圆的有关证明和计算题专题

...wd......wd......wd...《圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长〔或面积〕；②求线段比；③求角度的三角函数值〔实质还是求线段比〕。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：〔1〕假设切点明确，则“连半径，证垂直〞。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；〔2〕假设切点不明确，则“作垂直，证半径〞。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径〔过圆上一点〕；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进展由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：〔1〕如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；〔2〕如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.〔3〕如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，假设DE⊥AC于E〔或E为CF中点〕，求证：DE是⊙O的切线.〔4〕如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察线段间的关系，选择定理进展线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进展弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与线段的关系，从而化未知为，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：〔1〕构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理〞基本图研究线段〔任意两条线段可求其它所有线段长〕；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.〔2〕方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。〔3〕建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为假设干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：〔1〕在“AC平分∠BAE〞；“AD⊥CD〞；“DC是⊙O的切线〞三个论断中，知二推一。〔2〕如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF〔或弓形BCE的半弦EF〕。〔3〕如图〔4〕：假设CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB〔4〕在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD于E时〔如图5〕，则：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：〔1〕在“BO平分∠CBA〞;“BO∥DE〞;“AB是⊙O的切线〞;“BD=BC〞。四个论断中，知一推三。〔2〕①G是⊿BCD的内心；②；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；〔3〕在图〔1〕中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。〔4〕如图〔3〕，假设①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5；〔在①、②、③中知一推二〕④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：如右图：〔1〕DE切⊙OE是BC的中点；〔2〕假设DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A③CD·CA=4BE2,图形特殊化：在〔1〕的条件下如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；如图2：假设DE的延长线交AB的延长线于点F，假设AB=BF，则：① ;②图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：〔1〕DE⊥ACDE切⊙O；〔2〕在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中点。④与基本图形1的结论重合。⑤连AD，产生母子三角形。图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：〔1〕如图1：①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC〔或OC平分∠BCD〕；〔注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线〞四个论断中，知一推三〕④AD·BC＝2=R2；〔2〕如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)〔3〕如图3，假设EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：〔1〕PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形)；〔2〕在“PR⊥OB〞、“PQ切⊙O〞、“PQ=PR〞中，知二推一〔3〕2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：〔1〕如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；③∠AIB=90°+∠ACB;〔2〕如图2，假设∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.图形8：，AB是⊙O的直径，C是中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：〔1〕CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是中点)〔2〕OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF〔3〕BE·BG=BD·BA〔4〕假设D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②四、范例讲解：1.△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.〔1〕求证：CD为⊙O的切线；〔2〕连BF交AP于E，假设BE=6，EF=2，求的值。2．直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.⑴求证：CD为⊙O的切线⑵假设，求的值3．如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。〔1〕求证：PC为⊙O的切线。〔2〕过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。4。如图，△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。〔1〕求证：AC与⊙O相切；〔2〕假设AC＝6，BC＝8，求EC的长5.如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，，过D作AE的垂线，F为垂足.〔1〕求证：DF为⊙O的切线；〔2〕假设DF=3，⊙O的半径为5，求的值.6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.〔1〕求证：EF为⊙O的切线；〔2〕假设AC=6，BD=5，求的值.7．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.〔1〕求证：DE=DF；〔2〕连结AE，假设OF=1，BF=3，求的值.8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.〔1〕求证：⊙O与AC相切；〔2〕假设EF=3，BC=4，求的值.9．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.〔1〕求证：DE为⊙O的切线；〔2〕假设BC=，AE=1，求的值.10．如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.〔1〕求证：DF为⊙O的切线；〔2〕假设AE=2，DE=4，△BDF的面积为，求的值.11、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．〔1〕求证：CF是⊙O的切线；〔2〕设⊙O的半径为1，且AC=CE，求的长．12、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.〔1〕求证：AD是⊙O的切线；〔2〕设OE交AC于F，假设OF=3，EF=2，求线段BC的长.13、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、B