明张爵《基调》刊本《基调下明万历》补遗

明张爵《基调》刊本《基调下明万历》补遗

程大伟（1533-1606）《算法统一》（1592）第17卷中的计算起源是北宋元丰七年（1084年）至明朝万历十六年（1588年）出版的51种算术书目的总称。其中,明代算书之第十种为“《正明算法》嘉靖己亥金台张爵作”1。所云《正明算法》,诸家书目不详其存佚,有无传本不能确知,故其内容与流传等情形向来阙如。最近得见该书卷四,虽系残本亦足珍贵。略述梗概,兼事辑佚,用资参考。该残本共一册,卷首残缺少许。最末两叶之末行上半均标识“九章正明算法卷之四终”共10字。以是知该书全名当为《九章正明算法》。其内容与《算法统宗》卷十三至卷十七难题杂法相类。卷末结语称,“今分列九章,立法明辩,附集于《正明》之后,以为好事者共览云。”据此,卷四为该书最后一卷,而全帙当为四卷。卷内衰分章“百鸡问题”之后称,“爵又细参之,仍置原数,依前增减”。作者自谦称爵,则其名与《算经源流》所记张爵亦相合。故知张爵所撰为《九章正明算法》四卷,《算经源流》所记书名与卷数有所省略。又,金台当为作者张爵的籍贯。据《中国历史地名辞典》,在今河北省易县东南。该本上下双边,白口,上鱼尾。半叶13行,行24字。双行夹注亦行24字。字用软体,书写尚工。楮墨欠佳,如明代坊刊本之常见者。末叶有双行刊刻牌记,左右各12字,曰“正阳门里西江米巷书坊张氏万历壬午立冬吉日校正重刻”。明代北京的书坊集中在正阳门一带。故知该本为明万历十年(1582年)北京重刊本。《算经源流》所记嘉靖己亥(1539年)或为初刊年代。卷四包括难题和杂法两部分。难题9类,每类各举数例,说明筹算常用算法。附录杂法9项,介绍笔算和指算内容。兹列卷四各章之名称及题数以资了解内容之大概:方田残缺;粟米有少许残缺尚存10题;衰分28题;少广12题;商功4题;均输20题;盈不足12题;方程4题;勾股11题;附录金蝉脱壳4题;河图书数算7题;写算7题;纵横图15种;五音相生歌;律吕相生歌;袖中锦10题;孕推男女1题;算病法1题。计难题9类,共有101题。依卷末“难题条目”所称,卷四难题应有114题。知佚13题,约占十分之一强。上述内容的难点是开带从立方。兹录一例于后并略作说明。“红桃一垛积难知,共该六百八十枚。三角堆来尖上一,每面底子几何为。答曰:底子十五个。法曰:置果积六百八十个,以六乘之,得四千八十个为实,以二为纵方,三为纵廉,以开立方法除之。初商一十于左,下法亦置一十,自乘得一百为隅法,又以上商一十乘纵廉三得三十,并方二个,廉三十,隅一百,共一百三十二,皆与上商一十相呼,除实一千三百二十,余实二千七百六十,乃二乘纵廉三十得六十,以三乘隅法一百得三百,皆并入纵方二,共三百六十二为方法,下法再置上商一十以三乘得三十,加入纵廉三,共三十三为廉法。次商五,下法亦置五,自乘得二十五为隅法,又次商五乘廉三十三得一百六十五,并方三百六十二,廉一百六十五,隅二十五,三法共五百五十二,皆与上商五相呼,除实恰尽。得底脚十五个。合问。”该题由三角垛的和数求其层数。由求和公式∑n12!r(r+1)=13!n(n+1)(n+2)∑n12!r(r+1)=13!n(n+1)(n+2)得方程:x3+3x3+2x=4080,其中,1,3,2,4080分别为隅,纵廉,纵方,实。