直线与圆学案北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《直线与圆》一、知识点总结1.1直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，它的倾斜角为90°.2.直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.注意：直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.二、直线的斜率1.若直线l的倾斜角为α，则α=90°时，直线l的斜率不存在；α≠90°时，直线l的斜率k=tanα.2.斜率与倾斜角的对应关系图示   倾斜角αα=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率kk=0k>0k不存在k<03.已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1=x2，则直线l的斜率不存在；若x1≠x2，则直线l的斜率k=y注意：若已知两点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两点的横坐标是否相等”.4.直线的方向向量与斜率的关系(1)当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)；(2)当直线的一个方向向量为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k=yx三、两条直线平行的判定1.两条直线(不重合)平行的判定如下表：类型斜率存在斜率不存在前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2两直线的斜率都不存在⇒l1∥l2图示 注意：若l1，l2重合，则仍有k1=k2或l1，l2的斜率均不存在.四、两条直线垂直的判定1.两条直线垂直的判定如下表：图示 对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2=1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2五、倾斜角与斜率的关系及应用1.直线的倾斜角与斜率的关系(1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大；(2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大；(3)k=tanα0≤α<π，α≠π2由斜率k的范围截取函数图象，进而得到倾斜角α的范围；反过来，由倾斜角α的范围截取函数图象，进而得到斜率k的范围.六、直线斜率的应用1.若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)；反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)，则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B或C)，所以点A，B，C在同一条直线上.注意：若点A，B，C中的任意两点所在直线的倾斜角都为90°，且这两条直线有公共点，则A，B，C三点共线.2.形如y−bx−a的范围(最值)问题，可以利用y−b七、两条直线平行、垂直的判定1.判断两条不重合的直线是否平行的方法(1)利用直线的斜率判断：(2)利用直线的方向向量判断：分别求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，得到两直线是否平行的结论.2.判断两条直线是否垂直的方法(1)利用直线的斜率判断：在两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于1即可.特别地，当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也垂直.(2)利用直线的方向向量判断：设直线l1的方向向量为n，直线l2的方向向量为m，则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.八、两条直线平行、垂直的应用1.利用平行、垂直关系求待定参数的值或范围(1)作出示意图，确定问题中的平行、垂直关系，利用斜率、方向向量等条件列出相关方程(组)并求解.(2)充分分析图形特征，有多种情况的，要分类依次求解.(3)解题时要注意考虑斜率不存在的情况.1.2直线的方程一、直线的方程形式与适用条件名称点斜式斜截式两点式截距式一般式方程形式yy0=k(xx0)y=kx+by−y1(x1≠x2，y1≠y2)xa+y(a≠0，b≠0)Ax+By+C=0(A，B不同时为0)已知条件直线上一定点(x0，y0)，斜率k斜率k，直线在y轴上的截距b直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)直线在x轴上的非零截距a，直线在y轴上的非零截距b系数A，B，C适用范围不垂直于x轴的直线不垂直于x轴的直线不垂直于x轴和y轴的直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线任何位置的直线二、直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系斜截式：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2一般式：l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)l1，l2相交k1≠k2A1B2A2B1≠0l1∥l2k1A1l1，l2重合k1A1l1⊥l2k1·k2=1A1A2+B1B2=0三、直线方程的选择和求解1.求直线方程时对方程形式的选择一般有以下几类：①已知一点的坐标，一般选取点斜式方程，求解时根据其他条件确定直线的斜率.注意斜率不存在的情况.②已知直线的斜率，一般选用斜截式方程，求解时根据其他条件确定直线的截距.③已知两点坐标，一般选用两点式方程或点斜式方程，若两点是与坐标轴的交点，则用截距式方程.2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)确定已知直线斜率，再利用平行(垂直)关系得出所求直线的斜率，最后由直线的点斜式求方程.(2)利用待定系数法.已知直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，则与其平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(A，B不同时为0，C1≠C)，与其垂直的直线方程可设为BxAy+C2=0(A，B不同时为0)，再由直线所过的点确定C1或C2即可.