第一课时 正弦定理和余弦定理

第四章三角函数、解三角形INNOVATIVEDESIGN第8节正弦定理和余弦定理及其应用掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则知识梳理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数______________________________一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(

)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(

)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(

)×诊断自测√××解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.2.(必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝

________________.3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.45°或135°第一课时正弦定理和余弦定理考点一利用正、余弦定理解三角形D

D解析法一由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).

(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cosBcosC·(tanB＋tanC)＝cosBtanB＋cosCtanC，则cosA的最小值是________.又cosBtanB＋cosCtanC＝sinB＋sinC，所以sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理得b＋c＝2a，当且仅当b＝c＝a时取等号，1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.感悟提升训练1(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(

)A.一个

B.两个C.一个或两个

D.0个解析由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，B因为a<b，所以B>A，故B有两解，即符合条件的三角形有两个.

由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cosB，解得BM＝4或BM＝－2(舍).∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝4，BC＝8，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，

考点二判断三角形的形状A

即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.等边三角形又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.感悟提升A又B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以sinC＜sinBcosA，即sin(A＋B)＜sinBcosA，所以sinAcosB＜0.因为sinA＞0，所以cosB＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为____________.解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，直角三角形考点三与三角形面积(周长)有关的计算即a2－b2＋c2＝2，又a2－b2＋c2＝2accosB，

感悟提升因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，

由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝48＋36－72＝12，射影定理的应用拓展视野设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.注：以“a＝bcosC＋ccosB”为例，b，c在a上的射影分别为bcosC，ccosB，故名射影定理.证明如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcosC＝CD，ccosB＝BD，故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，同理可证b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.

例

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(

)A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B

D.B＝2A解析法一因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，即cosC(2sinB－sinA)＝0，所以cosC＝0或2sinB＝sinA，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.A所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.法三由正弦定理及sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，得b＋2bcosC＝2acosC＋ccosA＝acosC＋(acosC＋ccosA)＝acosC＋b，即2bcosC＝acosC，又因为△ABC为锐角三角形，所以cosC≠0，则2b＝a.A所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2acosC＋b＝2ccosA，得2sinAcosC＋sinB＝2sinCcosA，

2sinAcosC＋sin(A＋C)＝2sinCcosA，3sinAcosC＝sinCcosA，9sin2Acos2C＝sin2Ccos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，

法二由射影定理，得b＝acosC＋ccosA代入2acosC＋b＝2ccosA，得3acosC＝ccosA，FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升3D【A级

基础巩固】解析在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去).BA4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(

) A.等腰三角形

B.直角三角形 C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形解析因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，D所以△ABC为等腰或直角三角形.C

C7.(多选)(2023·张家口质检)下列命题中正确的是(

)A.在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinBB.在锐角△ABC中，sinA＞cosB恒成立C.在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形解析对于A，由A＞B，可得a＞b，利用正弦定理可得sinA＞sinB，正确；ABD∴sinA＞cosB恒成立，正确；对于C，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴△ABC是等腰或直角三角形，错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，正确.解析由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，9.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝________.解析因为A＝2B，所以sinA＝sin2B，故sinA＝2sinBcosB，由正弦定理得a＝2bcosB，11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,且acosB＋bcosA＝2ccosB.(1)求角B的大小；解因为acosB＋bcosA＝2ccosB，由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosB，即sin(A＋B)＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosB.因为0＜C＜π，解选条件①：解得b＝2或b＝－3(舍去)，所以c＝b＋1＝3.(2)因为AD是△ABC的角平分线，