估得初商10,作减根变换即将x=10+y代入原方程,整理可得:y[y2+(3×10+3)y+(3×102+2×3×10+2)]=4080-10(102+3×10+2),其中,等号右端102,3×10,2分别为初商的隅,廉,方,上式亦即:y(y2+33y+362)=2760。又得次商y=5,求得2760-5(52+33×5+362)=0,由此得x=15。其中,52,33×5,362分别为次商的隅,廉,方。原法称“初商一十于左,下法亦置一十”,谓初商与下法分置被开方数之左右。此期数学处于珠筹交替时期。这种置数方式究以何种算具实施,仅据该残本尚难遽断。该法为商除开方,较归除开方稍繁。明代数学著作包括开带从立方者可视为水平较好的著作。据该残本可以辑得刘仕隆《九章通明算法》(1424年)“难题”的大部分内容。程大位《算经源流》所载明代算书之第一种为“《九章通明算法》永乐二十二年临江刘仕隆作,九章而无乘除等法。后作难题三十三款。”刘仕隆《九章通明算法》所载难题33款的内容及流传情形颇为明代数学史研究者所关注。而以不见传本,未得其实。据该残本所载“难题条目”知,其难题114题中,33题出自刘仕隆《九章通明算法》,其余81题出自吴敬《九章详注比类算法大全》(1450年)等书。兹照录原文以资说明。“计难题条目于后:竿上安箍哑子买肉老人问甲铺金问积书生习记大小均赔行程减等浮屠增级八子分锦九儿问甲依等算钞竹筒容米二果问价均舟载盐笔帽取齐金问积鳌山灯盏以碗知僧河上荡杯书生分卷僧分馒头舡缸均载金两问方系羊问索粒米求程排鱼求数行程问日推车问里迟疾求平鸡免同笼头背分形系马问绳葛木问长以上三十三条出刘氏《九章通明》内,其余八十一条出吴氏《九章比类》等内。”据此“难题条目”与程大位《算经源流》所载当可肯定,上述33题为刘仕隆《九章通明算法》“难题”之原文。以卷首残缺少许,上述33题之前4题已不可辑录。其余29题尚属完整,且逐题所冠题名单占一行亦颇醒目。兹依“难题条目”次序逐一辑录于后以存文献。三、五字法有个书生心性巧,一部孟子三日了。每日增添多一倍,问君每日读多少。答曰:头一日读四千九百五十五字,第二日读九千九百一十字,第三日读一万九千八百二十字。法曰:置一、二、四,并为七衰为法,以孟子记三万四千六百八十五字为实,以法除之,得四千九百五十五字为头日之数。倍之得第二日数。又倍之得第三日数。合问。马主赔四石八马五牛六口羊,放在西郊牧草场。吃了人家六石粟,□□赔偿要相当。羊吃半牛牛半马,□还□得告□□。请问先生能算者,高低对面为分张。答曰:马主赔四石,牛主赔一石二斗五升,羊主赔七斗五升。法曰:置粟六石为实,另置马八以四因得三十二衰,牛五以二因得一十衰,羊六衰,并之得四十八衰为法除之,得一斗二升五合为一羊所吃数。六因之得七斗五升乃羊主所赔之数,又以牛十衰乘得一石二斗五升为牛主所赔数,又以马三十二衰乘得四石为马主所赔数。合问。请君模块内注数三百七十八里关,初行捷步不为难。次日脚疼减一半,六朝才得到其间。要问每朝行里数,请君仔细算相还。答曰:初日一百九十二里,次日九十六里,三日四十八里,四日二十四里,五日一十里,六日六里。法曰:置三百七十八里为实,列置衰一、二、四、八、十六、三十二,并之得六十三衰为法除实,得六里为第六日之数,递加一倍。合问。顶层灯三盏远望巍巍塔七层,灯光倍加增。共灯三百八十一,请问尖顶几盏灯。答曰:顶层灯三盏。