第01讲平面向量的概念及线性运算（原题版）

第01讲平面向量的概念及线性运算【考试要求】理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于长度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向的向量．(6)相反向量：长度相等且方向的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝；结合律：(a＋b)＋c＝减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即．②特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．③若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使①若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得存在，使得．1．(多选)下列命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c2．下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.考点一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法中正确的是()A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|【对点演练1】（多选题）下列说法正确的是（

）A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等【对点演练2】下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【对点演练3】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3例2（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【对点演练1】下列说法中错误的是（

）A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则【对点演练2】（2023·广东揭阳·校考二模）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形考点二向量的线性运算角度1向量加、减法的几何意义例2(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．角度2线性运算例3(2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))【对点演练1】设为对角线的交点，为任意一点，则（

）A． B． C． D．【对点演练2】在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bB.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bD.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b【对点演练3】(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n【对点演练4】（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为．角度3根据向量线性运算求参数例4(2023·大连模拟)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2【对点演练1】在△ABC中，P是BC上一点，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.【对点演练2】在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD为BCeq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ－μ＝________.考点三共线定理及其应用例5已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【对点演练1】已知平面向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则()A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若M、P、Q三点共线，则（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【对点演练3】若a，b是两个不共线的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2【对点演练4】(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值为()A.3 B.4C.5 【对点演练5】P是△ABC所在平面上一点，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2【对点演练6】（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．考点四与平面向量有关的数学文化题例6（2023·全国·高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点M为的中点，点P是内（含边界）一点，且，则的最大值为__________.【对点演练】五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.1、有下列命题：①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；④方向相反的两个单位向量互为相反向量；⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．其中正确的命题的个数为______．A1B2C3D42、化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为()A．a＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a－3b3．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2023·河北·统考模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（

）A． B．0或 C．0或1 D．0或36．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（）A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部7．在边长为1的正方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．48．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4二、多选题9．(多选)下列命题中，正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同10、若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与的夹角为 D．11．对于两个向量和，下