，即.根据椭圆的定义，可得的周长为.故答案为：12.4．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.【答案】/【详解】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：高频考点四：椭圆中最值问题典型例题例题1．（2023·高二课时练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【详解】解：设圆的圆心为，则，设，则，所以，当且仅当时取得最大值，所以．故选：B．例题2．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）已知是椭圆：的左焦点，是椭圆上任意一点，是圆：上任意一点，则的最小值.【答案】-2【详解】解：椭圆方程为：，，，，又圆方程可化为：，圆心坐标为，半径，设椭圆的右焦点为，则，当且仅当，，，共线时，取得等号，的最小值为，故答案为：.例题3．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知点为椭圆上的一动点，则的最小值为;【答案】【详解】设，则，，所以，因为在上单调递减，所以当时，有最小值，所以有最小值，故答案为：例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上一点，若点，则的最小值为．【答案】/【详解】根据椭圆的定义：，取得最小值时，即最小，如图所示：，当，，共线时取得最小值．的最小值为：﹒故答案为：.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,，，故，当且仅当分别在的延长线上时取等号.此时最大值为.故选：C.2．（2023·上海·高二专题练习）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为.【答案】【详解】由题意，椭圆，可得，即，根据椭圆的定义，可得，则，所以，当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，此时，所以的最大值为.故答案为：.3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是．【答案】【详解】解：设，，，，当时，取得最大值，故答案为：4．（2023·高二课时练习）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为.【答案】【详解】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，所，当且仅当M､D､A共线时取等号.故答案为：.高频考点五：椭圆的标准方程典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【答案】B【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，对于椭圆，因为，则，可得，且焦点在y轴上，所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，所以A、C、D错误，B正确.故选：B.例题2．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为方程表示椭圆，所以有，解得或．故选：C例题3．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：双曲线的焦点坐标为：，即椭圆的焦点为，又长轴长为6，即，所以椭圆的方程为，故选：B例题中，已知椭圆：的面积为，以的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知：且，则，.所以椭圆标准方程.故选：B练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据题意可设椭圆方程为，易知，且，解得；所以，故椭圆方程为.故选：A2．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为的周长为，所以，则，又,的中点为，所以M的坐标为，故，则，结合，，解得，所以椭圆C的标准方程为，故选：A3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得，所以，，则，所以椭圆的方程为.故选：A.4．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的条件．【答案】必要不充分【详解】若方程表示椭圆，则且，且，是方程表示椭圆的必要不充分条件，即P是Q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分．高频考点六：椭圆中长轴、短轴、焦距典型例题例题1．（2023·全国·高三对口高考）椭圆：的焦距为（

）A．8 B． C．4 D．【答案】B【详解】由，得，所以椭圆：的焦距为为.故选：B.例题2．（2023·高二课时练习）椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．【答案】答案见解析【详解】解：化椭圆方程为标准方程得，则，所以长半轴长为5，短轴长为6，焦距为8，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，图像如图所示：练透核心考点1．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）椭圆的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由可得，故该椭圆焦点在轴上，，所以，，故焦点坐标为，故选：D2．（2023·高二课时练习）椭圆的长半轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为．【答案】586【详解】由可得，椭圆标准方程为；即，所以；因此长半轴长为，短轴长为，焦距为，离心率故答案为：5，8，6，高频考点七：椭圆的离心率问题典型例题例题1．（2023春·云南昆明·高二统考期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴，，，所以，由椭圆定义可得，故选：A

例题2．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知椭圆的右顶点为，，为上关于坐标原点对称的两点，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知：，设，则，可得，则，又因为点在椭圆上，则，整理得，可得，即，所以C的离心率.故选：A.例题3．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆的下焦点为，右顶点为，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，所以，把代入椭圆得，化简得，则椭圆的离心率为.故选：C.例题4．（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，点为椭圆上一点，若的最小值为6，则椭圆的离心率为.【答案】/【详解】由题可知，所以，，则，当点在的延长线上时，等号成立，所以，所以，因为，所以椭圆的离心率为.故答案为：.

例题5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知椭圆，过左焦点作直线在轴上方交椭圆于点，过右焦点作直线交直线于点（在椭圆外），若为正三角形，则椭圆的离心率为.【答案】【详解】因为为正三角形，所以，因为轴，所以，，所以，又，所以，在中，，所以椭圆的离心率为.故答案为：.

练透核心考点1．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为以为圆心，为半径的圆与交于点，所以，，因为，所以，又由定义可得，所以，所以故选：B．

2．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，又该圆与直线相切，如图，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，因此，即，所以离心率为.故选：C.3．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于yAP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为；【答案】【详解】由题可得，设.则，又，则.则.故答案为：4．（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在椭圆上，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，△的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为.【答案】【详解】由已知及平面几何知识得：圆心、在的角平分线上，如图，设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，所以，由椭圆的定义知，则，有，，，，又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为，因为，所以，即，整理得，故椭圆的离心率.故答案为：高频考点八：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题典型例题例题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量、和单位向量满足，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】设，，由可得，化简可得，即.设，则由，可得，故的轨迹为以为焦点，的椭圆，其方程为.设夹角为，则，由圆与椭圆的性质可得，，，，故当同向，均与轴负同向时，取得最大值.故选：C.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，若点满足且，则的最小值为（

）.A．3 B． C． D．1【答案】C【详解】由椭圆方程可得出焦点，因为，所以，由勾股定理得，即求的最小值可先求的最小值.设，由图像得，则代入，所以当取最小，即，，故选：C练透核心考点1．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解法一：由题意知，，设.则.因为，所以，所以，所以．解法二：由题意知，．设，取线段AF的中点N，则，连接MN.则.因为，所以，所以，所以．故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【详解】设，由可知，，，，，，时，的最小值为，解得.当时，的最大值为.故选：D第四部分：数学文化题1．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