数学物理方程习题

数学物理方程复习2第四章拉普拉斯方程的格林函数法分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而行波法则主要适用于求解各种无界问题，这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有限积分的形式，十分便于理论分析和研究。格林公式光滑闭曲面（边界）闭曲面所包围的空间边界+所包围的空间=（1）第一边值问题在空间中某一区域的边界上，给定了连续函数，要求这样一个函数,它在闭区域（或记作）上连续，在内有连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，在上与已知函数相重合，即

第一边值问题也称为迪利克莱（Dirichlet)）问题，或简称为迪氏问题。调和函数——谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域内寻找一个调和函数，使它在边界上的值为已知！（2）第二边值问题在某光滑的闭曲面的边界上给出连续函数，要求寻找这样一个函数，它在内部的区域中是调和函数，在上连续，在上任意一点处的法向导数

存在，并且等于已知函数在该点的值：第二边值问题，也称为牛曼（Neumann）问题第一Green公式第二Green公式重要！格林函数Laplace方程的Dirichlet问题的解为其中Poisson方程的Dirichlet问题的解为其中用镜象法求特殊区域上的函数。上半空间内的Green函数及Dirichlet问题求解上半空间内的Dirichlet问题先求上半空间内的Green函数，即求解问题格林函数的应用在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。（1）寻找“电象点”·····在半空间处的点，放置单位正电荷，找出关于平面的对称点，并且在该点置等量异电荷（单位负电荷）。这样与所产生的电位，在平面上相互抵消。（2）寻找格林函数

·····（3）求定解问题的解（写出导数-注意求导方向；写出积分解-主要是积分区域）注意用对公式球域的格林函数

●设有一球心在原点，半径为的球面，在球内任取一点，连接OM0并延长至，使，点被称为点关于球面的反演点或镜像点。以表示，则

（1）找镜像点在放置单位正电荷，在放置单位的负电荷。下面，需要适当选择的值，使得这两个电荷所产生的电位，在球面上相互抵消。即●●或其中，是球面上任一点。∽●●●（2）寻找调和函数因此，只要在点处放置单位的负电荷，由它所形成的电场，在任一点的电位这个电位，不仅在所围成的球域的内部是调和函数！而且在上具有一次连续可微，同时在上满足球域的格林函数为（3）求解球域内的迪氏问题利用格林函数求球域内的迪氏问题为此，需要计算出。注意用对公式从更广泛的意义上于是●代入（4.23）式，可得球内迪氏问题的解在球面上,有考试时候写到这一步就够了！写成球坐标形式其中：格林函数求拉普拉斯方程考试求解步骤要求：确定方程类型（拉普拉斯or泊松；狄氏）寻找电象点（作图标明）写出格林函数正确写出求导方向、边界及条件（明确在哪个边界上对谁求导）写出方程解的积分形式（积分限、被积函数）习题四.2习题四.3作业3：四分之一空间的格林函数

在四分之一半空间内的点，放置单位正电荷，首先找出关于

平面的对称点，并且在该点置等量异电荷（单位负电荷）。这样与所产生的电位，在平面上相互抵消。（1）建立反演点或镜像点其次，找出M0和M1关于y=0平面的对称点M2(x0,-y0,z0)及M3(x0,-y0,-z0)，并在这两点分别放置与M0和M1点等量的异电荷。这样M2与M3所产生的电位，与M0和M1所产生的电位在y=0平面上相互抵消。（2）寻找调和函数调和函数可得，格林函数为（3）求域内的狄氏问题--在边界上求导入并带入解的公式作业4：上半球域的格林函数

●（1）建立反演点或镜像点设球心在坐标原点,在球域内上取一点并在该点放置一个单位正电荷，令在关于球面的对称点处放置一个

单位的负电荷,在关于平面z=0的对称点处放置一个

单位负电荷,在关于球面的对称点处放置一个

单位的正电荷。（2）寻找调和函数则半球内的格林函数为（3）求域内的狄氏问题--在边界上求导入并带入解的公式展开形式同球域贝塞尔函数由二维热传导方程，通过分离变量法，引出贝塞尔方程----n阶贝塞尔方程的常见形式(重要！！)用x

表示自变量,