椭圆性质第二定义参数方程

椭圆性质、第二定义、参数方程xy22y一、由椭圆方程1(ab0)研究椭圆的性质.ab2B2E2AB(1)范围:FAAx2O从标准方程得出x21,y21,即有axa,1byb，ab22BDC1可知椭圆落在,xayb组成的矩形中．(2)对称性:把方程中的x换成x方程不变，图象关于y轴对称．y换成称．把x,y同时换成x,y方程也不变，图象关于原点对称．方程不变，图象关于x轴对y如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点因此椭圆共有四个顶点：A(a,0),A(a,0)，B(0,b),B(0,b)22加两焦点F(c,0),F(c,0)共有六个特殊点.12AA叫椭圆的长轴，BB叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b1212a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.(4)离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比，决定椭圆的圆扁程度定义式：ecabe1()2a范围：0e1y考察椭圆形状与e的关系：Be0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为2圆为椭圆在e0时的特例A2Ax1Oe1,ca,椭圆在e1时的特例变扁，直至成为极限位置线段FF，此时也B112可认为圆为椭圆讲解范例：例1求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程x2y215242abc5,4,5243所以，，2因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a10,2b8，离心率ec3，两个焦点分别为a5F(3,0),F(3,0)，椭圆的四个顶点是A(5,0),A(5,0)，B(0,4),B(0,4)2212将已知方程变形为y25x2，根据y425x2，在x5的范围内算出几个点的4055坐标(x,y)：xy01234543.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：y4-5Ox5-4例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：xy2xy2（1）1（2）2122516259y43-5xO5-3-4答：简图如下：课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率(ac):(ac)=3:2,即1e32,解得e526解：由题意，1exy22．如图，求椭圆21,(ab)内接正方形ABCD的面积0ab22解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横B（t,t),代入椭圆方程求得t2a2b24ab22纵坐标相等，故设,即正方形ABCD面积为a2b2a2b2yB2AEBFAAx2O1BDC1二、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率yyN2KA2B22PPNN2F12BxBA1AxKF222O2KO11F1F1A1B1KN112．椭圆的准线方程xya2对于21，相对于左焦点2F(c,0)对应着左准线l:x；1ab2c12相对于右焦点F(c,0)对应着右准线l:xa2c22yx2a2；c2对于1，相对于下焦点F(0,c)对应着下准线l:ya2b2112相对于上焦点F(0,c)对应着上准线l:yac22a2准线的位置关系：xaca2c2b2焦点到准线的距离pa2c（焦参数）ccc讲解范例：xy(2)2116812例3、求下列椭圆的准线方程：（1）22x4y4x2解：⑴方程x4y24可化为y1，是焦点在x轴上且a2,b1，c3的椭圆224所以此椭圆的准线方程x4343为3xy⑵方程21是焦点在y轴上且a9,b4，c265的椭圆1681所以此椭圆的准线方程y81658165为65xy2例4、椭圆21上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的10036距离y解：椭圆21的离心率为e4，根据椭圆的第二定义xy2B210P10036左焦点距离为10e8第一定义得，点P到椭圆的5N1得，点P到椭圆的AxAF22KO11F1再根据椭圆的右焦点的距离为20B1－8＝12课堂练习：1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程xy2（1）21（2）222xy810036⑴焦点坐标F(8,0),F(8,0)；准线方程100252答案：x8128x42⑵焦点坐标F(0,2),F(0,2)；准线方程122．已知椭圆的两条准线方程为y9，离心率为1，求此椭圆的标准方程3答案：21x2y89三、椭圆的焦半径公式：设M(x,y)是椭圆x21(ab0)2y2的一点,r和r分别是点M00ab122与点F(c,0),F(c,0)的距离.12那么（左焦半径）raex,（右焦半径）raex,其中e是1020y离心率MFaey同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：MFaeya+ca-c10xBF1OAF202（其中分别是椭圆的下上焦点）FF12注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加讲解范例例6、椭圆y21(ab0)，其上一点P(3,y)到两焦点的x2距离分别是6.5和3.5，求a2b2椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得a3e6.5ae1，从而有c52,bac22754，解得5,2a3e3.52x4y221所求椭圆方程为课堂练习：2575x2y21．P为椭圆FF1上的点，且P与,的连线互相垂直，求P259124457258116解：由题意，得(5x)2(5x)2＝64x2，y2516000P的坐标为(579,)，(57,9)，(57,9)，(579,)44444444A(x,y),B(4,9),C(x,y)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，51122x2y22．椭圆1上不同三点259求证xx8124证明：由题意，得(54x)(5x)＝2(544)xx855512123．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，F为右焦点，求证：以线段FP为直径的圆与此椭22圆长轴为直径的圆内切yPxy221,(ab0)，证明：设椭圆方程为O1ab22A1xA2OF1F2焦半径FP是圆O的直径，21PF2aPFPF则由aOO知，两圆半径之差等于圆心距，1122222所以，以线段FP为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切2O为圆心，分别以a,b(ab0问题：如图，以原点)为半径作两个图，点B是大圆半径OAA作NA⊥OX垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M．求当半径OA绕点OM的轨迹的与小圆的交点，过点旋转时点参数方程解答：设A的坐标为(x,y),NOA，取为参数，那么yNM|OB|sinyxON|OA|cosxacos(为参数)也就是ybsinAMB这就是所求点A的轨迹的参数方程NxOxcosybsinxacosa将变形为ysinbxy22发现它可化为1(ab0)，说明A的轨迹是椭圆ab22ybsinxacosNOM(为参数)注意：角不是角四、.椭圆的参数方程三、讲解范例：例1把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程x3cos4siny(1)(2)x2y218(为参数)4sinyx3cosxy2(为参数)21解：(1)3242x22cosx2(为参数)(2)y21ysin81xy＝cossin2sin()2,224xcosy1上的点P(),求.xy的取值范围x,y2(a0,b0,为参数)例2已知椭圆2sin解：xy例3已知椭圆21(ab0)与x轴的正半轴交于A,O是原点2,若椭圆上存在一点M,ab22使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围解：A(a,0)，设M点的坐标为(acos,bsin)（