2020-2021学年上海市虹口市复兴高级中学高三年级上册学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市虹口市复兴高级中学高三上学期期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）

1.已知命题第二零三口，命题第匕£1.则命题,锻是命题寮的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.设数列｛（小+切期｝是等比数列，且的=[,a2=^,则数列｛3%｝的前15项和为（）

AliR-C-D-

'IS'1617'18

3.给出下列命题：

①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；

②若pAq为假命题，则p,q均为假命题；

③命题“若/-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若M-3x+2=0,则x片2”；

④''若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,。全不为0,则。2+〃大0”.

其中正确的命题序号是（）

A.①B.①③C.②④D.③④

4.若关于x的不等式/-3ax+2a2<0（a>0）的解集为（勺,g），则+小+胃的取值范围是

xlx2

（）

A.（0,2V2]B.（0,2何C.[2V3,+oo）D.[2A/6,+OO）

二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.已知集合M=｛y\y=2~x],N=｛x\y=x],则MnN=.

6.如果质点A按照规律s=5t2运动，则在t=3时的瞬时速度为.

7.设函数/（%）=s讥x+bcosx,若对任意XCR恒有/（与）成立，则氏-型1的最

小值为.

8.sin320cosl820+cos32°cos880=；

9.已知函数/。）为定义在R上的奇函数，当x20时f（x）=/一2x+a（a为常数）则

/（-4）=.

10.直线x=2与双曲线C：?-y2=1的渐近线交于A,B两点，尸为双曲线C上的一点，且罚=

a65+b而(a,b€R+,。为坐标原点)，则*的最小值为.

11.在如图所示的数表中，第，行第/列的数记为且满足由)=2人1,第1行】248…

第2行2359…

a.i,i=i,at+i,j+i=a-i,j+GW,)；又记第3行的数3,5,8,

第3行35813…

13,22,39，….则第3行第〃个数为.......

12.给出下列4个条件：

[0<a<l

I)1%E(-8,oy

1<a<l

IJ卜€(0,+8)，

⑶1">1

IE(—00,o),

⑷[Q>i

IJ1%E(0,+8)，

能使y=kg。专为单调减函数的是

13.设三角形△ABC的BC边上的高为AD,且4D=BC,分别表示角4,B,C对应的三边，则+：的

cb

取值范围是.

14.过点P(l,2)的直线/与圆C：(尤+3产+(y-4尸=36交于A,B两点，C为圆心，当乙4cB最小

时，直线/的方程是.

15.设9(均是定义在??上以1为周期的函数,若函数/(%)=%+90)在区间［3,4］时的值域为［-2,5］,

则/(x)在区间［2,5］上的值域为.

16.设a为实常数，y=/Q)是定义在R上的奇函数，当久＜0时，/(x)=-x2-4x+2,若f(无)2

a+1对一切x20成立，则a的取值范围为.

三、解答题(本大题共5小题，共76.0分)

17.如图，直三棱柱48(7-4$1的的底面为直角三角形，两直角边48和AC%二二

的长分别为4和3,侧棱的长为5.B,|i

(1)求三棱柱ABC-公当口的体积；

(2)设M是BC中点，求直线与平面ABC所成角的大小.

D

18.甲公司准备向乙公司购买某种主机及相应的易损配置零件，乙公司提出了一种优惠销售方式，

即如果购买主机产品同时购买易损配置零件，每个价格300元，否则后期单一购买易损配置零

件则每个价格为500元，甲公司为了解主机产品的使用过程中易损配置零件的损耗情况，市场

部对50部主机产品使用过程中的易损配置零件的损耗情况作了调查并只做了如下的柱状图表:

记x表示一个主机使用过程中的易损配置零件数，y表示正常使用一台主机时购买易损配置零件数的

费用，〃表示购买主机时购买的易损配置零件数.

(1)若n=5,写出y与x的函数关系式；

(2)假设这50部主机在购买时每个主机都购买了6个配置零件，或7个配置零件，分别写出这50部

主机在购买配置零件上所需费用的平均数，并以此分析甲公司在购买一台主机时应购买几个配

置零件合算？

19.已知直线/：%+丫一6=0经过椭圆氏《+、=l(a>b>0)右焦点，且与椭圆相交于A,B

两点，M为AB的中点，OM的斜率为久。为坐标原点).

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线/与圆C：x2+y2=r2(r>0)相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P,Q两点，求^OPQ

面积的最大值.

