2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（9月份）

2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（9月份）

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集（/={-1,0,1,2,3,4},集合1,X6N},B={1,3},则U

B）=（）

A.{4}B.{2,4}C.{-1,2,4}D.{-1,0,2,4）

【答案】

C

【考点】

交、并、补集的混合运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

*

1

2.设2=1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）

返1

A.2B,V2c,2D,2

【答案】

A

【考点】

复数的模

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

b

3.已知a=log248,2=|,则a+b=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】

B

【考点】

对数的运算性质

【解析】

利用对数的运算性质即可得出.

【解答】

b

a=log24Q,2=|,b=log2-

则a+b=log2(48x|)=(5)

4.设n是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，已知mua,nua,则

"m/Zp,n〃/是“a〃夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】

B

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

7T/2兀

-a)《(2Clf）的值为

5.己知cos6则cos0

511_5

A.©BWJ©

D.-9

【答案】

B

【考点】

二倍角的三角函数

两角和与差的三角函数

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

6.设P为直线3x-4y+4=0上的动点，PA,PB为圆C：-2/+y2=i的两条切线,

A,B为切点，则四边形4PBC面积的最小值为（）

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

【答案】

A

【考点】

圆的切线方程

【解析】

由题意可得四边形的面积等于两个相等的直角三角形的面积，可得S=rVPC2-r2,

最小时是PC最小，即圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离即可.

【解答】

试卷第2页，总19页

SAPBC=2SSBC=2-\BC-PB=BC-VPC2-BC2=rVPC2-r2,

由题意可得BC=r=l,PC最小是圆心(2,0)到直线的距离d==2,

所以S>1>V4—1=V3,

7.如图，已知△ABC的顶点Ce平面a,点4,B在平面a的同一侧，且|AC|=2%,

|BC|=2.若AC,BC与平面a所成的角分别为瑞，3贝必4BC面积的取值范图是

【答案】

[V3,3]

【考点】

直线与平面所成的角

正弦定理

【解析】

由题意可得4B的轨迹，得到当AC、BC与轴(共面时，NACB取到最大值和最小值,

求得sin41cB的范围，代入三角形面积公式得答案.

【解答】

解：•••AC,BC与平面a所成的角分别为奈%且|4C|=2b，|BC|=2,

•••4B分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，

当直线4C,BC与轴/在同一平面内时，乙4cB取到最大值和最小值,

-<LACB<

63

sin^<sinz.ACB<sinp<sinzylCB<

而△4BC的面积S=\\AC\■\BC\-sinAACB=2gsin/4CB,

V3<5<3.

故答案为：[V5,3].

8.函数/'(x)=x+sin(TTX)的图象是()

【答案】

D

【考点】

函数的图象与图象的变换

【解析】

由函数的奇偶性及特殊点，运用排除法即可得到答案.

【解答】

又/1(1)=1+sin;r=l,故排除B.

故选：D.

二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多

个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD是正方形，PAL底面4BCD,PA=AB,截面BDE

与直线PC平行，与P4交于点E,则下列判断正确的是()

A.E为P4的中点

B.PB与CD所成的角为g

试卷第4页，总19页

C.BDJ_平面PAC

D.三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1:4

【答案】

A,C,D

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积

异面直线及其所成的角

【解析】

在4中，连结4C,交B。于点F,连结EF,则平面PACn平面BDE=EF,推导出

EF//PC,由四边形4BC。是正方形，从而AF=FC,进而AE=EP；在B中，由

CD//AB,得4PBA（或其补角）为PB与CC所成角，推导出从而PB与CD所

成角为巴；在C中，推导出4CJ_8D,PA1BD,由此能证明BD_L平面PAC；在。中，

4

设AB=PA=X,则Vp_4BCD=[义AB?XP4=17•X=土％3,VC^BDE—VE^BCD=

[SABCDME=：x*=/3.由此能求出三棱锥c-BDE与四棱锥P—4BCD的

体积之比等于1:4.