法曰:置共灯三百八十一盏为实,列置衰一、二、四、八、十六、三十二、六十四,并之得一百二十七衰为法除实,得三为顶层灯数。各加倍得各层灯数。合问。八七、四、六、七九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠。次弟每人多十七,要将弟八数来言。务要分明依等弟,孝和休惹外人传。答曰:长儿一百八十四斤,次儿一百六十七斤,三儿一百五十斤,四儿一百三十三斤,五儿一百一十六斤,六儿九十九斤,七儿八十二斤,八儿六十五斤。法曰:置七衰一、二、三、四、五、六、七,并之得二十八为实,以十七乘之得四百七十六,以减总绵数,余五百二十,以八子除之,得六十五为第八子数。加十七得八十二斤为七子数。递加十七。合问。九增注九儿之年龄一个公公九个儿,若问生年总不知。自长排来争三岁,共年二百七岁期。借问长儿多少岁,各儿岁数要详推。答曰:长儿三十五岁,次儿三十二岁,三儿二十九岁,四儿二十六岁,五儿二十三岁,六儿二十岁,七儿十七岁,八儿十四岁,九儿十一岁。法曰:列八衰一、二、三、四、五、六、七、八,各以差三岁因之为各人之衰数。并衰得一百八数,以减总二百七岁,余九十九岁,以九人除之,得十一岁为九儿之年岁。次递加三岁,得各人岁数。合问。甲甲诸府合九两四钱甲乙丙丁戊己庚,七人钱本不均平。甲乙念三七钱钞,念六一钱戊己庚。惟有丙丁钞无数,要依等弟数分明。请问先生能算者,细推详算莫差争。答曰:甲该钞十二两二钱,乙该钞十一两五钱,丙该钞十两八钱,丁该钞十两一钱,戊该钞九两四钱,己该钞八两七钱,庚该钞八两。法曰:置戊己庚三人,添一为四,以三乘之,得十二,折半,得六,减去三,余三为下差率。另以甲乙二人乘总七人,得十四,减去下差率三,得十一为上差率。置右三三二十六两一钱左二十一二十三两七钱以左上二乘右中三得六,又以左上二乘右下二十六两一钱得五十二两二钱。另以右上三乘左中十一得三十三,以减去右中六数,余二十七为法。又以右上三乘左下二十三两七钱得七十一两一钱,减去右下五十二两二钱,余十八两九钱为实。以法二十七除之,得七钱为一差之数。别置甲乙共钞二十三两七钱,加入差七钱,得二十四两四钱,折半,得十二两二钱为甲所得数。除差数七钱得十一两五钱是乙钞。各减七钱得各数。合问。c、形“九节”,第八节容米八合家有九节竹一茎,为因盛米不均平。下头三节三升九,上梢四节贮三升。惟有中间二节竹,要将米数次递盛。若是先生能算法,教君只算到天明。答曰:第一节容米一升四合,第二节容米一升三合,第三节容米一升二合,第四升容米一升一合,第五节容米一升,第六节容米九合,第七容米八合,第八节容米七合,第九节容米六合。法曰:置上四节加一为五,与四乘得二十,折半得一十,减去四得六为下差率。另以下三节,以总九节乘之,得二十七,减去下差率六,得二十一为上差率。置右四六三升左三二十一三升九以左上三互乘右中六得十八,以右上四互乘左中二十一得八十四,以少减多,余六十六办法。然以左上三乘右下三得九分,又以右上四乘左下三升九得一十五分六厘,减去九分,余六分六厘为一节之差数。却以下三节盛米三升九合为实,以法六十六乘之,得二百五十七分四厘,以三归之,得八十五分八厘是第二节数。加六分六厘得九十二分四厘为第一节数。以第二节数减去六分六厘得七十九分二厘为第三节数。又减去六分六厘得七十二分六厘为第四节数。每节次递减六分六厘得各数。以法六十六除之。合问。