四、利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题1.根据斜截式方程中k，b的几何意义确定对应函数的大致图象.2.方程中含参的直线过定点类问题常用的三种方法：①将方程化为点斜式：yy0=k(xx0)，其中k为参数，从而求得直线恒过定点(x0，y0).②分离参数法：将方程中的参数分离，把含x，y的关系式作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，所以令参数的系数和不含参数的式子为零，解方程组可得x，y的值，从而得到直线所过的定点的坐标.③赋值法：因为参数取任意实数时方程都成立，所以可给参数任意赋两个值，得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组可得x，y的值，从而得到直线过的定点的坐标.五、直线方程的应用1.实际问题中，经常会遇到过定点的直线，此时可以先设出直线的点斜式方程或斜截式方程，再综合其他知识解决问题，需要注意直线的斜率是否存在和直线在两坐标轴上的截距是否存在、是不是0等特殊情况.2.在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、线段长度等问题时，通常要先设出直线方程，再借助其他知识(如函数、基本不等式等)解决问题.1.3直线的交点坐标与距离公式一、两条直线的交点坐标1.两条直线的位置关系与相应方程组的解(1)利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系.已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，其中A1，B1不同时为0，A2，B2不同时为0，则方程组A1一组无数组无解直线l1与l2的公共点一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行(2)两条直线相交的判定方法：①联立直线方程解方程组，若有一组解，则两直线相交；②若两直线斜率都存在且不相等，则两直线相交；③若l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1与l2相交⇔A1B2A2B1≠0.2.求两相交直线的交点坐标，其关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.注意：若一条直线的方程是斜截式或易化为斜截式，则常常应用代入消元法解方程组；若直线的方程都是一般式，则常常应用加减消元法解方程组.3.设直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则过l1，l2交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数)，然后根据条件求待定系数.二、距离公式1.两点间的距离：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|=(x①此公式与两点的先后顺序无关.②原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|=x22.点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的距离d=|Ax3.两条平行线间的距离：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)间的距离d=|C三、利用坐标法解决平面几何问题1.利用坐标法解决平面几何问题的步骤(1)建立坐标系，尽可能将已知元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何结论.四、点到直线的距离公式的应用1.利用点到直线的距离公式时，一般先分析确定相应的点和直线，再利用公式计算求解.2.当所给条件不能明显确定所需的点和直线时，可考虑应用待定系数法，有时要结合几何图形的直观性，综合分析解决问题.五、平行线间距离公式的应用1.两条平行线间距离的求法(1)直接利用公式求解，代入公式时注意两直线方程中x，y的系数必须对应相等.(2)利用“转化与化归”思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.两条平行直线间距离公式的应用已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程，一般先设出直线方程，再利用两平行直线间的距离公式求解.六、常见的对称问题及应用1.对称点的求法(1)求点关于点的对称点坐标若点M(x1，y1)关于点P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得x=2a−(2)求点关于直线的对称点坐标设点M(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(A，B均不为0)的对称点为N(x，y)，则可根据M，N连线垂直于直线l，以及线段MN的中点在直线l上列方程组y−y(3)几个常用结论①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y).②点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=x的对称点为(y，x).③点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2ax，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2by).2.对称直线的求法(1)求直线关于点的对称直线求直线关于点的对称直线时，可在已知直线上任取两点，求其对称点，从而将问题转化为求点关于点的对称点问题，通过求出的两个对称点的坐标确定对称直线的方程；也可以利用关于点对称的两直线平行且已知点到两直线的距离相等来求解.(2)求直线关于直线的对称直线求直线l1关于直线l对称的直线l2时，若l1与l无交点，则可以利用l1，l2两直线平行且它们与直线l的距离相等来求解；若l1与l有交点，则可以求直线l1上任一点(l1与l的交点除外)关于直线l的对称点，那么该对称点以及l1与l的交点在直线l2上，由此可确定l2的方程.3.在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小的求法(1)若两定点A，B在直线l的异侧，则当点P为直线AB与l的交点时，点P到两定点的距离之和最小，最小值为|AB|.如图①，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.(2)若两定点A，B在直线l的同侧，如图②，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，此时点P到两定点A，B的距离之和最小.图①