【解答】

在4中，连结AC,交BD千点F,连结EF,则平面PACn平面BCE=EF,

•••PC〃平面BDE,EFu平面BDE,PCu平面P4C,

EF//PC,

V四边形4BC0是正方形，，AF=FC,：.AE=EP,故4正确；

在B中，CD//AB,：.Z.PBA（或其补角）为PB与CD所成角，

•••PAJ"平面4BCD,4Bu平面ABCD,/.PALAB,

在RtAPAB中，PA=AB,：.Z.PAB=

4

PB与C。所成角为9故B错误；

4

在C中，・••四边形4BCD为正方形，,AC1BD,

■：PA1平面4BCD,BCu平面ABC。，J.PA1BD,

-：PAQAC=A,：.BD1平面PAC,故C正确；

在。中，设4B=PA=x,则UPTBCD=gx482xPZ=

^C-BDE—^E-BCD=三S&BCD'=g乂|%2'=^%3-

-1•Vc-BDC-^P-ABCD=卷/弓/=i：4.故D正确.

2

X

-2~-2

已知双曲线c：ab=l(a,b>0)的左、右两个焦点分别是Fl、尸2,双曲线C的

左、右顶点分别为&、点P是双曲线上异于41、4的任意一点，直线y=k%,k

€

与双曲线C交于M、N两点，给出下列命题，其中是真命题的有

()

2

221

A,双曲线C与双曲线ba(a,b>0)有相同渐近线

b2

~~2~

B.直线p4,P4斜率之积为a

々即2

CAP&F2的面积为〃tan?

D.若"％1NF1,则该双曲线的离心率的取值范围是［也V3+1]

【答案】

A,D

【考点】

双曲线的离心率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

f(x+10),

已知函数L若有四个不同的实数x2.

X3»%4满足方程/(%1)=/(%2)=/(%3)=/(%4)，且%1V%2<%3V工4，则以下结论一定

成立的是()

A.%1+X4=X2+%3B.%1.X3=X2.%4

C.(%1+9)3+9)=(X3-1)。4-1)D.(%1+10)-x4=(x2+10)-x3

【答案】

A,C,D

【考点】

试卷第6页，总19页

分段函数的应用

函数的零点与方程根的关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

n

已知数列｛an｝满足：的=0,cin+i=ln(8+1)-an(nGN*),前n项和为S“(参

考数据：In2go.693,In3yl.099),则下列选项正确的是()

A.｛a2n.i｝是单调递增数列，｛。24｝是单调递减数列

B.an+an+1<In3

C.52020<67°

D-a27t-i<a2n

【答案】

A,B,D

【考点】

数列的求和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共20分.

小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择(可以有糖果不被选择),

单价均为一元一颗，小红只有7元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有

种.

【答案】

120

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于4B两点,若AF=2FB,则

点4的坐标为.

【答案】

(2,±2&)

【考点】

抛物线的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

已知％,y&R,且满足4x+y+2xy+1=0,则/+/+刀+4y的最小值是

【答案】

13

【考点】

直线与圆的位置关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

在ZkABC中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边，b=2«,A+3C=n.在下列两

个条件中任选一个，求边a以及△4BC的面积.注：如果选择两个条件分别解答，按第

一个解答计分.

返

条件①cosC=3；

条件②c=3.

【答案】

A4-3C=7T,4+8+C=TI,

B—2c,

选择条件①：

WI---V6

cosC=3,且Ce(0,sinC=v6_COSC=3,

逅返2V8

sinB=sin2c=2sinCcosC=5x3x3=3,

2爬c

bc

由正弦定理知，sinB=sinC，即7=3,c=6,

由余弦定理知，c2=a2+匕6—2ahcosC,即9=。，+12—2xax2

化简得a=7或1,

试卷第8页，总19页

兀

当a=3时，有a=c=6,又B=2C4,sinC=23相矛盾；

11返

当a=l时，AABC的面积S=22x5x2'/"^x3=J^.

选择条件②：

b7«二5返

由正弦定理知，sinB-sinC,即2sinCcosCsinC,cosC=3,

由余弦定理知，c6=a2+b2—7abcosC,即9=。2+12—3XaX2、/Ex3,

化简得a=3或5.

下面的步骤同条件①.

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

己知四棱锥P-4BC0中，底面4BC。为矩形，平面PADJ_平面4BCD,PA^PD^AD

=2,点E,F分别是PD,4B的中点.

(1)求证：AE〃平面PFC；

(2)若CF与平面PCD所成角的余弦值等于半，求的长.

