人教版八年级数学上册 （平方差公式）整式的乘法与因式分解教学课件

平方差公式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.知识回顾多项式乘多项式的法则老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说：“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何？”老王一听觉得没有吃亏，就答应了.你觉得老王吃亏了吗？思考在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题21×19=？和103×97=？主持人话音刚落，就立刻有一名学生刷地站起来抢答“第一题等于399，第二道题等于9991”，其答题之快，简直就是脱口而出.你们知道这个学生是如何计算的吗？思考探究计算下列多项式的积：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？都是两项之和乘以两项之差

（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.（2）(m+2)(m-2)=_______________；（1）(x+1)(x-1)=_______________；探究（1）(x+1)(x-1)=_______________；计算下列多项式的积：（2）(m+2)(m-2)=_______________；（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.化简后的结果与化简前括号内的项有什么关系？都是括号内的两项的平方的差

计算下列多项式的积：（2）(m+2)(m-2)=_______________；（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.（1）(x+1)(x-1)=_______________；探究你能将你发现的规律用式子表示出来吗？你能证明这个关系吗？代数法证明(a+b)(a-b)=两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，这个公式叫做平方差公式.几何法证明如图，大正方边长是a，小正方形的边长是b图一中绿色部分的面积可以表示为：图三中绿色部分的面积可以表示为：(a+b)(a-b)=图一图二

图三几何法证明如图，大正方边长是a，小正方形的边长是b图一中绿色部分的面积可以表示为：图三中绿色部分的面积可以表示为：(a+b)(a-b)=图一图二

图三你觉得老王吃亏了吗？变化后是变化前是所以老王吃亏了思考平方差公式的特征结构细节运用公式的技巧先确定相同项和相反项

相同项相反项（a+b）（a-b）=

-两数之和两数之差两数的平方差练习——判断是否用公式(1)(5m+1)(5m+1)

(4)(-3-5b)(-3-5b)(2)(2-3x)(3x+2)下列各式是否具有(a+b)(a-b)的结构特征？如果具备写成(a+b)(a-b)的形式．不具备不具备具备具备(2-3x)(2+3x)(能)(不能)(不能)(不能)(不能)(1)(a+b)(-a-b)；

下列式子可用平方差公式计算吗?为什么?如果能够，怎样计算?练习——判断是否用公式(5)(-2x+y)(y-2x).(4)-(a-b)(a+b);(3)(a+2b)(2b+a);(2)(a-b)(b-a);(第一个数不完全一样)练习——判断是否用公式能用平方差公式计算的是(

)(2)(5)(6)总结：关键是先确定相同项“a”和相反项“b”

下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？易错点这不符合平方差公式易错点指出下列计算中的错误：归纳总结运用平方差公式应该注意什么？1．一定要看算式是否具备平方差公式的结构．2．利用公式计算之前，先确定相同项“a”和相反项“b”．3．最后结果一定是相同项“a”的平方减相反项“b”的平方，不要写反，不要漏写平方．4．如果“a”，“b”不是单个的数字和字母，写平方时一定要记得添括号．练习——计算运用平方差公式计算：练习运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x-2)练习运用平方差公式计算：(1)(-m+n)(-m-n)(2)(-2x-5y)(5y-2x)使等式两边满足平方差公式：1.(1＋x)(1-x)＝1-_____练习练习(1)(-a+b)(a+b)=

_______

口答下列问题：(2)(a-b)(b+a)=_________

(3)(-a-b)(-a+b)=_______

(4)(a-b)(-a-b)=_________练习运用平方差公式计算：点睛：只有符合公式条件的乘法才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．如何巧用平方差公式计算两个相近数的乘积？巧用平方差公式在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题21×19=？和103×97=？主持人话音刚落，就立刻有一名学生刷地站起来抢答“第一题等于399，第二道题等于9991”，其答题之快，简直就是脱口而出.你们知道这个学生是如何计算的吗？思考练习运用平方差公式计算：（1）51×49答案：（1）2499；（2）1．练习运用平方差公式计算：

10.2×9.8答案：99.96．练习运用平方差公式计算：答案：1．练习1．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎么改正？练习2．运用平方差公式计算：（3）51×49平方差公式的雪球效应平方差公式的雪球效应平方差公式的雪球效应平方差公式的雪球效应A.1

B.3

C.7

D.9什么是平方差公式的雪球效应？

有什么解题技巧？平方差公式的雪球效应整体思想(m+n+2)(m+n-2)能用平方差公式运算吗?提示：把m+n看做一个整体整体思想化简：(a+b+c)(a+b-c)提示：把a+b看做一个整体这节课我们学到了什么？总结1．平方差公式：2．平方差公式的结构特点：结构细节相同项相反项（a+b）（a-b）=

-两数之和两数之差两数的平方差(a+b)(a-b)=什么是平方差公式？

证明利用平方差公式计算？平方差公式的结构有什么特点？平方差公式平方差公式第十四章整式的乘法与因式分解

多项式与多项式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习引入面积变了吗？a米5米5米a米(a-5)米平方差公式新课讲解（1）（x

＋1)(x－1）；（2）（m

＋2)(m－2）；（3）（2m＋1)(2m－1）；（4）（5y

＋z)(5y－z）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2想一想：这些计算结果有什么特点？新课讲解(a+b)(a−b)=a2−b2

也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2★平方差公式★公式变形新课讲解平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同为a

相反为b，-b适当交换合理加括号平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.新课讲解练一练：口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)=_________；(2)(a-b)(b+a)=__________；(3)(-a-b)(-a+b)=________；(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2新课讲解

计算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4.解题技巧：应用平方差公式计算时，应注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．例1新课讲解【练习】利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.新课讲解

计算：(1)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5);(2)102×98.解：

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)（2）102×98=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1.

=y2-22-(y2+4y-5)=9996.=（100＋2）(100－2)=1002-22=10000–4通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.例2新课讲解【练习】计算：(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

.解：

(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499.

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.新课讲解

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－

x)，其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，例3新课讲解

对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－

(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，∴n2-1为整数.解题技巧：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例4新课讲解1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10随堂即练（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9.=4x4－y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2.=(2a)2－32解：原式=(-2x2)2－y2解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用平方差公式计算：随堂即练5.计算：

20172－

2016×2018.解：20172

－

2016×2018=20172－

(2017－1)×(2017+1)=20172－（20172－12)=20172－

20172+12=1.随堂即练6.利用平方差公式计算：（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.随堂即练7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7.随堂即练8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，