2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A（含答案）

二、计算题

1.(10分)某学校有3个系共有300名学生，其中甲系137名，乙系56名，丙系107名，若学生代

2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A表会议设30个席位.试用下列方法求出各系应分配的席位数.

(1)按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者；

(2)利用Q值法进行分配.

适用专业：信息与计算科学；考试日期：

考试时间：120分钟；考试方式：闭卷；总分100分

一.简答题(30分).

1.简要介绍数学建模的一般步骤.

中

科

2.(10分)考察阻尼摆的周期，即在单握运动中考虑阻力，并设阻力与摆得速度成正比.阻加摆的

2.层次分析法的一般步骤是什么？

周期t与摆长/,摆球质量加，重力加速度g,阻力系数A有关.

(1)用量纲分析法证明：1=、口飘邛)，其中伊为未知函数.

VglHy/g

(2)讨论物理模拟的比例模型，怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.

3.根据建立数学模型的数学方法，数学模型可以分成哪些类型？

3.（15分）设某产品的生产周期为T,产量为Q,每天的需求最为常数人每次生产准备费为q,每dx,N

5.（15分）设鱼群鱼量的自然增长服从Gompertz规律：='Rin—,单位时间的捕捞量为

天每件产品贮存费为atx

（1）不允许缺货的存贮.型要求：产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无

dxiN厂

限、不允许缺货.试建立不允许缺货的存贮模型并确定生产周期和产量，使总费用最小./>=Er,则渔场的鱼量满足：—=rxln--Ex.其中x«）表示种群在t时刻的数量,r表示固

（2）设每天每件产品的缺货损失费为5,试建立允许缺货的存贮模型并确定生产周期和产量，使总费atx

有增长率,N表示鱼群的最大容许数量.

用最小.

（1）求渔场鱼量的平衡点及其稳定性；

（3）上述模型中增加货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型

中与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来的结果减小.（2）求最大持续产量&及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平.%♦.

6.（10分）按年龄分组的种群增长的差分方程模型中，设•群动物的最高年龄为18岁，每6岁•

组，分为3个年龄组，各组的繁殖率为4=。力2=6么=2,存活率为》=#2=开始时3

组各1000只.

求（1）18年后各组分别有多少只？

（2）时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布.

4.（10分）设总人口N不变，将人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，三类人在总人数

N中占的比例分别记作式力,即）,「（，）,病人的日接触率为人日治愈率为〃.试建立描述三类人数量

变化的传染病模型.

y.=(1,-0,1,0)

2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A答案122

泗=L-

~22

适用专业：信息与计算科学；考试F1期：

考试时间：120分钟；考试方式：闭卷；总分100分得到2个无量钢量

一.简答题(30分).

1.简要介绍数学建模的一般步骤.Pl=tl2g2

答:模型准备，模型假设，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用.

出=l2rn']g3k

故

2.层次分析法的一般步骤是什么？

中答：(1)将决策问题分为3个层次：目标层,准则层，方案层l2g2

科(2)通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重.

将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，给出决策结果.

(3)⑵当历吟时•有5

3.(15分)解:(1)一个周期的总费用为:

3.根据建立数学模型的数学方法，数学模型可以分成哪些类型？N+/J+红

1212

答：初等模型，几何模型，微分方程模型，统计回归模型，数学规划模型.

每天的平均费用为：

C=2+业

T2

由某=0,11=0得：

二、计算题dTdQ

1.解：(1)甲分13.7个，乙系5.6个，丙系10.7个，取整后甲系14个，乙系5个，丙系11个.

(2)第29个席位的分配：丁=杼。樗

1372en562/s1072/八。

n.=----------=103.13.fly=--------=104.53,n,=----------=104.08

113*14-5*6〜10*11(2)一个周期的总费用为：

故分给乙系；个网+任上立

第30个席位的分配：122

…空=74.67卷天的平均费用为：

-7*6

故分给丙系.C=£L+逻+业3

由Q值法：甲系13个，乙系6个，丙系12个.T2r2rT

2.(10分)解：设阻尼摆的周期为摆长为/,质量为〃入重力加速度为g,阻力系数为A,设

=0由要=0,/=0得：

则各物理量的量纲为[”=T,[l]=，依]=M.[g]=LT2Ak\=4]=陛7=MT-dTdQ

vLT1

量纲矩阵为

C+C

丫/C3VC223

(3)设购买单位重量货物的费用为k,对于不允许缺货模型，每天的平均费用为

C⑺吟+券+h

解齐次方程Ay=0的基本解为:

T,Q的最优结果不变./\

对于允许缺货模型，每天平均费用为：043

C(「Q)=[q+^^-+今("-0)-+&Q

L=-00

I2r2r2

0-0

利用力=o,W=o得T.Q的最优结果为:<4)

0TdQ因为

！

rSQ12clC3C3k2户krx(k)=1x(0)

3

=rcrc产C2+C3⑴18年后，即x(3)=LX(0)=(14375,1375,875)/

V2C3C2C3,V2C2+C3C2(q+q

(2)L的特征方程为

7：Q”均比不考虑费用k时的结果减小.3

23-22--=0

di.8

—=Asi-ui

dt所以固有增长率为1.5