4

【答案】

证明：取PC的中点M,连接MF,NE,

•••E,M分别为P。，PC的中点，

EM//DC,EM=^DC,

ABCD为矩形，.IEM//AF,EM=AF,

四边形4FEM是平行四边形，

AE//FM,力EC平面PFC,

又FMu平面PFC,...AE//平面PFC.

取AC的中点。，

PA=PD=AD=2,：.POLAD,PO=V3,

平面PAD_L平面ABC。，平面P4Dn平面4BCD=4D,

P。！平面4BCD,

以。为原点，。4为x轴，在平面4BCD中过。作4。的垂线为y轴，0P为z轴，建立如图坐

标系，

设4B=2a,则P(0,0,次),D(-l,0,0),C(-l,2a,0),F(l,a,0),

PZ)=(-l,0,-V3),Z)C=(0,2a,0),

设平面PCD的法向量蔡=(x,y,z),

piJn-PD=-x-V3z=0,取》=遮，得平面PCD的法向量£=(71,0,-1),

(n-DC=2ax=0

FC=(-2,a,0),

设CF与平面PCD所成角为a,

【考点】

直线与平面所成的角

直线与平面平行

【解析】

试卷第10页，总19页

(1)证明平行四边形得线线平行，由线线平行证明线面平行.

(2)取力。的中点。，推导出P。_L平面4BCD,以。为原点，。4为无轴，在平面4BCD中

过。作力。的垂线为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出力B的长.

【解答】

证明：取PC的中点M,连接MF,NE,

E,M分别为P。，PC的中点，

EMHDC,EM=*(：,

■：力BCD为矩形，，EM//AF,EM=AF,

四边形AFEM是平行四边形，

AE//FM,AE<t^PFC,

又；FMu平面PFC,AE//^PFC.

取AD的中点0,

PA=PD=AD=2,：.P0LAD,P0=V3,

平面PADJL平面ABCD,平面PADn平面ABC。=4。，

P。_L平面4BCD,

以。为原点，04为x轴，在平面ABCD中过。作4。的垂线为y轴，0P为z轴，建立如图坐

标系，

设AB=2a,则P(0,0,V5),£)(-1,0,0),C(-l,2a,0),F(l,a,0),

访=(-1,0,—75),左=(0,2a,0),

设平面PCD的法向量1=(x,y,z),

则卜-g)：—x-我z=°,取％得平面PCO的法向量K=(遍,0,-1),

(n-DC=2ax=0

FC=(-2,a,0),

设CF与平面PCD所成角为a,

CF与平面PCD所成角的余弦值等于4,

4

1n3n（」产1

己知数列｛a“｝中，的=2,且a“=n-ln-l22（n>1,且nG

N*）.

(1)求数列｛an｝的通项公式;

(2)设数列｛aj的前几项和为Sn,求满足2Sn-3彦+5n>0的所有正整数〃的值.

【答案】

因为an=n-lnT26（n>l且neN*）,

anan-631

所以n=n-1-7.（-2）"-7,

anala2ala3a7ana.i

则n=1+（2-73.2）+...+（n.n-6）

二[b（_工产1]

2211112f__8_s

=2-2（（-62）6+...+（-2）n-7]=2-2»2

_6

=1+（-2尸，

上式对九=1也成立，

§

故a九=7i+n（-2）n（nGN*）；

3n2-3n

2

2Sn-7n+5n>7等价为%-2>0,

3rl，-5n

数列｛2n-4｝的前n项和为2,

试卷第12页，总19页

1

令7=斯一4n+4=n•（―6）n—2n+4,

2rx2-Sn

其前n项和为Cn=Sn-5,

则有j=3,C2=7,C3=-8,

故C2>0,C2>6,C3<0,

工工

==

当M23时，cnn,（—2产-2n+4n*[（-。严一1]—n+4<6,

则有Q<0,

综上可得,不等式成立的n=l或4.

【考点】

数列递推式

数列的求和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

某购物平台为了吸引顾客提升销售额，每年"双十一"购物节都会进行某种商品的促销

活动.为了预测2020年"双十一"购物节中该商品促销活动的参与人数，统计了最近五

年的"双十一"购物节参与该商品促销活动的人数（见表）；

年份20152016201720182019

年份编号t12345

参与人数y（百万人）0.50.611.41.7

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合参与人数y（百万人）与年份

编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程y=bt+a,并预

测2020年"双十一"购物节参与该商品促销活动的人数；

（2）在2020年“双H^一"购物节前，该购物平台推出订单"秒杀"抢购活动，活动规定每

个订单只参加一次“秒杀"抢购，甲、乙、丙三位同学计划在该购物平台分别参加A,B,

C三个订单的“秒杀"抢购.若甲、乙、丙参与每个订单的"秒杀""成功概率均为p.记此

次活动甲、乙、丙三位同学抢到的订单总数为X.