图②4.在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差最大的求法类比3中方法，利用“三角形任意两边之差小于第三边”解决，必要时进行点关于直线的对称转化.七、与距离有关的最值问题1.与距离有关的最值问题的解题策略(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离或者两平行线间的距离问题.一般地，形如(x−a)(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.1.4圆的方程一、圆的标准方程与一般方程1.圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2，其中圆心为(a，b)，半径为r.2.圆的一般方程：当D2+E24F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程，表示以−D2，−E说明：对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，①当D2+E24F<0时，它不表示任何图形；②当D2+E24F=0时，它表示一个点−D【注意】二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时，需满足A=B≠0，C=0，且DA2+E二、点与圆的位置关系1.点M(x0，y0)与圆C：(xa)2+(yb)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)的位置关系及判断方法：位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|=r(x0a)2+(y0b)2=r2x02+y02+Dx点M在圆外|CM|>r(x0a)2+(y0b)2>r2x02+y02+Dx点M在圆内|CM|<r(x0a)2+(y0b)2<r2x02+y02+Dx三、圆的方程的求解1.几何法利用相关几何性质确定圆心和半径，即可得到圆的标准方程.相关几何性质如下：①圆心与切点的连线垂直于圆的切线；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③圆的半径r，弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；④圆的弦的垂直平分线过圆心；⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与l的交点即为圆心.2.待定系数法(1)根据题意设出所求圆的标准方程或一般方程；(2)根据已知条件建立关于参数的方程(组)；(3)解方程(组)，求出参数的值；(4)将求得的参数的值代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程.1.5直线与圆、圆与圆的位置关系1.5.1直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1.设圆C：(xa)2+(yb)2=r2(r>0)，直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0).圆心C(a，b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相交相切相离公共点个数210几何法d<rd=rd>r代数法Δ>0Δ=0Δ<0二、直线与圆的位置关系1.判断直线和圆的位置关系主要有几何法和代数法两种方法.几何法侧重图形的几何性质，较代数法步骤简捷，所以一般选用几何法.2.直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面，一是点到直线的距离与圆半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数.因此，若给出图形，可直接根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法求解，几何法计算量小，代数法可一同求出交点.解题时可根据已知条件做出恰当的选择.三、与圆有关的切线问题1.过点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法过定点P作已知圆的切线，当点P在圆内时，无切线；当点P在圆上时，有且只有一条切线；当点P在圆外时，有两条切线.(1)当点P在圆上时，求点P与圆心连线的斜率，若斜率存在且不为0，记其为k，则切线斜率为1k(2)当点P在圆外时，设切线斜率为k，由点斜式写出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径r解出k即可(若仅求出一个k值，则还有一条斜率不存在的切线).2.切线长的求法过圆外一点P可作圆的两条切线，我们把点P与切点之间的距离称为切线长.切线长可由勾股定理来计算.如图，从圆外一点P(x0，y0)作圆C：(xa)2+(yb)2=r2(r>0)的切线，则切线长为(x3.过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论(1)若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2；(2)若点P(x0，y0)在圆(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2；(3)若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)上，则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y+D·x0+x24.过圆外一点的切线有两条，可熟记下列结论(1)若点P(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图1，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2.(2)若点P(x0，y0)为圆(xa)2+(yb)2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图2，则直线AB的方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.(3)若点P(x0，y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x+y0y+D·x0+x2四、直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题1.直线与圆相交的弦长的求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2=d2+l2代数法若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标，然后用两点间的距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y=kx+b与圆的两交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦长l=|x1x2|==1+12.解决与中点弦有关问题的方法(1)利用根与系数的关系求出中点坐标；(2)设出弦的两个端点的坐标，利用点在圆上得到两个方程，通过作差求出弦所在直线的斜率，此法即为点差法；(3)利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.五、与圆有关的最值问题1.利用圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析并解决问题，常涉及的几何量有直线的斜率、截距，两点间的距离等.(2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决.(3)利用三角代换，若点P(x，y)在圆(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，则设x=a+rcos(θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最值.六、解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.1.5.2圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系的判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示    d与r1，r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1r2|<d<r1+r2d=|r1r2|d<|r1r2|(2)代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2联立两圆方程得x则方程组解的情况与两圆位置关系的相关结论如下：方程组的解2组1组0组两圆的公共点2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含二、两圆公切线条数和两圆的位置关系1.两圆公切线条数与两圆位置关系的相关结论如下：位置关系两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含图示    公切线条数43210三、两圆的位置关系1.一般利用几何法解决两圆位置关系的相关问题，其关键是正确找出圆心和半径，分析两圆圆心之间的距离与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系.四、两圆的公共弦问题1.两圆的公共弦所在直线方程的求法设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E124F1>0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2联立，得x①②，得(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0.③若两圆的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③，因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.有以下结论：i.当两圆相交时，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程.ii.当两圆外离时，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.iii.当两圆相切时，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是两圆的一条公切线方程.iv.若两圆(不重合)是等圆，则(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.2.两圆公共弦的长度的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：①将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线的方程；②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；③利用勾股定理求出公共弦的长度.3.求经过两圆交点的圆的方程的方法一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠1)，或者x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2]=0，再由其他条件求出λ即得圆的方程.典型例题训练1．（2023·北京丰台·统考一模）已知圆与轴相切，则（

