2020-2021学年北京科技大学附中高二（上）期中数学试卷（解析版）

2020-2021学年北京科技大学附中高二（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）.

1.在复平面内，复数z对应的点是Z（l,-2）,则复数z的共轨复数（）

A.1+2;B.1-2/C.2+iD.2-i

2.设m住R,，•是虚数单位，则“ab=0”是“复数a3为纯虚数”的（）

1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图：在平行六面体48co中，〃为4G与84的交点.若标=£AD=b>

AA[=C，则下列向量中与BM相等的向量是（）

/a至b+cD.ya^-b+c

4.已知直线/的方程为x+〃?y-2=0,则直线/（）

A.恒过点（-2,0）且不垂直x轴

B.恒过点（-2,0）且不垂直），轴

C.恒过点（2,0）且不垂直x轴

D.恒过点（2,0）且不垂直y轴

5.在正方体A8CO-4助G9中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与CO所成角的正切

值为（）

A.返B.返C.豆D.近

2222

6.下列说法中，正确的是（）

A.过点P（1,2）且在x,y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.直线y=3x-2在），轴上的截距为-2

C.直线》-/示+1=0的倾斜角为60°

D.过点（5,4）并且倾斜角为90°的直线方程为y-4=0

7.已知而=（2,1,-3）,pg=（-1,2,3）,pQ=（7,6,入），若P,A,B,C四

点共面，则入=()

A.9B.-9C.-3D.3

8.点M,N分别是棱长为2的正方体A8CO-A山iG。中棱8,CG的中点，动点P在正

方形BCGBi(包括边界)内运动.若P4〃面AMN,则P4的长度范围是()

A.[2,A/51B.-\/5]C・'3]D.⑵3]

二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

9.若复数则团=___.

1+1

10.在空间直角坐标系中，已知点4(1,2,0),B(x,3,-1),C(4,y,2),若A,

B,C三点共线，则x+y=.

11.过点尸(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.

12.已知直线/：2x+3y+5=0.

(1)过点A(1,-4)且与直线I平行的直线方程；

(2)过点A(1,-4)且与直线/垂直的直线方程是.

13.在长方体A8CQ-4BCrD中，AA^AB=2,AC=1,点F,G分别是AB,CCi的中点,

则点。।到直线GF的距离为.

14.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行.

①在平面PAB内不存在直线与DC平行；

②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PCC平行；

③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；

上述命题中正确命题的序号为.

三、解答题(共4小题，满分0分)

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，PD=2AD=4,PDLDA,PDLDC,底面ABC。为正方

形，M,N分别为4，PD的中点.

(1)求证：PA〃平面MNC；

(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；

(3)求点B到平面MNC的距离.

17.如图一所示，四边形ABCC是边长为我的正方形，沿8。将C点翻折到Ci点位置(如

图二所示)，使得二面角A-BO-G成直二面角.E,F分别为BG,AG的中点.

(I)求证：BDA-ACi；

(II)求平面OEF与平面AB。所成的锐二面角的余弦值.

a

18.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA，平面ABC£>,PA=AO=CD=2,BC=3,PC=2近，

E为中点，.

(1)求证：四边形ABC。是直角梯形；

(2)求直线AE与平面尸CD所成角的正弦值；

(3)在棱P8上是否存在一点F,使得AF〃平面PCD?若存在，求瞿•的值；若不存在,

请说明理由.

从①CDLBC；②BC〃平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完

成解答.

B

参考答案

一、选择题(共8小题，每小题3分，满分24分)

1.在复平面内，复数z对应的点是Z(l,-2),则复数z的共匏复数()

A.1+2/B.1-2iC.2+iD.2-i

【分析】由复数z对应的点是Z(1,-2),得z=l-2i,则复数z的共聊复数可求.

解：由复数z对应的点是ZQ,-2),

得z=1-2i.

则复数z的共规复数W=l+2i.

故选：A.

2.设尤R,，•是虚数单位，则“"=0”是“复数a心为纯虚数”的()

1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】利用"ab=0”与"复数a心为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条

1

件.

解：因为“川=0”得4=0或h=o,只有4=0,并且人工0,复数为纯虚数，否则

1

不成立；

复数为纯虚数，所以〃=。并且6W0,所以必=0，

1

因此4,gR,i是虚数单位，则“必=0”是“复数a'为纯虚数”的必要不充分条件.

1

故选：B.

