3函数的值域与最值

函数的值域与最值函数值域的求法（1）、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数的值域。例2：求函数的值域。例3：求函数的值域。解：∵，∴，∴函数的值域为。1．反比例函数（）的值域是．2．函数的定义域为，那么其值域是．3．函数，的值域为．（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数（）的值域。解：，∵，∴，∴∴，∴∴函数（）的值域为。1.函数（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x^2的值域,定义域［-3，1］。解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。∴函数的值域是［0,2］1：求函数，的值域。2：求函数的值域。（4）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。例1：求函数的值域。解：令（），则，∴∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。1.求的值域。2.求的值域。（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。解：∵，∵，∴，∴函数的值域为。1．函数的值域为，函数的值域为．2.求函数的值域。（6）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由解得，∵，∴，∴∴函数的值域为。（7）、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例1：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，∵，∴，解得，又，∴∴函数的值域为（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数的值域。解：∵，∴的图像如图所示，由图像知：函数的值域为以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例2：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。例3．如例4求函数的值域。分析与解答：令，，则，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为例4.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。四、要点回顾1．一次分式函数及其复合函数的值域问题，即可以用“常数分离法”，也可以通过寻找方程有解的条件解之．2．二次分式函数的值域问题，要抓住“判别式法”的基础上，力争通过对函数解析式的代数变形来求解，如“基本不等式法”、“配方法”、“单调性法”．3．某些无理函数的值域问题，应通过变形或还原化归为有理函数（如二次函数）问题处理．4．一切函数的值域或最值问题均可考虑用“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．一、基础训练3．已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为．5．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则．6．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是．7．函数的值域是．8．用表示三个实数中的最小者．记（），则的最大值为．二、例题精讲例1．求下列函数的值域．（1）；（2）．例2．求下列函数的值域．（1）；（2）．例3．已知，函数（），（）．（1）求和的值域；（2）若，，使得成立，试求的取值范围．例4．若函数的定义域与值域均为区间（），求实数的取值范围．三、巩固练习1．已知函数是定义在上的单调增函数，值域为；函数是定义在上的单调减函数，值域为．则函数的值域为．2．若函数的定义域和值域都是，则．3．函数的值域是．4．已知函数，若，且，则的取值范围是．函数的值域与最值作业2．已知函数（），则函数的值域为．3．设，则的值域为．4．若函数的定义域为，值域为，则的定义域为，值域为．5．函数的值域是．6．函数的值域是