数学人教A版必修4导学案2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是正交分解的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向______的两个______向量i，j作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，__________对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对______叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在____轴上的坐标，y叫做向量a在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i＝______，j＝______，0＝______.【做一做2】已知基向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，m＝4i－j，则m的坐标是()A．(4,1) B．(－4,1) C．(4，－1) D．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标______就是终点A的坐标；反过来，终点A的______就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】平面直角坐标系中，任意向量m的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】B由于eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))是正交分解．2．(1)相同单位基底(2)有且只有一(x，y)xy(4)(1,0)(0,1)(0,0)【做一做2】C3．(x，y)坐标一一对应【做一做3】1由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量eq\o(AB,\s\up6(→))，该向量的起点是A，终点是B.②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量a＝(x，y)．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一求向量的坐标【例1】如图所示，已知点M(1,2)，N(5,4)，试求eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．分析：用基底i和j表示eq\o(MN,\s\up6(→))＝xi＋yj，则(x，y)是eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．反思：向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．题型二由向量共线求参数值【例2】设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋b与2a＋kb共线，求实数k的值反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa＋μb＝0(a，b不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三平面向量的正交分解及坐标表示【例3】已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】解：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝4i＋2j，所以eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标是(4,2)．【例2】解：∵向量ka＋b与2a＋kb∴存在实数λ使ka＋b＝λ(2a＋kb)即(k－2λ)a＝(kλ－1)b.∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2λ＝0，,kλ－1＝0))k2＝2.∴k＝±eq\r(2).【例3】解：设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．1．已知a＝(3,2x－1)，b＝(y＋1，x)，且a＝b，则xy＝________.2．如图所示，向量的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a|＝4，|b|＝3，a，b如图所示，求它们的坐标．答案：1．2∵a＝b，∴解得x＝1，y＝2，