3.如图：在平行六面体A8C£>-中，M为4G与BQ的交点.若亚=5AD=b>

AA[=c,则下列向量中与面J相等的向量是()

AB

1—1—T—

A.彳a^b+cB.-a^-b+cC・-^-a^b+cD・-a-^-b+c

【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出访.

解：；而=函+彳

=“而

t1

cL

2（BA+BC）

f1

L

C2(-a+b)

_1f17-

=TaV+c

故选：A.

4.已知直线/的方程为x+，wy-2=0,则直线/（）

A.恒过点（-2,0）且不垂直x轴

B.恒过点（-2,0）且不垂直），轴

C.恒过点（2,0）且不垂直x轴

D.恒过点（2,0）且不垂直y轴

【分析】分别令*=0,或y=0,即可判断.

解：x+my-2=Q,令y=0,可得x=2,

直线恒过定点（2,0）,

9

令x=0,则>,=—^0,

m

二直线/不垂直y轴，

故选：D.

5.在正方体ABC。-A山iGG中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与C。所成角的正切

值为（）

A.返B.返C.豆D.且

2222

【分析】由48〃CD,得NBAE是异面直线AE与CO所成角，由此能求出异面直线AE

与CO所成角的正切值.

解：：AB〃C£>,.♦./BAE是异面直线AE与C£>所成角，

连接BE,设正方体ABC。-481Gd棱长为2,

则AB=2,BE=«+12=娓,

平面BCE,BEu平面BCE,

.\ABLBE,：.tanZBAE=—=^-.

AB2

故选：c.

6.下列说法中，正确的是（）

A.过点P（1,2）且在羽）；轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2

C.直线X-向y+l=0的倾斜角为60°

D.过点（5,4）并且倾斜角为90。的直线方程为y-4=0

【分析】对于A,当在x轴上的截距为0时，在y轴上的截距也为0,求出直线方程为2x

-y=0,当在x轴上的截距为a（a#0）时，在y轴上的截距也为a,直线方程为三二=

aa

1,求出直线方程为x+y-3=0；对于B,直线y=3x-2在〉轴上的截距为-2；对于C,

直线x-/务+1=0的倾斜角为30°；对于。，过点（5,4）并且倾斜角为90°的直线

方程为x-5=0.

解：对于A,当在x轴上的截距为。时，在），轴上的截距也为0,

直线过（1,2）,（0,0）,直线方程为：工=苫，即2x-y=0,

当在X轴上的截距为〃（〃W0）时，在y轴上的截距也为a,

直线方程为三7=1,把（1,2）代入，得：工/•=1，解得a=3,

aaaa

■玲=1,整理得直线方程为x+y-3=0.

...过点P（1,2）且在x,y轴上的截距相等的直线方程为2x-y=0或x+y-3=0,故A

错误；

对于B,直线y=3x-2在），轴上的截距为-2,故B正确；

对于C,直线》-内41=0的倾斜角为30°,故C错误；

对于。，过点（5,4）并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0,故。错误.

故选:B.

7.已知苏=（2,1,-3）,pB=（-1,2,3）,玩=（7,6,入），若P,A,B,C四

点共面，则入=（）

A.9B.-9C.-3D.3

【分析】由共面向量定理得同二x欣+y丽，从而。，6,入）=x（2,1,-3）+y（-1,

2,3）,由此能求出入的值.

解：,**PA=⑵1,-3）,pg=（-1,2,3）,pQ=（7,6,人），

P,A,B,C四点共面，

,,PC=xPA+yPB,

（7,6,A）=x（2,1,-3）+y（-1,2,3）,

解得人=-9.

故选：B.

8.点M,N分别是棱长为2的正方体ABC。-中棱BO,CG的中点，动点P在正

方形BCGBi（包括边界）内运动.若PAi〃面AMN,则P4的长度范围是（）

A.[2,B.[3~^,C.>3]D.[2,3]

【分析】取8G的中点E，的中点/，连结4E,4凡EF,取E尸中点O,连结A。,

推导出平面〃平面4E凡从而点P的轨迹是线段E凡由此能求出尸4的长度范围.

【解答】解取囱G的中点E,8S的中点尸，连结AiE,AiF,EF,取EF中点0,连结

A\O,

•・•点M,N分别是楼长为2的正方体A8CO-AfCIOI中棱BC,CG的中点，

：.AM//AiE,MN//EF,

AtEQEF=E,

二平面AMN〃平面A\EF,

；动点尸在正方形8CG囱（包括边界）内运动，且P4〃面4MM

点P的轨迹是线段

22£F=22=,

'：A\E=A\F=^2+1=V5,V1+1^/2

：.A\OYEF,

.•.当P与。重合时，PAi的长度取最小值40=J（泥）2_哼）2

当P与E(或尸)重合时，P4的长度取最大值为4E=AF=J0

.“4的长度范围为由叵，V5J.