20.已知函数/(x)=ex-ae~x-mx｛a,m6R)为奇函数.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)有极小值/(&),且/(X。)〈一彳亘成立，求实数，"的最小值•

21.已知｛即｝是等差数列，公差d丰0,Q1，。3，。13成等比数列，5„是｛册｝的前〃项和

(1)求证:S1，S3,S9成等比数列；

(2)若S3=9,an=21,求〃.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：试题分析：2成1二上三须⑩n减生-器y励0励/富“4，所以由P得不出外但是有q能得

宏案:

出P，所以命题量是命题更的必要不充分条件.

考点：本小题主要考查充分条件、必要条件的判断.

点评：解决本小题的前提是正确解出不等式工:£1，判断充分条件、必要条件时，要弄清楚谁是条件

£

谁是结论，谁能推出谁.

2.答案：B

解析：解：•・•数列｛(层+①即｝是等比数列，且由=；，。2=尚，

o54

(22+2)。2_呜1

・•・公比q=

(l+l)Qi-2xi3

2n

•••(n+n)an=[x(：)时1=(1),

1_11

・•・3na

nn+n2n71+1'

n"

则数列｛3an｝的前15项和=1一:+'—\+……+/-,=1—=

£.£.515lololo

故选：B.

数列｛(n2+n)an｝是等比数列，且西=；,a2=可得公比“=空守，再利用等比数列的通项公

式、裂项求和方法即可得出.

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

3.答案：A

解析：解：①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；满足四种命题的的真假关系，①正

确；

②若pAq为假命题，则P，q至少一个是假命题；所以②不正确；

③命题“若M—3X+2=0,则x=2”的否命题为“若M—3X+2力0,则无彳2”；所以③不正

确；

④“若Q2+b2=0,则mb全为0”的逆否命题是“若。，〃不全为0,则。2+匕2。0，，.所以@不

正确；

故选：A.

利用四种命题的的逆否关系，复合命题的真假，判断选项的正误即可.

本题考查命题的真假的判断，四种命题的的逆否关系的判断与应用，是基本知识的考查.

4.答案：C

解析：解：,:x2—3ax+2a2=(%—a)(x—2a),

・・.不等式——3a%+2a2<0(a>0)的解为Q<x<2a,

E|J=Q,%2=2a,

贝+%2+xx=3a+—3Q+£N2J3a•弓—2

当且仅当3a=%即a=当时，取等号，

即/+&+急的取值范围是[2%,+8),

故选：C

根据一元二次不等式的解法，求出不等式的解，利用基本不等式即可得到结论.

本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力.

5.答案：(0,+8)

解析：解：集合M=(y\y=2~x]=[y\y>0]=(0,4-oo),N={x\y=x]=R,

故MnN=(0,+8)

故答案为：(0,+8)

化简历，N,利用两个集合的交集的定义求出MCIN.

本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，求函数的值域，化简M和N,是解题的

关键.

6.答案：30

解析：

本题主要考查导数与变化率的关系，属于基础题.

已知质点A按照规律s=5t2运动，对其进行求导，再把t=3代入求解.

解：••・质点4按照规律s=5t2运动，

•••s'=10t,

当t=3时,

.•.在t=3时的瞬时速度为s'=10x3=30.

故答案为30.

7.答案：n

解析：解：：/(%)=sinx+V5cosx=2sin(x+E),

•••T=~—2%

「若/(尤1)Wf(x)W，(尤2)，对VxCR成立，

二可得/(%1)为函数的最小值，/(热)为函数的最大值，

故氏一亚1的最小值为半个周期，即/=兀・

故答案为：n.

由题意可得人%)为函数的最小值，/(肛)为函数的最大值，故|亚-与1的最小值为半个周期，再根据

正弦函数的周期性可得结论.

本题主要考查正弦函数的周期性和值域，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查.

8.答案：

解析：解：sin320cosl820+cos320cos88°

=-sm32°cos2°+cos320sin2°

=-sin(32°-2°)

=-sin30°

i

一21

故答案为：—

利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解.

本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的

应用，属于基础题.

9.答案：一8

解析：解：根据题意，函数/(%)为定义在R上的奇函数，且xN0时/(%)=/一2%+Q,

则/(。)=Q=0，

则当%>0时/(%)=x2—2x,

故/(4)=42-2x4=8,

又由函数/(%)为定义在R上的奇函数，则/(4)=一/(-4)=-8；

故答案为：-8.

根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=a=0,即可得函数的解析式，进而可得八4)的值，由奇函数

的性质分析可得答案.

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

10.答案：4

解析：解：由题意，4(2,1),B(2,—1),

设P(x,y),则

vOP=aOA+bOB，

x=2a+2b,y=a—b

「尸为双曲线C上的任意一点，

•••四普-(a-6)2=1

:.4ab=1

”+[>2匕=4,

ab7ab

•・一+：的最小值为4.

ab

故答案为：4.

