专题11二次函数一元二次不等式

专题11二次函数一元二次不等式№专题11二次函数一元二次不等式№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题11二次函数一元二次不等式命题解读命题预测复习建议二次函数一直以来都是一个必考知识，在高中的学习中，二次函数可以说是解决“二次问题”的核心灵魂，在高考中二次函数、一元二次方程方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，对于高考题主要是利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数图形利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围。几乎不会出现直接求解二次函数的题目，因此在复习的过程中要把二次函数和一元二次不等式相结合复习。预计2024年的高考对于二次函数的考察，还是紧靠一元二次不等式，难度不会太大，比如集合部分和函数定义域部分的求解比较简单，稍有难度的主要还是数形结合出题，整体保持稳定。集合复习策略：三个“二次”的关系；二次函数的图象；3.掌握数形结合求解的精髓。→➊考点精析←一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅二、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))三、．简单分式不等式(1)eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(2)eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0→➋真题精讲←（2023全国甲文科卷11）已知函数．记，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.→➌模拟精练←1.【2020湖南省高三其他（理）】已知函数关于点对称，若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即，在恒成立，所以，在恒成立，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选D.2.【2020浙江省期末】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为时，恒成立，所以在恒成立，因为，当且仅当，即或（舍）等号成立，所以，故选A3.若不等式的解集为，那么不等式的解集为()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,所以，故选D4.【2020浙江省课时练习】设，二次函数的图象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】因为,二次函数，那么可知，在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意；B中，a<0,b>0,c>0，不合题意；C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D.5．（2020·四川遂宁市·高三零模（文））函数的值域为______．【答案】【详解】当时，当时，综上可得，的值域为故答案为：6.【2019天津高二期中】已知函数=.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围.【解析】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2，由韦达定理，可得此时等价于，即，解得或所以不等式的解集是或；（2）对于任意的，不等式恒成立，也即对任意的恒成立，因为二次函数开口向上，最大值在或处取得，所以只需满足，解得：，据此可得；综上可得，实数a的取值范围是：.（3）若方程在有解，可得到在有实数根.参数分离得，则，结合二次函数的性质可得，所以，也即.综上可得，实数a的取值范围是：.→➍专题训练←1.【2020黑龙江省大庆中学期末】已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.2．己知函数．（1）若fx在R上是减函数，求m（2）如果fx有一个极小值点x1和一个极大值点x2【答案】（1）−∞，【解析】（1）由，得f'(x)=x+m−fx在R上是减函数，则恒成立．设g(x)=f'(x)=x+m−当x>0时，g'x<0，gx单调递减；当时，g'于是gx由题意gx=m−1≤0，所以m≤1，故m的取值范围是（2）设g(x)=f'(x)=x+m−当x>0时，g'x<0，gx单调递减；当时，g若，则g(x)≤0，则fx在定义域内单调递减，所以不满足条件，故g(0)>0，所以m>1，又∵g(−m)=−e−m<0，g(0)=m−1>0设，则，所以y=2x−ex在1，+∞上单调递减，所以当x>1所以，∴∃x1∈(−m，0)∴x∈−∞，x1，g(x)<0，即，gx>0，即f'x∈x2，+∞，gx<0∵x1<0<x2又∵f(−2m)=1−e设，则y'=ex由，得x>ln2，，得0<x<ln所以y'=ex−2x则，所以y=ex−x2即x>0，ex>所以，∴由零点存在定理，得fx在−2m，x又f0=0，结合函数fx【点评】本题考查由函数单调性求参数和证明函数的零点个数，解答本题的关键是fx在R则恒成立，根据条件得出g(−m)=−e−m<0，g(0)=m−1>0，，所以∃x1∈(−m，3．已知函数fx=x2−a（1）当a=2时，解不等式fx（2）对任意的，fx≥ax+1恒成立，求实数【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当a=2时，fx=x2则不等式fx+f2当x≥1时，x2−2x−1≥0为恒成立，当x<1时，x2−2x−1解得x≤−1−3或x≥−1+∴x≤−1−3或−1+综上，不等式fx+f2（2）不等式fx≥ax+1即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，∵函数在区间上单调递增，最小值为，∴，故实数a的取值范围是．【点评】解绝对值不等式的常用方法：（1）基本性质法：a为正实数，x<a⇔−a<x<a，（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x−a<x−b