广东省高州市2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学试题

第PAGE"pagenumber"17页，共NUMPAGES"numberofpages"17页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"17页广东省高州市2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，，则（

）A． B． C． D．2.设复数，则（）A．1 B．2 C． D．3.如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．4.设集合.，那么“且”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．6.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（）A．3 B．4 C．5 D．67.已知正六边形的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点，得到线段，则的概率为（）A． B． C． D．8.如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（

）A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱10.如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（

）A． B．是函数，的一个对称中心C． D．函数在区间上是减函数11.若，则下列结论正确的是（

）A． B．C．， D．12.已知函数，则下列说法正确的是（

）A．只有一个极值点 B．设，则与的单调性相同C．在上单调递增 D．有且只有两个零点三、填空题（本大题共4小题）13.当为常数时，展开式中常数项为，则．14.在中，若，则是三角形．15.已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为．16.若，，则．四、解答题（本大题共6小题）17.从条件①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．18.年月日既是中华人民共和国第个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出人，经统计这人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有人．将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值并估计这人的平均年龄；（2）把年龄在第，，组的居民称为青少年组，年龄在第，组的居民称为中老年组，选出的人中通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，问是否有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？附：19.已知数列的前项和为．若为等差数列，，，求和的表达式；若数列满足，求．20.如图，在四棱柱中，底面，，，且，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值．21.已知点为椭圆上一点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点作直线，，与椭圆分别交于点，．（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线，的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值．22.设函数，，．（1）讨论的单调性；（2）当且时，函数，证明：存在极小值点，且．

参考答案1.【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法求集合，运用集合间的运算直接求解.【详解】，所以，故选：B．2.【答案】D【分析】先运用复数运算法则化简，再求模即可.【详解】，所以故选：D.3.【答案】B【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，，故选：B4.【答案】C【分析】根据充分性、必要性的定义，结合集合的交集定义进行求解即可【详解】当且成立时，根据集合的交集定义可知：，当成立时，根据集合的交集定义可知：且，故“且”是“”的充分必要条件，故选：C5.【答案】B【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，D，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；又由当时，排除A，D.故选：B．6.【答案】C【分析】通过点的坐标算出，再根据点以及点三点共线算出点坐标，再利用焦半径公式即可.【详解】由点在抛物线上得，设，由直线过定点得，解得（舍去2），所以故选：C.7.【答案】C【分析】先分析，然后列举基本事件，根据古典概型的概率公式直接求得.【详解】由已知得，，，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点，，得到以下15条线段：，，，，，，，，，，，，，，，其中满足的有以下6条线段：，，，，，，根据古典概型的计算公式得，的概率为.故选C.8.【答案】D【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2即得三棱柱的高，即为的长.【详解】由展开图可知，直三棱柱的底面是边长为的等边三角形，其外接圆的半径满足，所以．由得．由球的性质可知，球心到底面的距离为，结合球和直三棱柱的对称性可知，，故选D．9.【答案】AC【分析】由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选：AC．10.【答案】ACD【分析】根据函数图像得函数解析式为，进而判断函数图像性质.【详解】由题知，，函数的最小正周期，所以，故A正确；因为，所以，，解得，，又，所以，故C正确；函数，因为，所以不是函数的一个对称中心，故B错误；令，，得，，当时，，因为，所以函数在区间上是减函数，故D正确．故选：ACD．11.【答案】ABC【分析】利用均值不等式以及不等式性质即可判断.【详解】因为，所以，，所以，所以，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；因为，所以，，故C正确；因为，所以，，所以，故D错误．故选：ABC．12.【答案】ACD【分析】利用的二次求导，得到，，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项．利用函数的极值点即可判断选项.【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B错误；因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故C正确；因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故D正确．故选：ACD．13.【答案】【分析】求出二项展开式的通项，得到，即得解.【详解】的第项为，令，得，所以，解得．故答案为：14.【答案】等腰直角【分析】根据正弦定理，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由正弦定理可知：，因为，所以，由，当且仅当时取等号，即，有，所以，而，所以，，因此为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角15.【答案】【分析】根据题干求得圆的圆心及半径，再利用圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上确定圆的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为，所以圆心，半径为．由圆心在直线上，可设．因为与轴相切，与圆外切，于是圆的半径为，从而，解得．因此，圆的标准方程为．故答案为：16.【答案】【分析】由，两边取以为底的对数，得，由，令，则，从而可得，则，从而得出答案.【详解】由，两边取以为底的对数，得由，令，则所以，即所以，设，则所以在上单调递增，由以及，则由即，则故答案为：17.【答案】答案见解析.【分析】若选①，利用余弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积.若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积.若选③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可计算三角形的面积.【详解】解：选择①，因为，所以由余弦定理得，所以，所以由余弦定理得，而为三角形内角，所以，所以的面积为．选择②，因为，所以由正弦定理得，所以．又，所以，所以，而为三角形内角，所以，所以，所以的面积为．选择③，因为，所以由正弦定理得，即，所以．又，所以，所以，而为三角形内角，所以，所以的面积为．18.【答案】（1）；41.5；（2）是有.【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1建立等量关系即可求解.（2）前三组的人数是青少年中通过微信或微博表达对祖国的祝福的人数，则是中老年中通过微信或微博表达对祖国的祝福的人数，由通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，则是中通过短视频表达祝福的青少年人数，据此列出得列联表，代入公式计算即可.【详解】解：（1）由得，．这人的平均年龄为：．（2）前组人数为，由题意得列联表：通过短视频表达祝福通过微信或微博表达祝福合计青少年中老年合计，所以是有的把握认为通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．19.【答案】，；.【分析】设等差数列的通项公式，并结合条件列式求解即可；根据题干再构造出一组求和，两式做差得到，分步讨论进而得出.【详解】解：设等差数列的通项为（为等差数列的公差），则，解得，所以，．，①当时，，②由①②得，，，当时，，，所以当时，；当时，；当时，，所以.20.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证出，，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，由即可求解.【详解】（1）证明：因为，，所以，，因为，所以，所以，即．因为底面，所以底面，所以．因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如图，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．所以，，，设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得，所以，由图知二面角为锐角，所以二面角所成角的余弦值为．21.【答案】（1），离心率为；（2）证明见解析.【分析】（1）把点的坐标代入椭圆方程得到的一个方程，再由与抛物线的焦点相同再得的一个关系式，从而得到椭圆方程和离心率；（2）设直线的斜率为，然后联立直线与椭圆方程求得交点坐标，同理与椭圆的交点坐标，由斜率公式可得答案.【详解】（1）由题设，得，①且，②由①②解得，，所以椭圆的标准方程为，椭圆的离心率为．（2）直线的斜率为定值1.证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，．设直线的方程为，与椭圆的方程联立，并消去得，则，是该方程的两根，则，即．设直线的方程为，同理得．因为，，所以，因此直线的斜率为定值．22.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求，分别讨论和时与的解集，即可求解；（2）当时，，对其求导可得，再令，再