故选：B.

二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

9.若复数z4=，则囱=1.

1+1

【分析】先对所给的复数分子、分母同乘以1-i,进行化简后再求出它的模.

l-i_(l-i)(1-i)

解:Z"TH-

A|z|=l,

故答案为：1.

10.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,0),B(x,3,-1),C(4,y,2),若A,

B,C三点共线，贝！］x+y=2.-^_.

【分析】(X-1，1，-1)，菽=(3,y-2,2),可得A,B,C三点共线，可

得存在实数左使得：AB=^AC-

解：AB=(%-1，1，-1)，AC=(3,y-2,2),

B,C三点共线，

.,.存在实数上使得：靛=k菽，

'x-l=3k

"l=k(y-2)>解得%=-，x=--i,y=0.

-l=2k

・"+产-f

故答案为：-

11.过点尸(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-5=0,或3x-2y=0.

【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可.

解：若直线的截距不为0,可设为三2=1，把P(2,3)代入，得，2n=1，。=5,

aaaa

直线方程为x+y-5=0

若直线的截距为0,可设为尸■把P(2,3)代入，得3=22,仁多直线方程为3x

-2y=0

.•.所求直线方程为x+y-5=0,或3x-2y=0

故答案为x+y-5=0,或3x-2y=0

12.已知直线/：2x+3y+5=0.

(1)过点A(1,-4)且与直线/平行的直线方程2x+3y+10=0；

(2)过点A(1,-4)且与直线/垂直的直线方程是3x-2y-ll=0.

【分析】(1)由题意，利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程.

(2)由题意，利用两条直线垂直的性质，用待定系数法求出直线的方程

解：(1)设过点A(I.-4)且与直线/：2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3)H■%=0,

把点的坐标代入，求得加=10,故要求的直线的方程为2x+3y+10=0,

故答案为：2x+3y+10=0.

(2)设过点A(1,-4)且与直线/：2x+3y+5=0垂直的直线方程是3x-2y+〃=0,

把点A(1,-4)代入，可得故要求的直线的方程为3x-2y-11=0,

故答案为：3x-2y-11=0.

13.在长方体ABC。-A山CQ中，A4i=AB=2,A£>=1,点F,G分别是AB,CG的中点，

则点。到直线GF的距离为迤.

-3-

【分析】以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法能求出点。到直线GF的距离.

解：以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系，

则D\(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),

FD1=(-1,-1.2),而=(-i，1,1)，

则点5到直线G尸的距离：

d=|可、1-(-

意品T)2=通4卜(看封2=年

则点Di到直线GF的距离为金丝.

3

故答案为：逗.

14.如图，在四棱锥P-4BCZ）中，底面四边形A8C。的两组对边均不平行.

①在平面PAB内不存在直线与DC平行；

②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；

③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；

（分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明.

②设平面PABC平面P£>C=/,则/u平面PAB,且在平面尸AB中有无数无数多条直线与

/平行，即可判断；

③用反证法利用线面平行的性质即可证明.

解：①用反证法.

设在平面PAB内存在直线与DC平行，

则CQ〃平面PAB,

又平面ABC。。平面PAB=AB,平面ABC。C平面PCD=CD,

故与已知矛盾，故原命题正确；

②设平面248。平面PDC=l,

则/U平面PAB,且在平面PAB中有无数无数多条直线与I平行，

故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；

③用反证法.

设平面PAB与平面PDC的交线I与底面ABCD平行，

则/〃AB,1//CD,

可得：AB//CD,与已知矛盾，故原命题正确.

故答案为：①②③.

三、解答题(共4小题，满分()分)

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，PD=2AD=4,PDLDA,PD1DC,底面4BC。为正方

形，M,N分别为AO,PD的中点.

(1)求证：PA〃平面MNC；

(2)求直线与平面MNC所成角的正弦值；

(3)求点B到平面MNC的距离.

【分析】(1)利用中位线定理证明尸4〃MM然后由线面平行的判定定理证明即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面MNC的法向量，由向量的夹角公式求解即可；

(3)求出前的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可.