设P(x,y),利用=a65+b南，可得X=2Q+26,y=Q-b,代入双曲线方程，可得4ab=1,

再利用基本不等式，即可求出三+3的最小值.

ab

本题考查向量知识的运用，开车基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题.

11.答案：2"-1+n+1

解析：解：由题目给出的的.j=2六】可知，数表中的第一行第〃列的数满足叼=2-1,

第二行中的每一个数是第一行中同列的数加1,所以，第二行中第"列的数为垢=2”1+1,

第三行中每列的数是在第二行中同列的数的基础上加列数，故第三行中第n列的数为％=bn+n,

即％=2n-1+l+n.

所以，第3行第〃个数为2时1+Ti+l.

故答案为pT+n+l.

由数表中各数满足的递推式可以得出，该数表中第一行的数构成以1为首项，以2为公比的等比数

列，第一列的数，都是该数所在的行数，且数表中的每一个数都是它左边的数与上一行左边的数的

和，据此可以得出第三行中的数与第二行及第一行对应数之间的关系.

本题给出等差、等比数列模型，求数表中第3行的通项公式，着重考查了等差、等比数列的通项公

式和数列的函数特性，解答的关键是对给出的数表进行规律性的总结，属于中档题.

12.答案：⑴(4)

解析：解：y=kg。或可看作由函数y=log/与t=或复合而成的，

(1)中，当0<a<l时，y=log/单调递减，xe(-8,0)时，t=或单调递增，所以y=，oga点单调

递减，故(1)满足要求；

(2)中，当。<a<l时，y=log/单调递减，x6(0,+8)时，t=*单调递减，所以y=2oga2单调

递增，故(2)不满足要求；

⑶中，当a>1时，y=log/单调递增，%£(一8,0)时，t=弥单调递增，所以y=的。妥单调递增，

故(3)不满足要求；

(4)中,当a>1时，y=logat单调递增，xG(0,+8)时，t=/单调递减，所以y=log。妥单调递减，

故(4)满足要求;

故答案为：(1)(4).

把函数y=或可看作由函数y=log/与”妥复合而成的，根据复合函数单调性的判断方法：

“同增异减，逐个判断即可.

本题考查复合函数单调性的判断方法，若原函数可分解为两个简单函数，则根据“同增异减”即可

判断其单调性.

13.答案：［2,祈］

解析：解：TBC边上的高4D=BC=a,

•••SMBC==^bcsinA,

.■.sinA=^,

be

b2+c2-a21,b,c1a2

又cosA==<+/x工

2bc

=g+：=2cosA+sinA=V5sin(i44-a),其中Cerna=2；

・d+牌倔

又"岸2,

6[2,V5],

CD

故答案为：[2,有].

利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积为由已知高40=BC=a,利用底与高

乘积的一半表示三角形42c的面积，两者相等表示出sinA,然后再利用余弦定理表示出cosA,变形

后，将表示出的sinA代入，得到t+：=2cos4+s讥4左边利用基本不等式求出最小值，右边利用

特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求

出右边式子的最大值，即为2+2的最大值，即可得到结论.

cb

此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，

以及基本不等式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

14.答案：2x-y=0

解析：解:圆C(%+3)2+3-4)2=36的圆心坐标(7为(一3,4),

,2-41

k=—=—,

r“p1+32

IiAB~2，

则此时直线/的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.

故答案为：2x—y=0

当直线AB与直线CP垂直时，乙4cB最小，由M与C的坐标求出直线CP的斜率，利用两直线垂直

时斜率的乘积为-1求出直线AB的斜率，由P坐标与求出的斜率即可得出此时直线/的方程.

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，难度不大，

属于基础题.

15.答案：[—3,6]

解析：当x6[2,3]时，x+1G[3,4],所以f(x+1)=x+1+g(x+1)=x+1+g(x)6[-2,5],所

以/(x)=x+g(x)€[―3,4]；当x6[4,5]时，x—16[3,4],所以/—1)=x—1+g(x—1)=x—

1+g(x)6[-2,5],所以f(x)=x+g(x)e[-1,6],所以/Q)在区间[2,5]上的值域为[-3,6].

16.答案：a<—7

解析：解：设x>0,则一x<0,

f(r)=一(一%)?—4(—x)+2=—x2+4x+2,

由于y=/(乃是定义在R上的奇函数，

当x=0时，则/(x)=0；

当x>0时，则f(x)=-/(—x)=x2—4x—2.

由于/1(x)>a+1对一切x>。恒成立，

则只需x>0时，f(x)min2a+1即可.