二甜果钱一百九十六文九百九十九文钱,甜果苦果买一千。甜果九个十一文,苦果七个四文钱。试问甜苦果几个,又问各该几个钱。答曰:甜果六百五十七个,该钱八百○三文。苦果三百四十三个,该钱一百九十六文。法曰:列九个七个一千个十一文四文九百九十九文先以上中互乘,九个乘四文得三十六个,以七个乘十一文得七十七。以少减多,余四十一为常法。又以中下互乘,七个乘九百九十九文得六千九百九十三文,四文乘一千得四千。以少减多,余二千九百九十三文。却以常法四十二除之,得七十三为短法。若求甜果,以七十三乘九个,得甜果六百五十七个。另以七十三乘十一文,得甜果钱八百三文。于总果内除六百五十七,余苦果三百四十三个。总钱减甜果钱,余得苦果钱。合问。引三引,装盐法四千三百五十盐,大小舡只要齐肩。五百盐装三大只,三百盐装四小舡。请问舡只多少数,每只舡载几引盐。答曰:大舡一十八只,装盐三千引。小舡一十八只,装盐一千三百五十引。法曰:置四只三百三只五百以三只与三百引相乘得九百,又四只与五百相乘得二千,并之得二千九百为法。列置三四乘得十二,以乘总盐得五万二千二百为实。以法二千九百除之,得十八是大小舡数。以五百因之得九千,三归之得盐三千引。又置小舡十八只,以三百因之得五千四百,以四归之得盐一千三百五十引。合问。管帽各得十五万五千五个,以管三帽五作八八万三千短竹竿,将来要把笔头安。管三帽五为期定,问君多少得团栾。答曰:管帽各得十五万五千六百二十五个。法曰:置竹八万三千,以管三帽五并作八,除之,得一万○三百七十五为实。另以管三乘帽五,得一十五为法。乘实得管帽各一十五万五千六百二十五。合问。全个金之实—金问积有个金里面空,高尺二厚三分。一寸自方一斤重,试问金多少金。答曰:一百三十八斤十两一钱○四厘。法曰:置十二寸,自乘,再乘,得一千七百二十八寸,以九因,十六除之,得九百二十七寸是全个金之实。别置一十二寸,除厚三分倍作六分,余径十一寸四分,自乘,再乘得一千四百八十一寸五分四厘四毫,以九因,十六除之,得八百三十三寸三分六厘八毫五丝为空之数。以全数内减之,余一百三十八寸六分三厘一毫五丝。以一百三十八寸为一百三十八斤,零分加六,得十一两六钱四分八厘。合问。两发展三斤法帝城三五元霄,鳌山两样灯。都来一秤三斤油,七两又来相凑。三两分为四盏,四两分作三瓯。三停盏子二停瓯,请问先生知否。右西江月。答曰:瓯一百二十只,油一十斤。盏一百八十个,油八斤七两。法曰:置油一秤为十五斤,添入三斤,共十八斤。加六得二百八十八两。添七两共二百九十五两。以每两二十四铢乘之,得七千八十铢为实。另置三两以二十四铢乘得七十二铢,以四除之,得十八铢是一盏油数,以三停乘得五十四为盏之法。另置四两以二十四铢乘之得九十六铢,以三除之,得三十二铢为一瓯油数,以二停乘之得六十四铢为瓯之法。并瓯盏之法共一百十八为瓯盏总法,除实七千○八十铢,得六十,以二因之得一百二十为瓯数,以每瓯油三十二铢乘之,得三千八百四十铢,以每斤三百八十四铢除之得十斤。另置六十,以三因之得一百八十为盏数,以每盏油十八铢乘之,得三千二百四十铢,以每两二十四铢除之得一百三十五两,以斤秤法留之得八斤七两。合问。二油共十八斤七两。合问。和三人共餐餐巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧。三百六十四只碗,恰合用尽不差争。三人共餐一碗饭,四人同尝一碗羹。