【解答】(1)证明：因为M,N分别为AO,的中点，

所以PA//MN,

又PAC平面MNC,MNu平面MNC,

故PA〃平面MNC；

(2)解：以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则8(2,2,0),C(0,2,0),尸(0,0,4),M(1,0,0),N(0,0,2),

所以砾(2,2,-4),NC=(0,2,-2),MN=(-1,0,2)，

设平面MNC的法向量为==(x,y,z).

,fn»MN=-x+2z=0

则n〈_____，

n・NC=2y-2z=0

令y=L则z=l,x=2,

故涓⑵1,1)，

所以Icos＜泽，；＞|-21

|PB||n|V4+4+16XV4+1+16

故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为《；

6

⑶解:因为前=(o,2,0)-(2,2,0)=(-2,0,0：，

又平面MNC的法向量为［=(2,1,1).

所以点8到平面MNC的距离为d=Inpcl4=坐.

|n|44+1+13

17.如图一所示，四边形ABCD是边长为&的正方形，沿8。将C点翻折到Ci点位置(如

图二所示)，使得二面角A-BO-G成直二面角.E,尸分别为BC”AG的中点.

(I)求证：BDlACi；

(II)求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.

【分析】(I)取BD中点0,连结AO,G。，推导出BD±AO,BDLCiO,从而BD

J_平面AGO,由此能证明BCAG.

(II)推导出04,OB,0G两两垂直，以。为原点，04、OB、0G分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦

值.

解：(I)证明：取8。中点。，连结A。，G。，

-：AB=AD=C\B^C\D,

：.BD±AO,BDA.C\O,

•：AO,GOu平面AGO,平面AGO,

；AGu平面AG。，：.BDLACi.

(H)解：；二面角A-BO-G是直二面角，

：.ZC]OA=90°,：.C\OLAO,：.0A,OB,0G两两垂直,

以。为原点，04OB、0G分别为x,»z轴，建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),Ci(0,0,I),

■：E,F分别为8G,AG的中点.

：-E(0)'F弓，,

•*-DF=»I，方),DE=(。，>

设若=(X,y,z)是平面DE尸的一个法向量，

'-►-»11

DF,n=7rx+y+-r-z=0

,令y=l,得：=(1,1,-3),

DE*n^|-y+yz=0

：OGJ_平面A8O,...平面A8O的一个法向量函=(0,0,1),

设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为0,

ln，QCil3VH

则COS0=

|n|-|OC；|一"I?"

.♦.平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为‘部.

18.如图，在四棱锥P-A8C。中，P4_L平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2加,

E为中点,

(1)求证：四边形ABC。是直角梯形;

(2)求直线AE与平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱PB上是否存在一点F,使得AF〃平面尸C。？若存在，求罂的值；若不存在,

请说明理由.

从①CDLBC；②BC〃平面PA。这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完

成解答.

【分析】选择①：

(1)由PAJ_平面ABCD,可得CDLPD,再由线面垂直的判定可得CD_L平面PAD,则

CD1AD,进一步得到4£>〃BC,由此能证明四边形A8C£>是直角梯形.

(2)过4作4。的垂线，交BC于点M,以4为坐标原点，建立空间直角坐标系4-xyz,

求出平面PCD的法向量与AE的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE与平面

PC。所成角的正弦值.

(3)设入(0V人〈1)，利用百.三=0,可求出入.

选择②：

(1)由PAL平面A8CD,可得CDLPO,再由线面垂直的判定可得CC平面PAO,则

CDLAD,再由BC〃平面尸40,得AD〃BC,由此能证明四边形A3C£>是直角梯形.

(2)过A作AD的垂线，交BC于点M,以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-砂z,

求出平面PCD的法向量与AE的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE与平面

PC。所成角的正弦值.

(3)设三=入(O<A<1),利用研・n=。，可求出入.

PB

解：选择①：

(1)证明：PAmABCD,：.PA1.AD,PALCD,

PA=AD^=CD=2,：.PD=2-/2'

,:PC=2M，：.CD2+PD2^PC2,：.CD1PD,

'：PAHPD=P,二。，平面PA。，

,.♦AOu平面RW,：.CDLAD,

:CD_LBC,：.AD//BC,

四边形ABC。是直角梯形.

(2)过A作AO的垂线交BC于点M,

PAJ_平面ABC。，.".PALAM,PAI.AD,

以A为原点，4M为x轴，A。为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),8(2,-1,0),

E为尸8的中点，：.E(1,-p1),

AAE=(1,1),PC=(2，2,-2),pp=(0,2,-2),

设平面PC£＞的法向量为(x,y,z),

nilfn»PC=2x+2y-2z=0人，ZB-.