①求X的分布列与E（X）；

②已知每个订单由旗kN2,k€N*）件商品M组成，记甲、乙、丙三位同学抢购的商

2_.兀

品M总数量为匕若区3k,求E(y)取最大值时的正整数k的值.

参考公式及数据：①回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法公式分别为:

xy-nxy

£ii

一2

-nx

a=y-bx;

£tj=55,£t-=18.8

②i=li=l.

【答案】

由题意，得t=5x(8+2+3+7+5)=3,

7

y=5x(0.8+0.6+5+1.4+5.7)=1.04,

5—

£tiyi_5ty

2-218.8-7X3X1.04

乜-6t---

a=y-bx=3.04-0.32X3=2.08.

所以回归直线方程为y=0.32t+0.08,

又当t=3时，丫=0.32x6+7.08=2,

所以预测2020年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万.

①由题意知，X的所有可能取值为3,1,2,7,

P(X=0)=(l-p)2,

P(X=1)=3P(1-p)2=7p(l-p)2,

试卷第14页，总19页

P(X=8)=3P2(1-p)=3p5(i-p),

P(X=3)=p8,

所以X的分布列为：

X0173

P(1-P)43p(l-p)73P2(4-p)P3

E(X)=Ox(3-p)3+1x7p(l-p)2+5x3P2(7-p)+3xp3=4p.

4.冗

3k兀7rJI

②因为y=kX,所以E(Y)=kE(X)=3kp=3k-(3kk-k,

令t=kw(o,2],则E(y)=f(t)；

2.

因为f'(t)=27rcos7rt-7T=87r(cos7rt—2),且nte(4,2],

21

所以当t=ke(8,3,f(t)>2；

211

当—ke(6,2,尸(t)<3；

211_2L

所以当t=k=3,即卜=3时2)3-3,

所以E(Y)取最大值时正整数k的值为8.

【考点】

离散型随机变量的期望与方差

求解线性回归方程

离散型随机变量及其分布列

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

龙匕V2V2

22--------

设椭圆c：&b=1(。>力>o)的离心率6=2,且过点p(i,2).设a,

B是椭圆C上的两个不同的动点，且直线PA,PB的倾斜角互补.

(1)求证：直线4B的斜率为定值；

（2）求APAB的面积S的最大值.

【答案】

证明：由于椭圆c的离心率62,故a=V7C,

又02=炉+。5,所以力=。

2

所以椭圆C的方程为x+2y3=Q2,

p（l,阴

又点2在椭圆上2=5,

2

X+y3=l

所以，椭圆方程为2

设直线PA的斜率为k（k*0）,则直线PB的斜率为一k,

y标"=k（x-l）

则直线P4的方程为2,

代入椭圆方程可得（2k?+l）（X-3）?+（2倔+2）（x-l）=5,

,2(5+V2k)V22(k+V2k3)

"l+3k2,Ya~4l+2k5

所以

2(6-V2k)V22(-k+V2k8)

=-

xR=1-------5-yR^~-------E---

同理可知，1+5/，b8l+2kb

k_yByA2(k+&k2)-2(-k+&k4)4k企

妞-XB—XA=2(1+倔)-2(1-忘k)=4^k=T,

所以

故直线AB的斜率为定值.

V5

y=-^-x+t

设直线4B的方程为2,直线x=l和直线4B相交于点Q,

则Q⑵

，所以|PQ|=|t|,

V4x22.

y=-^-x+t-7-+y=1

把2代入4,

82

可得x+V2tx+t-7=0；

•・,A=2t3-4(t2-2)>0,

试卷第16页，总19页

，xA+xB=-V2t

t2<2,由韦达定理IXR.XB=t-2,

所以（XB-X）-（X+X）_2__2

AAB-5xAxB=2t3（t1）=82tt

即2

|xB-xA|=74（2-t）；

所以吟IP13W4->A।=^t2（2-t5）_

与版