中学英语课件Lecture-1 for Chapter 2

基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE的旋度E的散度基本方程唯一性定理分界面衔接条件电位（

）数值法有限差分法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图2.0静电场知识结构图第2章电磁场中的基本物理量和基本实验定律第2章电磁场中的基本物理量和基本实验定律为了分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。重要内容有：在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电流的概念和物理量；在电荷守恒的假定前提下，确立电流连续性规律。在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立代表电场和磁场的基本物理量E和B。在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分公式。22.1电荷与电荷分布

众所周知，自然界中最小的带电离子之一是电子，它的静止质量，电荷量；另一种是质子，其静止质量，电荷量。精确地说，任何带电体的电荷量都是以电子电荷量的正或负整数倍的数值量出现的。电荷量是一个代数量。

微观上看，与物体的质量一样，电荷是以离散的方式出现在空间的。但从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以连续分布的形式充满于该体积中。3

基于这种假设，我们用电荷体密度（即体积电荷密度）来描述电荷在空间的分布，体积电荷密度定义为(2.1.1)

的单位为。显然一般应是一个空间位置的连续函数，它是一个标量场。若在电荷分布的空间内任取一个微小体积，并称为体积元，则该体积元的电荷量为。要计算某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得(2.1.2)4

在处理工程电磁场问题时，有些情况下可以认为电荷分布在某一几何曲面或几何曲线上，称为面电荷或线电荷。相应地，我们定义电荷面密度为其单位为。(2.1.3)定义电荷线密度为(2.1.4)其单位为。当已知和的分布后，任意曲面或曲线上的电荷总量就可以用相应的面积分或线积分表示成和。5理论分析电磁场时，“点电荷”这一概念具有十分重要的意义。当某一电荷量q被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷q。用电荷体积分布的概念来衡量，电荷体密度，即体密度函数值在时无限大，表示该点有一个点电荷q。62.2电流与电流密度

若空间分布的电荷是流动的,则该体积空间内就有电流存在，我们任取一个面积S，如果时间内穿过S的电荷量为，则定义电流的大小为(2.2.1)电流的单位为A(安[培])，若电荷流动的速度不随时间改变，则有（恒定值）(2.2.2)这种情况下的电流称为恒定电流。电流是一个代数量。7

为了描述体积分布电荷在空间各处流动的状态，即电流在空间分布的状态，如图2.2.1所示，我们在垂直于电荷流动的方向取一个面积元，若流过的电流为，则定义一个矢量，其大小为图2.2.1电流分布图8

(2.2.3)

的方向定为正电荷运动的方向，并称为电流密度矢量，单位为A/㎡（安/米2）。因为它是用来描写电流在空间体积中流动情况的，一般称为体积电流密度，简称电流密度。体积空间中某点的电流密度同该点的电荷密度、电荷运动速度之间的关系可按如下方法求出：垂直于取面积元，设时间内流动的距离为，则如图2.2.1中所表示的柱性体积元的电荷在时间内全部通过面积元，故电流为9其中为电荷运动的速度（m/s），而面积元处的电流密度为或

(2.2.4)其中是该处运动电荷的体密度。

如果某空间内含有几种不同类型的运动电荷，其电荷密度为，运动速度为，则空间某一处的电流密度应为各类电流密度的矢量和

(2.2.5)10

显然，电荷流动的空间是一个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流量为或(2.2.6)所以电流I(或i)的另一定义是电荷流动场中电流密度矢量在某一面积上的通量。11

实际问题中，我们还常遇到一种电荷在一薄层内流动的现象，它可抽象地认为是在某一几何面积上流动的电流，即表面电荷在面积上流动形成的电流，成为表面电流或面电流。如图2.2.2所示，在表面电流场中，取一线元垂直于面电荷运动的方向，如果穿过此线元的电流为，则可定义表面电流线密度为(2.2.7)其中的单位为A/m。用与式(2.2.4)相似的推导方法，求面电荷密度与面电流线密度之间的关系为(2.2.8)12图2.2.2体电流密度矢量和面电流密度矢量13

必须把以上介绍面电流和体电流的概念区分开，有的读者可能会误以为空间体积中有电流时，该空间内表面上便有面电流，这样理解是不对的。因为面电流是在厚度为零的表面上流过的电流，其所占体积为零，它实际上是一种抽象的概念。一般体电流密度是有限值，在体积为零的表面上流过的电流当然只能为零，否则将会得到体电流密度为无穷大的后果。14

除体电流和面电流之外，还有一种常用的电流概念，称为线电流。实际中，当电荷在一根很细的导线中流过或电荷通过的横切面很小时，可以把电流看作在一根无限细的线上流过，理想化成线电流，线电流I与电荷线密度间的关系为(2.2.12)