）A． B． C．2 D．32．（2023·北京丰台·统考二模）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（

）A． B． C． D．83．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）若圆截直线得弦长为，则（

）A． B． C． D．4．（2023·北京房山·统考一模）已知直线与圆相交于M，N的最小值为（

）A． B． C．4 D．65．（2023·北京房山·统考一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．6．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·北京顺义·统考一模）若圆与y轴交于A，B两点，则（

）A．2 B．4 C． D．8．（2023·北京延庆·统考一模）若直线与圆相切，则等于（

）A． B． C． D．9．（2023·北京海淀·一模）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．10．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（

）A． B． C． D．11．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（

）A． B． C．1 D．12．（2023秋·北京东城·高三统考期末）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（

）A．B．C． D．13．（2023·北京东城·统考二模）已知点在圆上，过作圆切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．14．（2022春·北京密云·高三校考开学考试）设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．（2023·北京通州·统考三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．216．（2023·北京海淀·统考二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（

）A． B．1 C． D．217．（2023·北京门头沟·统考一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．18．（2023·北京顺义·高三统考期末）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．19．（2023·北京昌平·统考二模）已知点在直线上，点，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．5 D．720．（2023·北京平谷·统考一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为21．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．422．（2023·北京海淀·统考一模）已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（

）A． B． C． D．23．（2023·北京石景山·统考一模）已知直线:被圆:所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有（

）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条24．（2023·北京密云·统考三模）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（

）A． B． C． D．25．（2023·北京丰台·统考二模）已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是．26．（2023城·期末）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．27．（2023昌平统考期末）若直线与圆有公共点，则的最小值为.28．（2023·顺义·高三统考期末）已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为．29．（2023丰台·高三统考期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是．30．（2023·北京昌平·统考二模）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是.参考答案1【解】圆的圆心为，半径为.因为圆与轴相切，所以.故选：C2．【解】变形为，故圆心为，半径为1，的渐近线方程为，不妨取，由点到直线距离公式可得，解得，负值舍去.故选：C3．【解】圆的标准方程为，圆心为，圆的半径为，因为若圆截直线所得弦长为，所以，直线过圆心，则，解得.故选：C.4．【解】由圆的方程，可知圆心，半径，直线过定点，因为，则定点在圆内，则点和圆心连线的长度为，当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，由圆的弦长公式可得，故选：C5．【解】由题意，可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，取的中点，则，所以，故选：D6．【解】由于半径为1的圆（设为圆）经过点，所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆，到直线距离为，所以圆的圆心到直线距离的最大值为.故选：C7．【解】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D8．【解】圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为，直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即：，解得.故选：A9．【解】由圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径，则的面积，要使的面积的最小，则最小，又，即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离，，即的面积的最小值为．故选：C．10．.【解】由，圆心坐标为，由，所以直线的斜率为，因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，所以直线的垂直垂直平分线方程为：，故选：A11．【解】设为直线上任意一点因为过直线上任意一点，总存在直线与圆相切所以点在圆外或圆上，即直线与圆相离或相切，则，即，解得，故的最大值为.故选：A.12．【解】因为点在直线上，所以，即，则表示圆心为，半径为1的圆上的点，如图：由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值，设，由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1，即，解得：，由图分析得：直线的斜率的取值范围是.故选：B.13．【解】由题意得，当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，当的斜率存在时，设切线的方程为，则