①当x>0时，由于/(%)=/-4%—2的图象开口向上，对称轴为x=2,

则=(2)2-4X2-2=-6,

故-62a+l,解得aW-7.

(2)当*=0时，f(0)=02a+1恒成立，解得aS-1.

综上可知：(-oo,-7].

利用奇函数的性质可得：当x>0时，/(x)=-/(-x)=%2-4%-2.由于/(x)>a+1对一切x>0成

立,则只需X20时，Na+1即可•

利用二次函数的性质即可得到x>0时的函数最小值，即可得到结论.

熟练掌握奇函数的性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.

17.答案：解：(1)三棱柱4BC-4B1C1的体积为：

V=SAABCx=|x4x3=6.

(2)设M是BC中点，

以A为原点，48为x轴，AC为y轴，A4为z轴，建立

空间直角坐标系，

4(0,0,5),8(4,0,0),C(0,3,0),M(2,|,0),

硒=(2,|,—5),平面A8C的法向量记=(0,0,1),

设直线与平面ABC所成角为0,

\AM-n\

则sin。=x

\AM\-\n\

二直线与平面ABC所成角的大小为arcsin等.

解析：(1)由三棱柱ABC-的性质能求出其体积.

(2)设M是BC中点，以4为原点，AB为x轴，AC为y轴，A2为z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出直线与平面ABC所成角的大小.

本题考查立体几何中点、线、面的位置关系，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力,

考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题.

18.答案：解：（1）当n=5时,

=（5x300,%<5=（1500,x<5

y=（5x300+（x-5）x500,x>5=（500x-1000,%>5

（2）假设这50台机器在购机的同时每台都购买6个配置零件，

所须费用平均数为：表（22x6x3004-12x2300+10x2800+6x3300）=2300（元）

假设这50台机器在购机的同时每台都购买7个配置零件，

所须费用平均数为表（34x7X300+10X2600+6X3100）=2320（元）

•••2300<2320

二购买1台机器的同时应购买6个配置零件.

解析：（1）若n=5,结合题意，可得），与x的分段函数解析式；

（2）分别求出每台都购买6个配置零件，或每台都购买7个配置零件时的平均费用，比较后，可得答

案

本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档

（立+理=1

19.答案：解：（1）设4（孙y）83多），则J：蚩，

（装+证=1

两式相减并整理，得红"空=一与

x1-x2x1+x2aN

即k0M=~^2-

所以一亲=-1xg=-：...①

又直线/：x+y-&=0与x轴的交点为（或，0）.

由已知，得a?—/=2...②

联立①②，解得a?=3,b2=1.

所以，椭圆的方程为?+y2=i.

（2）由直线/：x+y—V^=（r^/C：/+丫2=「2&>0）相切，得嘴停=”

所以丁=1,圆C：%24-y2=1.

又设动切线P。：x=my+nf

（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）

x=my+n

{至+丫2_1，消去Xf得（爪2+3）y2+2mny+n2-3=0.

所以|PQ|=VT+^|yi-y2|=VTTQ.42mn)Jl+3)(*-3)=1Tq,2闻，味用3.

又直线尸Q：%=6'+71与圆。：、2+y2=i相切，

所以市吗=1,B［In2=l+m2>l,从而|PQ|=2逐例.

vl+m2nz+2

所以，△0PQ面积SAOPQ=1|PQ|•1=遍•晟=施W4得=T.

2—

令1川=而，解得|川=近21，相应的|m|=1.

所以，使△OPQ面积最大的直线PQ共有四条：％±、+&=0和％±)/-7^=0.

故^OPQ面积的最大值为当

解析：(1)设4(%,乃)，B(x2,y2),利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解。，匕推

出结果.

(2)由直线/：x+y-夜=0与圆C：%2+'2=「23>0)相切，得曙雪=”求出圆的方程，设

VI2+12

x=my+n

注+2_］，消去X，得(m?+3)y2+2mny+n2-3=0.利用弦长公

{3y-

式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可.

本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化思想以及计

算能力，是中档题.

20.答案：解：(1)因为f(x)=ex-aer-mx,为奇函数，

所以/'(0)=0,即e°—ae-°—?nx0=0,解得a=1,

所以f(x)—ex—e~x—mx,

f'(x')=ex+e~x—m,

ex+e-x>2,(当且仅当靖=6-',即x=0时，取等号)

当mW2时，f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增，

当m>2时，令［=蜻，则方程为t+，-m=0有两个不等的正根t2,(tj<t2)

故可知函数/(x)=ex—e~x—mx,

在(一8」叫)，(，nt2，+8)上单调递增，在上单调递减.

(2)因为/(x)有极小值/(&)，

所以x=与是极小值点，

即/'(%0)=0,

x