以上我们讨论了体电流、面电流和线电流等概念，它们都正比于相应电荷的运动速度。如何使电荷获得速度或动能呢？从物理学看，这是一个能量转换问题。电荷的动能可来自机械能、热能、光能、化学能甚至电磁能本身。152.3电流连续性方程

如果我们在体电流空间中任取一个闭合面，所包围的体积为，从闭合面流出的电流表示每秒内从体积内穿过流到外面去的电荷量。因为电荷是守恒的，所以它应等于体积内电荷的减少率，即(2.3.1)其中等式右边的q应为闭合面S内的电荷量，它等于电荷密度的体积分，再对上式左边应用散度定理，得(2.3.2)16式(2.3.1)或(2.3.2)是电流的基本方程，它是电荷守恒的必然结果。由于式(2.3.1)中的闭合面是任取的，它包围的体积可以任意小，因此我们有(2.3.3)这是电流基本方程的微分形式，式(2.3.2)为积分形式。

当我们研究恒定电流场时，要维持电流不随时间改变，就要求电荷在空间的分布也不随时间改变，即及不是时间的函数，因此对于恒定电流场必然有(2.3.4)17式(2.3.4)表示从任意闭合面穿出的恒定电流为零，或恒定电流场是一个无散度场。事实上，电荷的运动是这样的：对于任取的闭合面，总有部分表面上，电荷是从闭合面内向外流出，同时另外部分表面上电荷则从外向内流进，这两部分电流大小相等，符号相反。因而从闭合面内流出的净电流恒为零。同时闭合面包围的体积内电荷分布也就不随时间改变，电荷分布必定呈一种稳定状态。18

同理，对于表面电流场，场中任何闭合路径上，由面电荷守恒的结果，应有对于时变的面电流（2.3.5)对于恒定的面电流（2.3.6)而对于线电流所形成的电路中的任何节点，就可得到电路理论的基尔霍夫电流方程。19

注意：对恒定电流场来说，式(2.3.4)和式(2.3.6)通称为电流连续性方程。对于时变的电流场，建立了位移电流概念后，式(2.3.2)或式(2.3.3)以及式(2.3.5)也可称为电流连续性方程。202.4.1库仑定律N(牛顿)适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理图2.4.1两点电荷间的作用力

库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力:

当真空中引入第三个点电荷时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？2.4电场强度库仑定律21b)n个点电荷产生的电场强度

(注意:矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布面电荷分布线电荷分布图2.4.2体电荷的电场22例2.4.1

真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求P点的电场.解:采用直角坐标系,令y轴经过场点p,导线与x轴重合。(直角坐标)(圆柱坐标)图2.4.3带电长直导线的电场23

无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。

电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即

点电荷的数学模型

积分是对源点进行的,计算结果是场点的函数。

点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。当时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数表示点电荷的密度分布。图2.4.4单位点电荷的密度分布点电荷的密度24

设在静止的源电荷周围空间内某点处一个静止的试验电荷q受到的静电力为F，则该点的电场强度定义为(2.4.1)其中F的单位为N牛[顿]），q的单位为C（库）,电场强度的单位为V/m（伏/米）。取极限是为了使引入静止试验电荷时不致影响电荷的状态。25库仑定律：

库仑早已从实验上总结了真空中两点电荷间作用力的规律，这规律称为库仑定律。如图2.4.1所示，两点电荷和相隔距离为R

时，受到的作用力为其中为源电荷所在点的位置矢量，为试验电荷所在点的位置矢量，为从指向的单位矢量；称为真空介电常数。(2.4.2)26o图2.4.1点电荷间的作用力27

由库仑定律可以得出在离源电荷q，即式(2.4.2)中的，距离为R的点处的电场强度为(2.4.3)由于故式(2.4.3)可用算符改写成如下形式(2.4.4)式中28(2.4.3)式也可写成如下形式(2.4.5)

为了方便，我们把观察点称为“场点”，把源电荷所在点称作“源点”。场点的位置用不带撇号的坐标表示，或用位置矢量表示；源点的位置用带撇号的坐标，或位置矢量表示，如图2.4.1所示。29库仑定律的重要结论：点电荷周围的电场，其强度（或大小）与距离平方成反比，静电场的许多性质都与此有关；其次，电场强度与源点电荷的电荷量成正比，为线性关系。这样可以利用叠加方法来计算几个点电荷共同形成的电场。当有n个点电荷时，场点的场强可由各点电荷独自在该点形成的场强的矢量和来计算(2.4.6)其中是到场点的距离，是沿方向的单位矢量。30

例2.4.1

真空中有一电偶极子，如图