请问先生能算者,都来寺内几员僧。答曰:六百二十四员。法曰:以三乘四得十二,以乘总碗三百六十四只,得四千三百六十八为实。另以三四并之,得七为法除之,得僧。合问。客三人共吃环境妇人洗盏在河滨,试问家中客几人。答曰不知人数目,六十五盏自分明。二人共餐一盏饭,三人共吃一碗羹。四人共肉无余数,请君布算莫差争。答曰:客六十人。法曰:以二人乘三得六,又以四乘之得二十四,以乘总六十五盏得一千五百六十为实。另列二、三、四,维乘。二乘三得六,又三乘四得十二,又四乘二得八,并之,共二十六为法。除实,得六十人。合问。学生三百六十名毛诗毛诗春秋周易书,九十四册共无余。毛诗一册三人共,春秋一本四人呼。周易五人读一本,要分每样几多书。就见学生多少数,请君布算莫踌蹰。答曰:毛诗四十本,春秋三十册,周易二十四本。学生三百六十名。法曰:列三、四、五,维乘。以三乘四得十二,又四乘五得二十,又五乘三得十五。并之,得四十七为法。另以三乘四得十二,以五乘之得六十,以乘总书九十四,得五千六百四十为实。以法除之得一百二十。列三位,以三归之,得毛诗数,一位以四归之,得春秋数,一位以五归,得周易数。以各书数为实,仍以三、四、五次弟乘之得学生,并之,得总数。合问。小阿姆斯特丹引导习僧一百馒头一百僧,大和三个更无增。小和三人分一个,大小和尚得几人。答曰:大和尚二十五人,该馒头七十五个。小和尚七十五人,该馒头二十五个。法曰:置僧一百名为实,并三个、一个得四个为法除之,得大僧二十五人。以每人三个因之,得馒头七十五个。于总僧内减大僧,余七十五个为小僧。以三人归之,得馒头二十五个。合问。装缸十九个三百六十一只缸,任君分作几舡装。不许一舡多一只,不许一舡少一缸。答曰:舡十九只,每只装缸十九个。法曰:置舡数三百六十一为实,以开平方法除之。初商一十,自乘得一百,除实一百,余实二百六十一,以初商一十倍作二十为方法。次商九于方法之下,先呼二九除一十八,又呼九九八十一,除实尽。得十九舡。每舡得缸十九个。合问。金方方用方一两黄金厚一厘,问君方阔几多儿。一寸方方一斤重,切须详算莫差迟。答曰:二寸五分。法曰:置金方方一寸为一斤重。一寸乃一百厘,自乘得一万厘,再乘得一百万厘。以每一斤十六两较之,该六万二千五百厘为实,以开平方法除之。初商二百,自乘得四万,除实讫。然以初商右位二百倍作四百。次商五十,呼五四除实二万,又呼五五除实二千五百,除实恰尽。合问。和三县两手三旷野之地有个桩,桩上系着一腔羊。团团踏破三亩二,试问羊绳几丈长。答曰:绳长八丈。法曰:此乃平圆之法。置三亩二分,以二百四十步乘之,得七百六十八步,以四因三归得一千二十四为实,以开平方法除之。初商三十,自乘得九百,除实讫。然以初商右位三十倍作六十。次商二,呼二六除实一百二十,又呼二二除实四,恰尽。得三十二乃此亩全径,折半得一十六步为羊所系桩处。然用每步五尺乘之得八十尺为羊绳长。合问。千八百万转庐山山高八十里,山峰峰上一黍米。黍米一转正三分,几转转到山脚底。答曰:四千八百万转。法曰:置山高八十里,以每里三百六十步乘之,得二万八千八百步。以每步五十寸乘之,得一百四十四万寸为实,以三分为法除之。合问。百四千个,以每里三百三百步乘之三寸鱼儿九里沟,口尾相衔直到头。试问鱼儿多少数,请君对面说因由。答曰:五万四千个。法曰:置九里,以每里三百六十步乘之,得三千二百四十步。以每步五十寸乘之,得十六万二千寸。以每鱼长三寸除之,得鱼五万四千个。合问。月日:一种不稳定的入河三藏西天去取经,一去十万八千程。每日常行七十五,问君几日得回程。答曰:一千四百四十日,计四年。法曰:置十万八千里,以每日行七十五里除之,得日数。以三百六十五日除之,得年数。合问。三、四千尺二人推车忙苦苦,半径轮该尺九五。一日轮转二万遭,问君里数如何数。答曰:一百三十里。法曰:置半径轮一尺九寸五分,倍之,得三尺九寸为全径之数。三因之,得一百一十七寸为一转之数。却以二万遭乘之,得二十三万四千尺为实。另以每里三百六十步,每步五尺乘之,得每里一千八百尺为法除之。合问。大鸿日,六十日雁飞八百里云天,大鸿每日飞一千。雁飞先去半个月,大鸿几日得齐肩。答曰:六十日。法曰:置雁飞先去十五日,以八百里乘之,得一万二千里为实。别以鸿飞一千里减去八百里余二百为法,除实。合问。兔五十八个鸡十八只单次描述今有鸡兔同笼,原来不记数目。上有九十六头,下有三百八足。要问二等兽禽,仔细分明请复。答曰:兔五十八个,鸡三十八只。法曰:置总头九十六,倍之,得一百九十二,减总足,余一百十六为实。以鸡足二减兔足四,余二为法。除实,得五十八为兔数。以总头内减兔头,余三十八为鸡头。合问。五首,扣违算数三头六背是夜叉,一头八背是那叱。五十七头云中现,二百四背乱交加。试问先生能算者,几个那叱几夜叉。答曰:那叱十五个,夜叉十四个。法曰:置五十七头,倍之,得一百十四头,以减二百四背,余九十背为实。以六除之,得十五是那叱数。以总头内减十五,余四十二是夜叉头数,以三除之,得十四。合问。枯桩系马田中有一枯桩,丈六全没枝梢。尖头一马系难牢,吃尽田禾百稻。四分五厘田地,团团吃一周遭。索长多少算相饶,不算当官去告。右西江月。答曰:三丈四尺。法曰:此为勾股求弦。置四分五厘,以二百四十步乘之,得一百八步。四因之,得四百三十二,用三除之,得一百四十四为实,平方开之。上商一十,自乘得一百,除积,余实四十四,以初商一十倍作二十为方法。次商二,呼二二除四十,又呼二二除四,恰尽。得十二步为全径步。折半,得六步乃枯桩系马之处。以五乘六步得三十尺为股,自乘得九百尺。另以十六尺为勾,自乘得二百五十六尺。并之,得一千一百五十六为实,开平方除之。初商三十,自乘得九百,除实,余二百五十六,以初商三十倍之得六十为方法。次商四,呼四六除二百四十,又呼四四除一十六,恰尽。得三十四尺为索长。合问。刘仕隆《九通明算法》所藏本的全二丈木长三尺围,葛生其下绕缠之。徐徐缠绕七周遍,葛梢却与木相齐。试问先生能算者,葛长多少请君题。答曰:二丈九尺。法曰:置木围三尺与周七相乘得二十一尺,自乘得四百四十一尺。以木长二十尺自乘得四百尺。并之,得八百四十一尺为实,开平方除之。初商二,自乘得四,除实四百,余实四百四十一尺,以初商二倍作四。次商九,先呼四九除三十六,又呼九九除八十一,除积恰尽。得二丈九尺。合问。”以上共为29题。前4题虽不可辑出,但《算法统宗》内有题名相同者可以参考。该残本卷末结语,对于探讨明代数学歌括口诀之流传情形有一定的参考价值。兹将该结语原文照录于后。“夫难题先于永乐四年,临江刘仁隆□□□法,访入内阁,预修《大典》,□□□□,退公之暇,编成难题,附于《九章通明》之后,并钱塘吴氏《九章比类》内及诸家算法中,诗歌括口号总集名曰难题。难者难也。然似难而实非难。惟其词语巧捏,使其算者一时迷惑不能措手。殊不知难法皆不离